Tema9. Sucesiones. Tema 9. Sucesiones.

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1 Tem 9. Sucesiones.. Definición. Forms de definir un sucesión.. Progresión ritmétic... Definición.. Sum progresión ritmétic. Progresión geométric... Definición.. Sum finit de progresión geométric... Sum infinit de progresión geométric Tem elbordo por José Luis Lorente Argón

2 . Definición. Forms de definir un sucesión. Un sucesión es un plicción que nos relcion los números nturles con un conjunto, de form que orden los elementos de tl conjunto. Ejemplos:. : selección espñol =Iker Cstill =Albiol.. b: Pres = =4 Ls sucesiones que vmos trbjr en este tem son ls sucesiones de números, donde los elementos del conjunto son números. Forms de definir un función: Por definición: cundo decimos todos los elementos que l formn. Est es l form que tenemos de describir ls sucesiones no numérics o quells numérics que no podemos relcionr los términos entre sí. Por ejemplo l sucesión de ls proximciones de π {,, 4, 4, 45.} Ley de recurrenci: es un expresión que nos permite clculr un término en función del nterior o de los nteriores. Es necesrio conocer el primer o primeros términos. Ejemplo: n = n- + y =4 {4, 7, 0,, } L desventj de est form es que pr conocer un término hy que conocer todos los nteriores. Cuál es término 00 del problem nterior? Término generl: donde conocemos el término prtir de sber l posición que ocup (es decir n). Se puede obtener el generl prtir del recurrente, sin más que intentr relcionr culquier término con el primero. Ejemplo: (el mismo del recurrente) = + = += ++= + 4 = += + De form generl: n = + (n-)=4+ (n-) Es l form mejor de conocer l sucesión pues podemos conocer culquier término sin más que sustituir l n por l posición que ocup y sí obtener su vlor. Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com)

3 Ejercicio : Escribir l expresión del término generl de ls siguientes sucesiones: ) {, 4, 9, 6, 5, } b) {/4, /5, 5/6, 7/7, 9/7} c) {, 4, 6, 8, } Ejercicio : clculr l relción de recurrenci de l siguientes sucesiones ) {,,,,5,8,, } (Sucesión de Fiboncci) b) {,6,8,54,6, } c) {,-,-4,-7 } Ejercicio : Escribir los 4 primeros términos de l siguientes sucesiones e indic que form l describe (recurrente o generl) ) n = n- - n- con =, = b) n =n - c) d) n =- n- =0. Progresión ritmétic... Definición Definición: un progresión ritmétic es un sucesión donde cd término se obtiene sumndo un vlor constnte (diferenci=d) l término nterior Expresión recurrente: n = n- +d Pr obtener el término generl sólo hy que pensr como obtenemos el término que ocup l posición n prtir del primero: pr obtener el º summos un vez d, pr el º summos d, pr el 4º summos d pr el n sumremos (n-)d: Expresión generl: n = +(n-) d Se cumple que si d>0 l sucesión es creciente, los términos cd vez son más grndes; si d<0 l sucesión es decreciente. Ejercicio 4: Clculr l diferenci el primer término y el término generl de ls siguientes progresiones ritmétics: ) =, =5 b) =4, 0 =8 c) =8, 6 =0 Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com)

4 Ejercicio 5: L trif del txi es de l siguiente mner, el primer minuto cuest,5, y cd minuto posterior cuent 0,4. Clculr el precios de los 5 primeros minutos y plnter el término generl de est sucesión... Sum de los términos de un progresión ritmétic Es muy conocid l nécdot del físico y mtemático Guss ( ) cundo tení 9 ños le propusieron que sumr los 00 primeros números nturles. Con el sombro de su profesor, nd más terminr de plnter el problem Guss respondí cómo lo hizo? Se cumple que el primer y último término sumn lo mismo que el segundo y el penúltimo y que el tercero y el ntepenúltimo, sí podemos seguir hbiendo 50 sums igules: =(+00)+(99+)+(98+)+ +(50+5)=0 50=5050. L sum nterior es un sum ritmétic de diferenci d=. Vmos ver de form generl como clculr l sum de los n primero términos de un progresión ritmétic: S n = n S n = n- + n + S n = n + n S n =( n + )+( n- + )+ +( + n )=n ( + n ) Hemos utilizdo que ( n + )=( n- + )= porque pr psr de n n- restmos d pero l psr de summos d, luego l sum es l mism. Ejercicio 6: Sum los veinte términos de ls siguientes progresiones: ) {-5,4,, } b) =-, d=4 Ejercicio 7: Sbemos que l sum de los 0 primero término de un progresión ritmétic es 95 y que =. Clculr d y el término generl Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com) 4

5 r n- Expresión generl: n = r n- Tem9. Sucesiones. Progresión geométric.. Definición Definición: un progresión geométric es un sucesión donde un término se clcul prtir de término nterior multiplicd por un constnte (rzón=r). Expresión recurrente: n = n- r Pr obtener el término generl sólo hy que pensr como obtenemos el término que ocup l posición n prtir del primero: pr obtener el º multiplicmos un vez por r, pr el º multiplicmos por r, pr el 4º summos r pr el n multiplicremos por Ejercicio 8: Clculr l rzón el primer término y el término generl de ls siguientes progresiones geométrics: ) =4, = b) =, 5 =4 c) 5 =, 0 = Ejercicio 9: Un person enví un emil persons, cd un de ess tres se lo mnd otros sí 5 veces. Cuántos emils se hn mnddo trs 5 psos?.. Sum finit progresión geométric L sum de los n primeros términos de un progresión geométric se puede clculr restndo r S n menos S n : r S n =r +r +.+r n r S n = n+ r S n = + + n + n+ -S n = n (r-) S n = n+ - Ejercicio 0: Clculr l sum de los 0 primeros términos de ls progresiones geométrics siguientes: ) =0., r= b) {0,,0 } Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com) 5

6 .. Sum infinit progresión geométric. Si l rzón de l progresión geométric es menor de l unidd, cd término cd vez es más pequeño. En estos csos cunto más vnzmos más pequeño es el término y por tnto en l sum cd vez contribuye menos. Si clculmos l sum en ests progresiones de todos los términos, unque sen infinitos, lleg un momento que l contribución de los últimos término es tn pequeñ que l sum de los infinitos términos d un resultdo finito. El resultdo es Ejercicio : Un pelot bot 0m en el siguiente bote bot l mitd, en el siguiente otr vez l mitd, sí hst que se pr. Clculr el espcio recorrido por l bol. Ejercicio : Clculr l sum infinit de l progresión geométric con =4 y r=/ Problems finles Ejercicio : En ls sucesiones de término generl n 0n y los términos primero, quinto, décimo y decimoquinto. b n 4n 9, hll n Ejercicio 4: Comprueb si 5, 7 y 9 son términos de l sucesión que tiene de término generl n n. Ejercicio 5:.Averigu si y 5 son términos de l sucesión de término generl n n. n Ejercicio 6:.Hll el término generl de ls siguientes sucesiones: ), 4, 6, 8,... b),,,,, Ejercicio 7: Hll el término generl de l progresión ritmétic: 8, 5,, 9,... Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com) 6

7 Ejercicio 8: Hll l sum de los primeros términos de l progresión ritmétic: 6, 9 0,,... Ejercicio 9: Ddo el término generl de l progresión ritmétic n 4n 5. Hll l sum de los cincuent primeros términos. Ejercicio 0: Hll término generl de un progresión geométric sbiendo que el quinto término es 48 y el segundo 6. Ejercicio. El tercer término de un progresión geométric es 8 7 y l rzón. Clcul l sum de los diez primeros términos. Ejercicio. En un progresión geométric de rzón -/ tercer término es. Clcul l sum de 0 términos y de infinitos términos. Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com) 7

8 SOLUNCIONES A LOS PROBLEMAS Ejercicio : ) {, 4, 9, 6, 5, } n =n b) {/4, /5, 5/6, 7/7, 9/8} n =(n-)/(+n) c) {, 4, 6, 8, } n =n Ejercicio : ) {,,,,5,8,, } n = n- + n- con =, = b) {,6,8,54,6, } n = n- con = c) {,-,-4,-7 } n = n- - con = Ejercicio : ) n = n- - n- con =, = Recurrente {,,,-,7 } b) n =n - Generl: {0,,8,5,4, } c) Generl: {,/4, 4/, /8, 7/5 } d) n =- n- =0 Recurrente {0,,0,,0 } Ejercicio 4: Hy dos forms de resolver, hremos y b de form intuitiv y c por sistems. ) =, =5 - =d d=, = -d=-=. Término generl n =+(n-) b) =4, 0 =8 0 - =7 d 7 d=4, d=; = 4- d, =0. Término generl: n =0+(n-) c) =8, 6 =0 Por sistems sustituyendo en n = +(n-)d siendo ls incógnits y d:4 n= 8= +(-)d n=6 0= +(6-)d { }, resolviendo el sistem =0, d=-. Término generl: n =0-(n-) Ejercicio 5: { 5, 9,, 7, } n =,5+0,4 (n-) Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com) 8

9 Ejercicio 6: ) {-5,4,, } =-5, d=9 n =-5+9 (n-) 0 =-5+9 9=66 b) =-, d=4 n =-+4 (n-) 0 =-+4 9=7 Ejercicio 7: Luego 0 - =9d 7=9 d d=7/9 n =+7/9 (n-) Ejercicio 8: ) =4, = r=/4, luego =4/r=6, el término generl es n =6 (/4) n- b) =, 5 =4 r =4/=8, r=; =/=.5, el término generl es n =.5 () n- c) 5 =, 0 = r 5 =, d=; =/ 4 =0.065, el término generl n =0.065 () n- Ejercicio 9: =, =9 5= 5 =4 Ejercicio 0: ) =0., r= =0. 0 =0 4; b) {0,,0 } =0, r=0., =0 0, 0 =0-9 Ejercicio : =0, r=0,5 =6. Como l pelot sube y bj distnci es de 40 m. Ejercicio : Clculmos = /r=8 =8,8888 Ejercicio : ) 7 ; 5 47 ; 97 0 ; 47 5 b) b 5; b 5 ; b 0 8 ; b Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com) 9

10 Ejercicio 4. Pr que sen términos de es sucesión, debe existir números nturles que sustituidos por n en l fórmul del término generl den como resultdo, 5, 7 y 9. 5 n n n 7 n n 4 n 9 n n 6 n Los tres son de l sucesión. Ejercicio 5: Hy que comprobr si existen números nturles que l sustituir por n en l expresión del término generl dé como resultdo los vlores ddos. n n n n 4 n n n 5 5n 5 n 4n 6 n / N n No es de l sucesión Por tnto, sí es un término de l sucesión, el segundo, pero 5 no lo es. Ejercicio 6 n ) n b) Ejercicio 7 d = 7 n b n n (n )d 8 (n )7 8 7n 7 7n Ejercicio 8 9 d= 6 d 6 6 ( ) 4 6 S Ejercicio 9 : = = 9 = = ( ) 50(9 05) 50 S50 Ejercicio r 48 6r 8 r r n n n n n 7n 667 Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com) 0

11 Ejercicio S 8 8 r 7 8 r r Ejercicio r S r Tem elbordo por José Luis Lorente Argón (lorentejl@gmil.com)