UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta

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1 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril

2 OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul en Electrotecni, se h utilizdo l letr pr designr l unidd imginri,, en los números compleos. En muchos tetos mtemáticos el lector puede oservr que se emple l letr i pr designr. 00, Miguel Ángel Rodríguez Pozuet Universidd de Cntri (Espñ) Deprtmento de Ingenierí Eléctric y Energétic Está permitid l reproducción totl o prcil de este documento con l condición inecusle de citr su utor y su crácter grtuito. Este documento puede descrgrse grtuitmente desde est We:

3 ÍNDICE NÚMEROS COMPLEJOS Números imginrios y compleos.... Representción de números compleos. Plno de Guss.. Operciones con números compleos Resolución de sistems de ecuciones lineles con números compleos.. 6 Eemplo

4 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Ángel Rodríguez Pozuet NÚMEROS IMAGINARIOS COMPLEJOS Es sido que el cudrdo de culquier número rel, tnto positivo como negtivo, d como resultdo un número rel positivo. Por consiguiente, l ríz cudrd de un número negtivo no tiene solución dentro del conunto de los números reles. Pr poder otener l ríz cudrd de números negtivos se introdueron los números imginrios. L unidd imginri se define sí: () Es preciso indicr que en l myorí de los liros de mtemátics l unidd imginri se represent medinte l letr i. Sin emrgo, en Electrotecni se represent medinte l letr porque se reserv l letr i pr l intensidd. Un número imginrio es igul l producto de l unidd imginri por un número rel, por consiguiente tiene est form: () Luego, un número imginrio es igul l ríz cudrd de un número rel negtivo: Un número compleo tiene est form (3) (4) Por lo tnto, un número compleo es igul l sum de un número rel más uno imginrio. De esto se deduce que tnto el conunto de los números reles como el de los números imginrios son suconuntos del conunto de los números compleos. Como se preci en l epresión (4), un número compleo se puede designr medinte un letr con un guión encim o medinte un letr en negrit. En el teto de este documento se utiliz el primero de estos sistems de designción, mientrs que en ls figurs se emplen mos sistems. En l epresión (4) se lo denomin prte rel y se lo llm prte imginri del número compleo. --

5 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. PLANO DE GAUSS Se puede estlecer un correspondenci entre cd número compleo y un vector en el plno -y. Este vector tiene su origen sore el origen de coordends y sus componentes son l prte rel ( ) en el ee de sciss y l prte imginri ( ) en el ee de ordends (Fig. ). Fig. : Representción gráfic del número compleo Cundo el plno crtesino represent l conunto de los números compleos se lo denomin plno compleo o plno de Guss y en él los ees de coordends psn denominrse ee rel y ee imginrio, respectivmente (Fig. ). L epresión (4) constituye l form crtesin, inómic o rectngulr del número compleo. Otr mner de representr l número compleo es l form polr: Form crtesin: (4 ) Form polr: (5) En l form polr (5) precen el módulo y el rgumento del número compleo (ver l Fig. ). De l Fig. es fácil deducir ls siguientes relciones: cos (6) sen (6) De ls epresiones (4) y (6) se deduce est relción: (6c) tg (6d) ( cos sen ) (7) --

6 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA Se demuestr que se cumple l siguiente iguldd: α e cos α sen α (8) Ls epresiones (7) y (8) indicn que tmién se puede empler l form eponencil pr representr l número compleo : Form eponencil: e (9) OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS En lo que sigue se utilizrán los dos números compleos siguientes: (0) (0) y Conugdo de un número compleo: Fig. : * es el conugdo del número compleo * () Propieddes de : 90º () 80º () 3 * 90º (c) 90º (d) L epresión (d) se demuestr sí: -3-

7 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA -4- Sum: (3) Rest: (4) Multiplicción: En form polr: y (5) En form crtesin: (5) L epresión (5) se demuestr sí: Fig. 4: Rest de los números compleos e Fig. 3: Sum de los números compleos e

8 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA -5- Cudrdo: En form polr: (6) En form crtesin: (6) División: En form polr: ( ) y (7) En form crtesin: (7) Pr otener l epresión (7) se multiplicn tnto el numerdor como el denomindor del cociente por l conugd del denomindor: ( ) Inverso: En form polr: (8) En form crtesin: (8) Oservndo ls epresiones () y (5) se deduce que: Multiplicr por equivle girrlo 90º. Multiplicr por equivle girrlo 80º. Multiplicr por - o por equivle girrlo -90º.

9 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON NÚMEROS COMPLEJOS Los sistems de ecuciones lineles con números compleos se resuelven de mner similr los sistems de ecuciones con números reles. Por lo tnto, se utilizrán los conocidos métodos de sustitución, de igulción y de reducción o, tmién, l Regl de Crmer. L únic diferenci es que ls operciones lgerics son con números compleos y se efectún como se h indicdo en el prtdo nterior. En l We tmién está disponile mi liro de cálculo CALCOMP que resuelve sistems de hst nueve ecuciones lineles con números compleos. Se puede descrgr grtuitmente de est págin We: Un eemplo permitirá comprender meor como se resuelven estos sistems de ecuciones. Eemplo : Clcule ls corrientes de rm del siguiente circuito medinte el método generl; es decir, medinte l plicción direct de los Lems de Kirchhoff. Fig. 5: Circuito resolver Resolución: L plicción de los dos lems de Kirchhoff d lugr l siguiente sistem de seis ecuciones con seis incógnits, que son ls corrientes de rm ( I, I,, I 6 ): Nudo A: I 3 I4 I5 (9) Nudo B: I I 0 (9) I4 5 6 Nudo C: 0 I I I3 (9c) Mll : I ( ) I ( ) (9d) Mll : 4 I ( ) I 3 (9e) 4 I (9f) Mll c: ( )

10 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA Se empiez ordenndo cd un de ls ecuciones de form que ls incógnits psen l ldo derecho del signo igul: 0 I (0) 3 I4 I5 0 I (0) 4 I5 I6 0 I (0c) I I3 ( ) I ( ) I (0d) ( ) I 4 I 3 (0e) I (0f) De l últim de ls ecuciones y considerndo l propiedd (d) se puede desper I 5 : I () Es fácil perctrse de que ls tres ecuciones (0c), (0d) y (0e) sólo incluyen tres incógnits: I, I e I 3. Luego es posile otener ests incógnits mnipulndo ests tres ecuciones. Despendo I 3 de (0c) se lleg : Sustituyendo () en (0e) se deduce que: ( I ) I () 3 I ( ) ( I I ) 4 I ( ) I ( ) 4 I (3) Simplificmos l ecución (3) dividiendo por - mos ldos del signo. Se otiene este resultdo: ( ) 6 I I (4) Ahor tenemos ls dos ecuciones (4) y (0d) que sólo incluyen ls incógnits I e I y que vn permitir clculrls. Multiplicndo mos ldos de l ecución (4) por ( ) teniendo presente, demás, l propiedd () se lleg : ( 6) ( ) I ( ) I ( ) ( ) I ( ) y ( ) I ( ) I ( ) 6 6 I ( ) I ( ) 4 8 I (5) -7-

11 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA Seguidmente otendremos I sumndo l ecución (0d) l (5): I I ( 4) ( 5) ( ) 5 I 5 (6) Despemos I de (4) y utilizmos el vlor de I otenido en (6): I ( 6) I ( ) ( 6) [( 5 ) ( ) ] I ( 6) ( 5 5 ) ( 6) ( 4 6) I (7) I 3 se puede clculr sustituyendo en l epresión () los vlores de I y de I que cmos de otener en (6) y en (7), respectivmente: ( I I ) ( 5 ) [ ] [ 3 ] I3 I 3 3 (8) I 4 se puede otener despeándol de l ecución (0) y utilizndo los vlores de I 3 y de I 5 clculdos en (8) y en (), respectivmente: ( 3 ) ( 4 4) 7 3 I4 I3 I5 (9) Finlmente, I 6 se determin despeándol de l ecución (0) y utilizndo los vlores de I 4 y de 5 I que se hn clculdo en (9) y en (), respectivmente: ( I I ) [( 7 3) ( 4 4) ] [ 3 ] I6 4 5 I 6 3 (30) Por lo tnto, ls corrientes de rm de este circuito tienen estos vlores: I 3 I A ; I 5 A ; I 3 A 7 3 A ; I 4 4 A ; I 3 A -8-

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