TEMA 3: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES.

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1 TEM : PROPORCIONLIDD Y PORCENTJES.. Conceptos de Rzón y Proporción. Se define l RZÓN entre dos números como l frcción que se form con ellos. Es decir l rzón entre y es:, con 0. De quí que ls frcciones (rzones) formen el conjunto de los Números Rcionles, Q. Se define un PROPORCIÓN como l iguldd entre dos rzones, equivlentes). RECORDTORIO: c (Frcciones d Dos frcciones son equivlentes si sus productos cruzdos son igules. Podemos otener frcciones equivlentes multiplicndo o dividiendo por un mismo nº, distinto de cero, el numerdor y el denomindor CTIVIDDES,,, 4 DE L PÁGIN 84.. Mgnitudes Directmente Proporcionles. Dos mgnitudes son DIRECTMENTE PROPORCIONLES si l rzón entre sus prejs de vlores es constnte (no vrí). l resultdo de esos cocientes se le llm CONSTNTE DE PROPRCIONLIDD. Mgnitud n Mgnitud n y son Directmente Proporcionles si n n Como consecuenci de l definición nterior, podemos generr nuevos vlores de ls mgnitudes multiplicndo o dividiendo por un mismo número. Mgnitud / / Mgnitud / / Es evidente que cundo umentmos los vlores de, tmién lo hcen los de, y cundo disminuimos los vlores de tmién disminuyen los de. Ejemplo: Un corredor vnz m/s. L distnci recorrid según el tiempo es: Tiempo (s) 6 4 Ls mgnitudes, Tiempo y Distnci, son Directmente Distnci (m) Proporcionles. Su Constnte de proporcionlidd es /.

2 MODELOS PR RESOLVER PROLEMS: Luís y Crlos llegn de Nuev York Mdrid. Luís cmi $ y le dn 50. Crlos le dn 900. Cuántos $ cmió Crlos? Cuál es el cmio dólr-euros? Es evidente que son mgnitudes directmente proporcionles, D entonces E Primer Método (TL): Luís Crlos Cmio Dólres ($) d Euros ( ) e d d 50 e e e 50 50d d Solución: Crlos cmió 800 $, y el cmio $- está : $ equivle Segundo Método (REGL DE TRES): Dólres Euros Luís d 900 d 800 Crlos d Euros Dólres Luís e e 50 e 0.5 Solución: Crlos cmió 800 $, y el cmio $- está : $ equivle 0.5 Tercer Método (REDUCCIÓN L UNIDD): Luís Reducción Dólres ($) d Euros ( ) 50 Vemos cuántos dólres son euro: 50 d 50d d 50 equivle $. Por tnto Crlos cmió $ CTIVIDDES,, DE L PÁGIN 85.

3 . Mgnitudes Inversmente Proporcionles. Dos mgnitudes son INVERSMENTE PROPORCIONLES si el producto entre sus prejs de vlores es constnte (no vrí). Mgnitud n Mgnitud n y son Inversmente Proporcionles si n n Como consecuenci de l definición nterior, podemos generr nuevos vlores de ls mgnitudes: teniendo en cuent que si un mgnitud se multiplic por un número, l otr hy que dividirl por ese número y vicevers Mgnitud / / Mgnitud / / Es evidente que cundo umentmos los vlores de, disminuyen los de, y cundo disminuimos los vlores de umentn los de. Ejemplo: Dos trjdores descrgn un cmión en 6 hors. L vrición del tiempo de descrg según el número de trjdores es l que sigue: Trjdores (nº) Tiempo de descrg (dís) Ls mgnitudes, Trjdores y Tiempo de descrg, son Inversmente Proporcionles MODELOS PR RESOLVER PROLEMS: Un grnjero tiene lflf en el lmcén pr limentr sus vcs durnte 0 dís. Cuánto le durrí el forrje si tuvier 5 vcs? Es evidente que son mgnitudes inversmente proporcionles, Nº vcs entonces Nº dís Primer Método (TL): Vcs (nº)) t 0 t 6 Tiempo (dís) 0 t 5 5 Solución: l grnjero le durrí el forrje 6 dís. Segundo Método (REGL DE TRES INVERS): Vcs (nº) Tiempo (dís) t 0 t t 5 Solución: l grnjero le durrí el forrje 6 dís.

4 Tercer Método (REDUCCIÓN L UNIDD): Vcs (nº)) Tiempo (dís) 0 t Vemos cuántos dís dur el forrje pr un sol vc: t 0 t 0 Solución: Pr vc le durrá 0 dís, entonces si tuvier 5 vcs le durrí 0 : 5 6 dís CTIVIDDES,,, 4, 5, 6, 7 DE L PÁGIN Prolems de Proporcionlidd Compuest. Considermos en este epígrfe del tem los prolems donde intervienen más de dos mgnitudes proporcionles. MODELO : Vemos dos modelos de prolems que resolveremos por reducción l unidd. Un grnjero h necesitdo 94 kg de pienso pr limentr 5 vcs durnte un semn. Cuántos kg. de pienso se necesitrán pr limentr 0 vcs durnte 0 dís? Es conveniente utilizr l últim column pr l mgnitud que contiene l incógnit. Vcs Dís Pienso (Kg) x 94 5 vcs en un dí 4 kg de pienso (P.Direct) 7 4 vc en dí.8 kg de pienso (P.Direct) 5 vc en 0 dís kg de pienso 0 vcs en 0 dís kg de pienso. Solución: Pr limentr 0 vcs durnte 0 dís son necesrios 840 kg. de pienso MODELO : Un cudrill de lñiles, trjndo 8 hors diris, construye 400 m cudrdos de pred en 5 dís. Cuánto trdrá l mism cudrill en construir 600 m de pred, si deciden trjr 0 hors cd dí? Superficie (m ) Hors/dí Dís x 400 m trjndo h/di dís (P.Invers) 0 m trjndo h/dí 0. dís (P.Direct) m trjndo h/di dís m trjndo 0h/di 8 dís 0 Solución: Pr construir 600 m de pred, trjndo 0 hors diris, necesitn 8 dís 4

5 CTIVIDDES,,, 4DE L PÁGIN 9..5 Porcentjes. Cundo se quiere comprr rzones con distintos denomindores, se utilizn los porcentjes, porque éstos expresn ls rzones (frcciones) con el mismo denomindor (potencis de se 0). Los más utilizndo son los de denomindor 00 (TNTOS POR CIENTO). Tmién se pueden usr tnto por, tntos por 0, tntos por 000, L rzón entre ciert cntidd, que reprend un PRTE, y otr cntidd, que represent su totlidd, TOTL, se puede expresr en términos de tnto por ciento, %, como sigue: P % T El % sldrá en form deciml. Es muy fácil expresrlo como frcción de denomindor 00 P, represent l prte y T, el totl. Vemos con un ejemplo cómo se plic en l práctic: De los 80 km de un utopist y se hn construido 6, Qué porcentje represent? Prte : 6 km % Totl :80 km Represent un 5 % Despejndo de l fórmul nterior P y T podremos resolver prolems en los que nos pidn l prte ó el totl. P % T Vemos dos ejemplos más: T P % De un utopist en construcción que tendrá un longitud totl de 80 km, y se h construido el 5 %. Cuántos km hy y construidos? Totl :80 km 5 P Y se hn construido 6 km. % : 5% De l nuev utopist en construcción, y se hn completdo 6 km, lo que supone un 5 % del totl proyectdo. Cuál será l longitud de l crreter, un vez finlizd? % : 5% T 80 L utopist tendrá un longitud de 80 km. Prte : 6 km 0.5 UMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTULES. Se define el ÍNDICE DE VRICIÓN, v, como el número por el que hy que multiplicr ciert CNTIDD INICIL, I, pr umentrl o disminuirl porcentulmente y otener l CNTIDD FINL, F. F v I. Pr los umentos: v + % Pr ls disminuciones: v - % 5

6 De l fórmul nterior podemos deducir: del prolem. F v o I F I v, que plicremos, según los dtos Vemos lgunos ejemplos: Un vinicultor recogió en l cmpñ psd 80 tonelds de uv, pero este ño esper un 0 % más. Cuánts tonelds esper cosechr este ño? I 80 F Esper cosechr 6 tonelds v Un vinicultor recogió, el ño psdo, 80 tonelds de uv, y este ño, 6 tonelds. En que porcentje h umentdo su producción? I 80 6 v % L producción l h umentdo un 0% F 6 80 Cuál es el coste finl de un iciclet de 60 que está rejd un 5 %? v F L iciclet rejd, cuest 57 I 60 Hemos pgdo 57 por un iciclet rejd un 5 %. Cuánto cost ntes de l rej? v I 60 L iciclet cost 60 F Podemos encdenr sucesivos umentos y disminuciones, clculndo el ÍNDICE DE VRICIÓN GLOL, como el producto de los sucesivos índices de vrición. ciert cntidd l umentmos un 5 %, el resultdo lo disminuimos un 5 % y por último lo que nos quede lo umentmos un 0 %; qué vrición sufre tl cntidd? v v v v L cntidd ument un 7.55 % Un nco ofrece un eneficio nul del 4 %. Qué cntidd nos devolverán si depositmos 750 durnte ños? v (.04).5 F v I Nos devolverán

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