RAZONES Y PROPORCIONES I)

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1 Aritmétic de Secundri: III Trimestre XVI: RAZONES Y PROPORCIONES I) Rzón o Relción.- ) Hllndo en cunto excede un cntidd respecto de otr (rest). Ejem: 6- = 4 ) Hllndo en cunto contiene un cntidd otr (división). Ejem: 6/ = 3 Aritmétic o por diferenci, o Geometrí o por cociente. Rzón Aritmétic o por Diferenci = 4 Vlor de l Rzon Término (consecuente) Término (ntecedente) Z + * Se lee : 6 excede en 4 ; 6 es myor que en 4 ; es menor que 6 en 4, etc. Propieddes de l Rzón Aritmétic.- ) Si l ntecedente de l R.A. se le sum o rest un cntidd, entonces el vlor de l Rzón quedrá umentdo o disminuido en dich cntidd, respectivmente. Ejem.: Si ( ) ) Si el consecuente de l R.A. quedse umentdo o disminuido en ciert cntidd, entonces el vlor de l Rzón quedr disminuido, en el primer cso, o umentdo, en el do cso, en dich cntidd. Ejm.: Si ( ) 4 ( ) 6 ( ) ) Si l ntecedente y l consecuente de un R.A. Se le sum o se le rest un mism cntidd, entonces el vlor de l Rzón no se verá fectdo (permnecerá constnte). Ejm: Si ( ) ( ) 6 ( ) 4 5 Rzón Geométric o por Cociente.- Es l Rzón que se estblece por medio del cociente que se obtiene l dividir cntiddes. Se pueden representr de modos: en form de frcción o por medio de puntos, signo de l división (/b ó ) Ejem: 3 A Ambos Términos o se les sum o se les rest l mism cntidd

2 Aritmétic de Secundri: III Trimestre 6/ = 3 6 : = 3 Vlor de l Rzon Término (consecuente) Término (ntecedente) * Se lee 6 contiene en 3 ; 6 contiene 3 veces ; est incluido en 6, 3 veces etc. Propieddes de l Rzón Geométric.- ) Si el ntecedente de l R.G., qued multiplicd o dividid por un cntidd, el vlor de l Rzón quedrá tmbién multiplicdo o dividido por l mism cntidd, respectivmente. Ejem.: : 3 Si ( ) 3 : 3 5 ) Si el consecuente de un R.G. qued multiplicdo o dividido, por un cntidd entonces el vlor de l Rzón quedrá dividido, en el er cso; o multiplicdo, en el do cso, por es mism cntidd. Ejm: Si ( ) 3 :.3 : 6 6 3) Si el ntecedente y l consecuente de un R.G. se les multiplic o se les divide por un mism cntidd, entonces el vlor de l Rzón permnecerá constnte. Ejm. 4 6 / : 5 Si 3 3 ( ) 3.4 : 5 8 /5 II) PROPORCIONES.- ) Proporciones Aritmétics o Equidiferenci: b = c d (v).b :: c.d ; ;b ; d Z + * Términos de un P.A: - b = c - d ;c= ntecedentes miembro miembro b;d= consecuentes ;d= t. extremos b;c= t. medios Se lee " es b como c es d" * Propiedd Fundmentl: Si b = c d es P.A. + d = c + b. Ejm: 8 6 = = = 7 * Clses de Equidiferencis: E. Direct: Form Generl: b = c d Ejm = 8 6 Dónde: * d: 4t diferencil respecto ; b ; c * ; b ; c : 3er diferencil o Terci Diferencil, respecto De ; b ; c (bc d). E. Continu: Form Generl: b = b c Ejm.. 8 = 8 5 Dónde: * b: Medi diferencil respecto de ; b ; c Z + A

3 Aritmétic de Secundri: III Trimestre * ; c : 3 er ó Terci diferencil, respecto ; b ; c (bc). Obs.: Medi Diferencil o Aritmétic c b ) Proporciones Geométrics o Equicocientes: b :: c : d (v) (/b)= (c/d). * Términos de un P.G: : b :: c : d ;c= Antecedentes miembro miembro b;d= Consecuentes ;d= T. extremos Z + b;c= T. Medios Se lee es b como c es d * Propiedd Fundmentl: Si b c d d bc b c es d un P.G.;Ejm : * Clses de Equicocientes: ) E. Discret: 0 : = 5 : 5 Form Generl: : b :: c : d Dónde: * d : 4t proporcionl respecto de ; b ; c * ; b ; c : 3er o terci proporcionl, respecto de ; b y c (bcd). ) E. Contínu: quell cuyos Términos medios son igules.ejm.: 3 : 6 :: 6 : 8 Form Generl: : b :: b : c Dónde: * b : Medi proporcionl respecto de ; b ; c * ; c : 3er o Terci proporcionl, respecto ; b y c (bc). Obs.: Medi Proporcionl o Geométrics b. c Trnsformciones de Proporciones Geométrics.- c Se l proporción Geométric: ; sus vriciones legítims serán. b d b d c d b c ) ; ) ; 3) ; 4) c d b c d c b c d b 5) ; 6) ; 7) ; y 8) b d d c b 3 6 Ejm: l proporción ; puede escribirse de 8 modos: 6 8 b ; d c ;

4 Aritmétic de Secundri: III Trimestre ) ; ) ; 3) ; 4) ; ) ; 6) ; 7) ; 8) Obs.: Cundo l Progresión Geométric es continu, ls forms distints serán 4 : tods legítims. Comprción de Proporciones Geométrics ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 ) ; 3) ( ) ) El producto que se obtiene l multiplicr, término término, distints proporciones geométrics d lugr un proporción geométric. Ejm: ; ; Multiplicndo x x ( ) x x ntecedentes y consecuentes es unp.g. porque : Con los 4 Términos de productos igules se puede formr un proporción geométric. 3 Ejm.: 6 x 3 = x Propieddes de ls Proporciones Geométrics.- c Se l proporción ; se cumple: b d c b c d ) Si b d b d c c c 3) Si b d b d b d c c b d 5) Si b d c b d c b c d 7) Si b d b c d Operciones con ls Proporciones Geométrics.- c b c d ) Si b d c c b c d 4) Si b d b c d c c c 6) Si b d b d b d 96 ; 864

5 Aritmétic de Secundri: III Trimestre c k c k )Si R k b d b k d k Siendo: c k ck )Si R(cte) b d bk dk R = el vlor de l Rzón c / k c / k 3)Si R(cte) K = constnte (k Z + ) b d b / k d / k k k c c c c 4)Si 5)Si k k b d b d b d b d Serie de Rzones Equivlentes (S.R.E.).- ) S.R.E. Aritmétics: Si l iguldd se estblece entre o más proporciones ritmétics. Ejm: 8 5 = 7 4 = 8 = 6 3 = = 5 = 9 = 9 6 =... ) S.R.E. Geométrics: Si l iguldd se estblece entre ó más proporciones geométrics. b c d Ejm:... k(cte). b c d e Propieddes de ls S.R.E.G: (*) b c d Z bcd...z Si... K(cte) (K) b c d e bcde... "N" RAZONES n Se Cumple: k n ;b k (n) ;c k (n) ;...;Z k Donde: K = Cte. De proporcionlidd (kz + ) = ntecedente N = # Totl de Rzones geométrics = Ultimo consecuente. c e Z c e... Z (*) Si... k k b d f b d f... c (*) Si b d e f Z... k b p p c d p p e e p p... Z p... p k p Donde: k = cte. De proporcionlidd ( Q + ). ; P Z +

6 Aritmétic de Secundri: III Trimestre XVII: REPARTO PROPORCIONAL Reprtir un número entero N en prtes proporcionles q ; r ; s ;...; z Sen b c ;...; ls prtes del número N proporcionles q ; r ; s ;...; z tl que : + b + c = N. (dp) q; b (dp) r ; c (dp) s ;...; (dp) z q b r c s... Donde: k = constnte de proporcionlidd (k Q + ) Obs.: l operción del Reprto es nálog pr el Reprto inverso. x y z Regl Práctic.- Si x y z () b c b c Aplicndo un de ls propieddes de ls Rzones geométrics : k z x y b z c Pero : x + y + z = N x y z b c x x y z ; b c y x y z ; b b c z c N x b c ; bn y b c cn ;Z b c Clses de Reprto.- Directo * R.P. Simple Inverso Reprto Proporcionl R.P. Compuesto * * Regl de Compñí Simple Compuest I) Reprto Proporcionl Simple (RPS).- ) Reprto Proporcionl Directo Simple o Directmente Proporcionl: Se estblece cundo prte que pertenece un cntidd es directmente proporcionl con cd índice de proporcionlidd. Present 3 csos: (*) De un Número entero otro Número entero.- Se us l Regl práctic pr cd cso. Ejm.: Reprto de 8 en Números proporcionles y 4. Si 8 = x + y, plicndo l Regl Generl : (x/) = (y/3) X = (8) x = 6 ; y = 4 (8) y = 6 6 Los Números del Reprto son : 6 y. (*) De un Número entero un Número Rcionl: Ejm.: Reprtir 54 en prtes directmente proporcionles /3; ¼ ; /5; /6. Reduciendo ess frcciones l Mínimo Común Denomindor: /3 ; ¼ ; /5 ; /6 ; 40/60 ; 5/60 ; /60 ; 0/60.

7 Aritmétic de Secundri: III Trimestre Prescindimos el Denomindor Común (60), se plic l Regl práctic pr cd cso: 40 (54) 5 (54) (54) 0 (54) x ; y ; z ; u x = 80 ; y = 30 ; z =4 ; u = 0 (*) De un Número entero un Número Rel: Se considern los csos entre los números enteros y el cso entre el número entero y el número rcionl. Regl Generl: Ejem.: Reprtir 50 en prtes directmente proporcionles 5;6 y 9. 5(50) 6(50) 9(50) x 37,5;y 45 ; z 67, x = 37,5 ; y= 45 ; z = 67,5 ) Reprto Proporcionl Simple Inverso o Inversmente Proporcionl: 40 en prtes inversmente proporcionles ; 6 ; 8. Invirtiendo los índices de inversión : /5 ; /6 ; /8 homogenizndo: 4/0 ; 0/0 ; 5/0. (0 = mínimo Común Denomindor). Aplicndo uno de los csos del Reprto Simple Directo (Reprto entre Números enteros): Si x + y + z = 40 4(40) 0(40) 5(40) x ; y ;z x 97 ; y 8 ; z x ; y 8 59 ;z 6 59 II) Reprto Proporcionl Compuesto (RPC).- Reprtir 70 en prtes d.p. con 4; 5 y 6 e i.p ; 4 ; = x + y + z = ; multiplicmos los índices directmente proporcionles 70 por ls inverss de los índices inversmente proporcionles = x + y + z () x = (dp) 4. ½ x (dp) y = (dp) 5. ¼ y (dp) 5/4 z = (dp) 6. /6 z (dp) Reducieno los nuevos índices su mínimo común Denomindor: X (dp) x (dp) 8/4 ; y (dp) 5/4 y (dp) 5/4; z (dp) z (dp) 4/4 Reprtiendo 70 en prtes directmente proporcionles 8 ; 5; 4: 70(8) x 7 80; y 70(5) 70(4) 50 ; z x 80 ; y 50 ; z 40

8 Aritmétic de Secundri: III Trimestre XVIII: PORCENTAJE Notción: Si % de b es igul c : %b c (b) 00 c 7 Ejemplo: Hllr el 7 por ciento de 8 : 7%8.8 5, Propieddes del Tnto Por Ciento.- ) Tod cntidd represent el 00% de sí mism. N= 00% N. ) %N + %N - %N =(++)N;. Dónde: ;; Q + 43% M + 7%M 5%M = 55%M Notción: Si el por b de c es igul d: 3 Hllr el 3 por 5 de 75: (75) 45 5 (c) b d ; donde b 00. * Tnto por mil: Notción: Si el por 000 de b es igul c: (b) c ; donde b Hllr el tnto por mil (el 5 por mil) de 300: (300) 57, * Tnto por ciento del tnto por ciento: (30/00)(40/00)(60/00)(300) = 3, Csos Prticulres: ) Si relizo dos umentos sucesivos del M% y del N%, el incremento único será: M x N A U M N 00 donde: Au =Aumento ó incremento Único ) Si relizo dos descuentos sucesivos del M% y del N%, el descuento único será: M x N D U M N. 00 Du =Descuento Único A U (00 A)(00 B)(00 C) 00 % n 00 A ; B ; C = Aumento Sucesivos. n = Cntidd Totl de Incrementos Au = Incremento Único

9 Aritmétic de Secundri: III Trimestre XIX: ASUNTOS COMERCIALES ) Se determin l precio de vent como l sum del precio de costo y l gnnci. Pv = Pc + G ; donde Pv Pc ) Se determin l precio de costo como l sum del precio de vent y l pérdid. Pc = Pv + P ; donde Pv Pc 3) Se define l precio de list como l sum del precio de vent y el descuento. PL = Pv + D ; donde Pv PL Además : G f(pc) ; P f(pc) Generlmente ; D f(pl) Siempre Si el precio de list no se lter, el precio de vent y el precio de list tienen los mismos vlores. XX: PROMEDIOS Se ;;3;... n n un sucesion tl que su promedio es : P(; ;3;... n ) F;donde: F n ;det l mner que: Vlor Mínimo y n Vlor Máximo; y se cumple que :... n Sen los 4 números: A + B + C + d = 40 ; el nuevo promedio de los números (después de sufrir l vrición) (A + 3) + (B + 3) + (C - ) + d = P Se cumple que: El Promedio de un grupo = El Promedio originl + L Vrición El Promedio del Grupo =? ; El Promedio Originl = El Nuevo Promedio : P = A B C D 4 ; Vrición =

10 Aritmétic de Secundri: III Trimestre I) Promedio Aritmético ( P. A ) 3... n PA( ;...; n ) n sucesión Ejemplo : Hllr el promedio de l siguiente sucesión: 0 ;, 5 ; 9 P.A ; P.A 4 4 II) Promedio Geométrico( P. G ) ;... n : Términos de l sucesión. N : Número de Términos de l PG ( ;...; ) n n n Donde : 3... n Términos de l sucesión. n N Ejemplo: Hllr el promedio Geométrico que result de l sucesión: 0; ; 5 ; 9 P.G P.G 3,60 III) Promedio Armónico( P. H ).- n PH PH n 3 4 n n ( El número de términos de l n n sucesión multiplicdo por el producto PH 3... de esos términos y el producto es n dividido en l sum de los términos de l sucesión ) Ejemplo : Hllr el promedio Armónico de los términos de l sucesión: 0 ; ; 5 ; P.H( 0;;5;9) ; P.H 9, IV) Promedio Ponderdo ( P. P ) ) romedio Ponderdo Aritmético ( P. PA ): m n... kz PPA m n... z ;... k : Términos de l sucesión. m ;n;...z : Prámetros de Ponderción (m;n;...;z N)

11 Aritmétic de Secundri: III Trimestre ) Promedio Ponderdo Geométrico( P. PG ) PPG mn... z n n z.... k Donde : 3... k 3) Promedio Ponderdo Armónico( P. PH ) PPH Propieddes Generles del Promedio.- I) Pr el promedio Aritmético ( P. A ): ) PA ( k;k;...; n k) P K constnte ) PA ( ; ; 3;... n ) k k k k P / k ; PA( k; k; 3 k;... n k) Pk II) PA (0;;5;9) 4; PG(0;;5;9) PH(0;;5;9) 9,9 Por lo visto: Si 4 m n... z (m) (n)... 3,60 9,9 PA PG PH III) Pr ls cntiddes A y B ; se cumple : ( b) 4(MA(,b) MG(,b) ) k (z) Dónde : P.P = n ;... m veces ;... ; n;... n n veces z veces IV) Sen dos números 4 y 8. donde : MA 6 y MG 4, Hllr l medid rmónic. De l propiedd (IV) : MG( 4;8) MA(4;8).MH(4;8) 4 6. MH(4;8 ) Elevndo l cudrdo: 3 6MH( 4;8) MH(4;8 ) 6/ 3 Comprobndo: MH ( 4;8) (4)(8) / 4 8; MH(4;8 ) 6/ 3 (Demostrción). XX: MAGNITUDES PROPORCIONALES ) Mgnitud: Ms ( M ) ; Longitud (L) y Tiempo (t) ) Cntidd: 60 Kg. ; 00m ; 38s. Un cntidd, por su nturlez, puede ser: ) Cntidd Constnte: Aquell cntidd que tiene un vlor fijo o determindo. Ejem.: El costo de l edición diri de un periódico.

12 - - Aritmétic de Secundri: III Trimestre b) Cntidd Vrible: Aquell cntidd cuyos vlores se ltern. Ejem: El costo de un ciert cntidd de Kilogrmos de Azúcr. 3) Función(f): y = f (x) I) Mgnitudes Proporcionles Directmente o Mgnitudes Directmente Proporcionles Mgnitudes A B Donde: 3... n b b b 3...b n (*) cons tnte; R Propiedd fundmentl: Dos cntiddes serán directmente proporcionles si y solo si el cociente de esos dos números se un cntidd constnte (constnte de proporcionlidd) Gráfico: Puntos Colineles Discontinuos (no incluyen l origen) A n- - Ejemplo: ( b; ) b b ( b ; ) Vlores Posibles * ; ; 3;... n * K=Tg ( b n ; n ) b b ; b ; b ;... b n 3 n Operción Mtemátic B Función de proporcionlidd Direct: Si y = f(x) y = k(x) f(x)= k(x) y = Vrible Dependiente k = Constnte x = Vrible Independiente Si A ument; B ument Si A disminuye; B disminuye El número de obreros con l dificultd de l obr; l velocidd con l distnci; l obr con el rendimiento ; etc. II) Mgnitudes de Proporción Invers o Mgnitudes Inversmente Proporcionles Se estblecen cundo ó ms cntiddes sufren vrición opuest proporcionl : ; ;... ; n veces respecto su vlor originl; es decir, si un de ells se multiplic o sum con un constnte, o si se rest o divide con un mism constnte ; l otr sufrirí l vrición opuest, es decir, se divide o rest y/o sum o multiplic respectivmente.

13 Aritmétic de Secundri: III Trimestre Propiedd fundmentl: Dos cntiddes serán inversmente proporcionles si y solo si Mgnitudes Vlores Posibles A B * ; ; 3;... n / b ; b ; b3 ;... bn * Invers de Operción Mtemtic Donde: 3... n b b b 3...b n (*) cons tnte; R el producto de ess cntiddes se igul un cntidd constnte (potenci de inversión) Ejem.: Si 8. 4 =7 y 6. =7 entonces 8 (ip) 5 y 6 (ip) Gráfico: Hipérbol Equiláter Asíntot A ls Bses (Ejes) A n ( b; n ) ( b; 4) K=S s ( b3; 3) ( b4; ) ( b n ; ) b b b 3 b 4 b n B Función de proporcionlidd Invers: Si y = k /x y = f(x) f(x)= k (/x) y = Vrible Dependiente k = Constnte x = Vrible Dependiente Obs. Ls áres bjo l gráfic de l mgnitud inversmente proporcionl son siempre igules. K = Potenci de Inversión (constnte) Si A ument; B disminuye. Si B disminuye A ument ) Si dos cntiddes son inversmente proporcionles entre sí entonces un de ess cntiddes es directmente proporcionl l invers de l otr cntidd. Si A (ip) B A (dp) (/B) ) Si dos cntiddes son directmente proporciones entre sí entonces un de ess cntiddes es inversmente proporcionl l invers de l otr cntidd Si A (dp) B A (ip) (/B) 3) El orden donde se ubicn ls cntiddes no lter l mgnitud proporcionl. Si A (dp) B B (dp) A y A(ip) B (ip)a

14 Aritmétic de Secundri: III Trimestre 4) Si dos cntiddes son direct o inversmente proporcionles entonces tods ls potencis de dichs cntiddes tmbién serán direct o inversmente proporcionles. Si A (dp) B A n (dp) B n ; donde : n Z A (ip) B A n (ip) B n 5) Si dos cntiddes son direct o inversmente proporcionles entre sí, entonces tods ls ríces enters de dichs cntiddes serán, respectivmente, direct o inversmente. proporcionles. n n Si A(dp) B A(dp) B n n A(ip) B A(ip) B donde; n Z 6) Sen 3 mgnitudes: A; B ; C Si A (dp) B (c = cte) y Si A (dp) c (B= cte), entonces A (dp) B C Si A (dp) B (c = cte) y Si A (ip) c (B= cte), entonces A (dp) B C - Trnsmisiones.- ) Trnsmisión por fjs o corres: W Piñon Ctlin Pin (diente) Cden R W R Relcion de Trnsmición D W = D W W = número de dientes D = Diámetro(D=R) R = Rdio n = # de vuelts D D ) Trnsmisión por engrnjes:

15 Aritmétic de Secundri: III Trimestre R R Si R R R R n n Luego: n, ( ip) W, ( W, )( n ), = cte 3) Rueds unids por un fj: Fj R R Si R R n = n 4) Trnsmisión por engrnjes: Si "n"= IMPAR. Giro es igul Si "n" = PAR Giro es contrrio (Respecto l primero)

16 Aritmétic de Secundri: III Trimestre 5) Trnsmisión por corre: * Trnsmisión Abiert * Trnsmisión Cruzd Los ejes presentn el mismo sentido de Rotción y l mism velocidd Tngencil Los ejes tienen el sentido inverso de Rotción, l mism velocidd ngulr y el vlor bsoluto de l s v e l o c i d d e s tngenciles de los ejes es el mismo. XXI: INTERÉS SIMPLE Definiciones Previs ) Prestmist: quell person que, previo convenio, otorg ciert cntidd de dinero (préstmo) otr. ) Presttrio: quell person que recibe l cntidd otorgd por el prestmist. Ejem: Si Julio decide prestr Pepe unos 0 dólres mericnos con un interés de por ciento mensul, Julio hrí l lbor de prestmist y Pepe, de presttrio. 3) Monto : es l sum de l cntidd invertid con el interés. 4) Cpitl : es l cntidd de dinero que se invierte en un trnscción comercil ; es l cntidd sobre l cul se impone el interés. 5) Ts de Interés : es el porcentje de interés (en uniddes monetris) del dinero que se h prestdo. 6) Tiempo : es el número de períodos en los cules permnece el cpitl en el negocio.

17 Aritmétic de Secundri: III Trimestre Interés Simple.- Es quell vrinte del Interés que consiste en que el cpitl permnece constnte durnte todo el tiempo que dur el préstmo cundo los intereses se retirn Pr hllr el interés simple es necesrio l determinción ritmétic; cumpliéndose: I = C. E. t Relción fundmentl del Interés Simple (I) en % donde: C Cpitl (siempre constnte) E Ts de Interés o Rédito (%) nul t Tiempo (en ños) ) Ls uniddes de tiempo en ls cules están expresdos l ts de interés y el tiempo deben ser ls misms (generlmente en meses y en ños). ) Equivlentes del Tiempo: ño solr 365 dís ; 5 hors. ño común 365 dís. ño bisiesto 366 dís. ño comercil 360 dís meses. mes comercil 30 dís 3) Si no está especificd l unidd del tiempo en l cul entr en cción el Interés (I) ; se consider ést como nul. 4) Se cumple: M = C ( + E t) ; donde = M = monto 5) Considerndo ls equivlencis del tiempo: Si el tiempo se expres en meses: I CEt 00 ; C 00 I te ;t 00 I ce ; E 00 I Ct Si el tiempo se expres en dís: I c te ; C 36000I te ;t 36000I Ec ; E 36000I Ct

18 Aritmétic de Secundri: III Trimestre Si el tiempo se expres en ños I C te 00 ; C 00 I te ;t 00 I ce ; E 00 I Ct Dónde: I = Interés ; C = Cpitl ; T = Tiempo ; E = Ts de Interés o Rédito ) Cuál es l sum que l 5 /5 h producido 04 soles en 8 meses. Aplicndo l fórmul del Cpitl cundo el tiempo se expres en meses. 00 I 00(04) C C 3000 Et (6/ 5)(8) ) Hllr el interés de 600 soles l n3 ½ en 4 ños. Aplicndo l fórmul del interés en función l tiempo expresdo en ños: I CtE 00 I (600)(4)(7 / ) ) Si 600 pesos fueron impuestos l %; produciendo 600 pesos. Hllr el tiempo en el cul dicho dinero estuvo invertido. t 00 I ce t 00(600) (6000)() 5