FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL

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1 FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) -FUNCION LOGARITMO NATURAL Definición propieddes L funcion logritmo nturl de un numero positivo se not ln su dominio es el conjunto de los números reles positivos se define como un integrl definid,,es el áre bjo l curv de l funcion t en el intervlo [,] con positivo es decir : = dt t ln donde f(t)= t si es mor de el áre sombred est dd por : A ) = dt t ( pr entre 0 el áre sombred bjo l mism curv est dd por : A( ) = dt = ln t g

2 d d t Y por el teorem fundmentl del cálculo ln = dt = con > 0 Y que l derivd de un integrl con respecto su limite superior es l funcion integrndo EJEMPLOS ILUSTRATIVOS DE LA DEFINICION DE LOGARITMO ln= dt t d d proimdmente 0,6947 ln= dt t ln6= 6 dt t proimdmente,0986 proimdmente,79759 El logritmo nturl ln signific logritmo en bse e de log e donde e es el numero trscendentl, irrcionl de vlor proimdo,788.. El logritmo nturl se lee ele ene de log() signific log l bse es 0 es llmdo logritmo común por 0 lo generl se omite el subíndice 0 El logritmo en bse log de un numero con número rel el logritmo nturl ln tienen ls misms propieddes

3 PROPIEDADES - Logritmo de un producto de dos números positivos es l sum de los logritmos de esos números ln ( b) = ln()+ln(b) Ejemplos : - log 56 =log(87)= log8+log = log 8 =log(9)= log9+log =.55 - ln((+5))= ln + ln(+5) - Logritmo de un cociente de dos números positivos es l diferenci entre el logritmo del numerdor menos el logritmo del denomindor ln ( /b) = ln()-ln(b) Ejemplos : 6 - log =log6- log = = log =log 9- log7 = = ln = ln ln(+) + - Logritmo de un potenci es el producto del eponente por el logritmo de l bse de es potenci r ln ( ) = r.ln() EJEMPLO : - log 5 = log 5 = log5 = ( ) = log 8 =.log8 = (0.90)= ln ( + 7) 5= 5ln( + 7) 4-Logritmo del numero es cero ln() = 0

4 5.logritmo nturl del numero irrcionl e es igul ln e = EJEMPLOS log = 0 6 log = 0 log = 0 6-si l ecución logritmo de es igul l logritmo de entonces es igul ln = ln entonces = L funcion logritmo nturl =ln el dominio es el intervlo ( 0, ) ln = < 0 = 0 > 0 pr pr pr 0 < < = > l grfic de l funcion logritmo nturl o neperino es l siguiente: El rngo es el conjunto de números reles Es creciente en todo su dominio lim ln = lim ln = 0+

5 DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL = ln l derivd '= si l vrible se cmbi por l funcion u() se us l regl de l cden pr derivr du =ln u() entonces = u ( ) d EJEMPLOS:. f ( ) = ln( ) por lo tnto f '( ) = ( ) ( ) 5. =ln(5+) l derivd es =.(5) = = ln( ) entonces se plicn ls propieddes de logritmo si: + =ln -ln(+) después se deriv d d = + 4. =, > se simplific l epresión usndo ls propieddes de logritmo nturl = ln( ) / = ln( ) = [ln( ) ln( )] = [ln( ) ln ] d = ( ) = d

6 INTEGRALES QUE PRODUCEN FUNCIONES LOGARITMICAS NATURALES. d = ln + C u. du = lnu + C si u =g() diferente de 0 derivble 5. d se efectu l sustitución u = 5 el du = 6 d l integrl se trnsform en ln 5 6 du = u + c = ln +c u tn d tn d sen = d cos integrl se trnsform en se hce l sustitución u= cos du = -sen d l du u ln cos( u ) + c = lnsecu + c 5. sec d = ln(sec + tn ) +c = lnu + C reemplzndo u result FUNCION INVERSA DE LA FUNCION LOGARITMO Como l funcion logritmo nturl es derivble continu, es creciente en todo su dominio entonces tiene invers su invers tmbien es creciente es llmd l funcion eponencil nturl,se not como ep Si =ln entonces =ep - FUNCIONES EXPONENCIALES A l INVERSA de l funcion logritmo nturl f()=ln se le llm l funcion eponencil nturl de bse e se not por f ( ) = e es decir :

7 e si solo si = ln e = ep = l relcion pr todo L funcion = e El dominio es el conjunto de los números reles, el rngo son los reles positivos ( 0, ),l grfic de l eponencil se reflej sobre l funcion logritmo en l rect = L funcion eponencil es creciente A prtir de l definición se sigue que : l ne = e ln = PROPIEDADES Se cumplen ls lees de eponentes Si b son numeros reles culquier entonces : - e eb = e+ b e e e b = - b

8 .- b b ( e ) = e 4- e 0 = e = e 5- DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL = e LA DERIVADA es l mism funcion ' = e se demuestr usndo derivción implícit propieddes de logritmo = e ln = lne = lne Derivndo en mbos ldos d = lne d despejndo d d d = e obtiene d pr después reemplzr lne por se si l vrible se cmbi por l funcion u() se us l regl de l cden pr derivr es decir : = e u() entonces EJEMPLOS : '= e u( ). su derivd es du d = e + ' = e + = ecos ' = ecos( sen) - su derivd es

9 . f()= e l derivd es f ()= e ( ) 4. f() es l funcion de probbilidd norml f()= e entonces f ()= e (-) π π INTEGRALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES e d = e + C e u du = eu + C EJEMPLOS: 5 e + d. se hce l sustitución u=5+ du= 5 d reemplzndo se obtiene eu eu du C e + + C 5 = + = e d u=, du=d entonces l integrl qued e u du eu ( ) C = e + c. se hce 5 = e se hce u=,du= d e du eu c e u = + = + c. d l integrl es

10 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS GENERALES EN BASE A Si es un numero rel positivo se define e ln = EJEMPLO (,0986) = e ln = e 9, pr todo numero rel como FUNCION EXPONENCIAL DE BASE A f()= dominio es el conjunto de todos los reles,el rngo son los reles positivos ( 0, ) con son funciones crecientes con > FUNCIONES EXPONENCIALES con > = entonces l funcion es = Si = entonces l funcion es = Ls grfics correspondientes son = es l grfic verde = es l grfic mrill Como el numero e=,788.. est entre es decir

11 <e< entonces l funcion e est entre ests dos funciones < e < es de color rojo l funcion invers de = el cmbio de bse pr est funcion es : es l funcion logrítmic log f ( ) =. ln log = ln l invers de l invers de = es = = = log es log L funcion eponencil = tiene como invers = log e = log Si = l invers es llmd ln e Un form de grficr ls invers de ls funciones eponenciles o ls funciones logrítmics es hciendo ls equivlencis respectivs dndo vlores = log es equivlente = log es equivlente log e = = = es equivlente = e

12 Ls grfics de ls inverss o funciones logrítmics son = log = log Como el numero e=,788.. est entre entonces l grfic de l funcion logritmo nturl est entre ls dos logritmics es decir = con < FUNCIONES EXPONENCIALES con Son funciones decrecientes el dominio es el conjunto de los reles el rngo es ( 0, ) SI

13 Si = = entonces l funcion es entonces l funcion es = ( ) = ( ) Si = entonces l funcion es e ) e = ( se escribe como = e Ls grfics correspondientes de ls eponenciles son Y ls grfics de sus inverss o de ls logrítmics correspondientes son : = ( ) l invers es = log ( ) = ( ) l invers es = log ( )

14 ) e = ( se escribe como corresponde l funcion = - ln = e l invers es log = ( e ) Son funciones tmbién decrecientes de dominio el intervlo números reles PROPIEDADES de l funcion eponencil ( 0, ) rngo los Se cumplen ls lees de eponentes Si son números reles culquier - 0 = - = b entonces : = = 5- = ( ) b b

15 ( b ) = b 6-7- Si = entonces = PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARITMO EN BASE A f ( ) = log Se cumplen ls misms propieddes de logritmo nturl -log ( ) = log + log - log ( ) = log log - log r = rlog 4- log = 0 5- Si log log = entonces = CALCULO CON LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES GENERALES DE BASE A DERIVADA DE LOGARITMO EN BASE A log f ( ) = l derivd es '= ln si l vrible se cmbi por l funcion u() se us l regl de l cden pr derivr f ( ) = log u ( ) entonces '= ln du d

16 EJEMPLOS - f ( ) = log ( 4 + ) entonces ' = (4) 0 4 ( + )ln0 ' = (6 7)ln - f ( ) = log 6 7 entonces 6 - f ( ) = log (+ 5) plicndo ls propieddes de logritmo luego derivndo se tiene : log( 5) f ( ) = + = log( + 5) entonces ' = () (+ 5)ln0 4 ' = (+ 5) ln0 DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE A = LA DERIVADA es l mism funcion '= ln se demuestr usndo derivción implícit propieddes de logritmo = ln = ln = ln Derivndo en mbos ldos d = ln d despejndo d d d = ln d pr después reemplzr se obtiene

17 si l vrible se cmbi por l funcion u() se us l regl de l cden pr derivr es decir : = u() entonces EJEMPLO: - l derivd es '= u( ) du d = ' = ln - = l derivd es ' = ln ( ) ( ) - = l derivd es 4- = l derivd es ' = ( ) ln entonces ' = ln ' = ( ) ln entonces ' = ln ( 4 5) = 5- l derivd es 4 ( 5) ' = ln(8 ) INTEGRALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES d = ln + C ln u du = u + C EJEMPLOS: - d = + C ln - d = + C ln

18 5 d se hce l sustitución u = entonces du = d = se obtiene l integrl u du u c ln5 = reemplzndo u se obtiene 5 + ln5 C Diseño elborción clr cstillo

19 APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL INTERES COMPUESTO Supongse que se depositn P cntidd de dinero o cpitl principl en un cuent de horros con un ts nul de 00 r compuesto n veces l ño Si se deposit el interés cumuldo o (compuesto)en l cuent nuevmente tmbién gener interés por lo tnto h interés sobre interés entonces el monto S de l inversion o l cuent l finl los t ños es r S = P( + ) n tn donde n es el numero de cumulciones o periodos cpitlizbles por ño S es el Monto cumuldo o monto compuesto es el cpitl originl ms todo el interés cumuldo EJEMPLO Se invierten 00dolres un ts (interes ) del 5% compuesto( cpitlizble ) cd ño Al finl del primer ño,el vlor de l inversion es el cpitl originl (00) ms el interes sobre el cpitl [00(0.05)] es decir : 00+00(0.05)=05 Est es l nuev cntidd de cpitl sobre el cul se gener el interés pr el segundo ño, Al finl del segundo ño el vlor de l inversión es el cpitl del finl del primer ño (05) ms el interés sobre ese cpitl [05(0.05)] es decir 05+05(0.05)=0.5 Est es l nuev cntidd de cpitl sobre el cul se gener el interés pr el segundo ño, Al finl del segundo ño el vlor de l inversión es el cpitl del finl del primer ño (05) ms el interés sobre ese cpitl [05(0.05)] es decir 05+05(0.05)=0.5

20 Est es l nuev cntidd de cpitl sobre el cul se gener el interés pr el tercer ño, Al finl del tercer ño el vlor de l inversión es el cpitl del finl del segundo ño (0.5) ms el interés sobre ese cpitl [0.5(0.05)] es decir (0.05)=5.76 Así cd ño el cpitl se increment en 5% Los 5.76 dólres representn el cpitl originl ms todo el interés cumuldo ; Est cntidd se llm MONTO ACUMULADO O MONTO COMPUESTO (S) INTERES COMPUESTO :es l diferenci entre el monto compuesto el cpitl originl S-P Pr este ejemplo es : =5.76 Generlizndo el proceso : Si un cpitl de P dolres se invierte un ts de 00r por ciento (r%) compuesto nulmente, l cntidd compuest después de un ño es P +Pr, l fctorizr P(+r) Al finl del segundo ño l cntidd compuest es : P(+r) +[ P(+r)] r fctorizndo es P(+r)[+r] es decir: P(+r). Al finl del tercer ño l cntidd compuest es: P(+r) + [P(+r) ]r. fctorizndo es: P(+r) [+r] es decir: P(+r). 4 Este ptrón continu.despues de 4 ños l cntidd compuest es P(+r ) En generl el MONTO COMPUESTO S de un cpitl P l finl de n periodos (ños) un ts r compuesto nulmente est ddo por : S = P( + r) n Donde S es funcion de n s(n) es funcion eponencil de bse (+r) - EJEMPLO :

21 Supóngse que se invierten $.000 durnte 0 ños l 6% compuesto nulmente Hllr : ) Monto compuesto S b) Interés compuesto Solución Cpitl P=000 ts de interés r =0.06 numero de periodos o ños n=0 ) Entonces 0 S =000 ( ) S =000(.06) 0 Aproimdmente $ b)interés compuesto = S P Interés compuesto $ = $ L grfic de l funcion S =000(.06) n es. Si t es el numero de ños n el numero de periodos de cpitlizción o interes durnte el ño r S = P( + ) n tn Si el interés se compone dirimente n=65 porque el ño tiene 65 dis Si el interés se compone semnlmente n=5 porque el ño tiene 5 semns Si el interés se compone trimestrlmente n=4 porque el ño tiene 4 trimestres

22 Si el interés se compone bimestrlmente n=6 porque el ño tiene 6 bimestres Si el interés se compone semestrlmente n= porque el ño tiene semestres Si el interés se compone mensulmente n= porque el ño tiene meses Si el interes se compone nulmente n= porque el periodo de cpitlizción es ño - EJEMPLO : Supóngse que se invierten $.000 durnte 0 ños l 6% nul compuest trimestrlmente Hllr : c) Monto compuesto S (se compone cd meses) d) Interés compuesto Solución Cpitl P=000 ts de interés r =0.05 numero ños t=0, numero de periodos n=4 (4 trimestres ) 0.06 S = 000 ( + 4 =000 ( ) 40 Entonces ) 0(4) S porque en 0 ños compuesto trimestrlmente h 40 periodos de interés S =000(.05) 40 Aproimdmente $ 84.0 Interés compuesto = S P Interés compuesto $ = $ 84.0 Si se compone semnlmente entonces el monto. es 0.06 S = 000 ( + 5 ) 0(5) S=8.49 Interés compuesto $ = $ 8.49

23 Si se compone dirimente entonces el monto. es 0.06 S = 000 ( + 65 ) 0(65) S=8.0 Interés compuesto $ = $ EJEMPLO Se hce un deposito de.500 dólres en un cuent que pg 0% de interés nul,clculr el monto o blnce de l cuent después de 5 ños si el interes se compone trimestrlmente? Si se compone trimestrlmente entonces el monto. es 0. S =.500 ( + 4 S =.500(.05) 0 ) 5(4) S= $ Interés compuesto = EJERCICIOS Hlle. ) El monto compuesto S b) El interes compuesto Pr el cpitl P ddo l ts nul dd - P= $4.000 durnte t= 7 ños r=6% compuesto nulmente - P= $700 durnte t= 5 ños r=7% compuesto semestrlmente - P= $4.000 durnte t= ños r=7.5% compuesto semestrlmente 4- P= $9.000 durnte t= ños r=0% compuesto trimestrlmente 5- P= $5.000 durnte t=.5 ños r=9% compuesto mensulmente 6- P= $8.000 durnte t= ños r=6,5% compuesto dirimente 7- un certificdo de deposito $6.000 se compr en se conserv durnte t= 7 ños.si el certificdo gn un 8% compuesto cd trimestre cul es el vlor l cbo de 7 ños? SI EL INTERES SE COMPONE CONTINUAMENTE

24 el numero de periodos de interés por ño ument sin limite entonces tomndo limite de S r S = P( + ) n lim n n lim S= P e r tn r tn r P ( + ) = P lim ( + ) tn = P e r porque n n n r ( + ) tn es e r entonces el monto es n Ejemplo Se invierten 500 dólres en el bnco l % compuesto continuo cunto hbrá l cbo de ños 0.() r= 0. t= P=500 entonces S ( t) = 500e S= PROBLEMAS CRECIMIENTO EXPONENCIAL

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