7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

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1 Eponenciles y Logrítmos 7. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS En est Unidd estudiremos y nlizremos ls funciones y ecuciones eponenciles y logrítmics. Comenzremos con ls funciones eponenciles pr luego continur con ecuciones eponenciles. L necesidd de resolver ecuciones eponenciles tre consigo hllr l función invers de l función eponencil y es donde tom sentido l función logritmo. Repsremos lguns propieddes de los logritmos pr centrrnos en resolver ecuciones logrítmics y situciones problemátics donde se encuentren involucrds ecuciones tnto eponenciles como logrítmics. Comencemos con l siguiente situción. L espernz de vid, ún en los píses poco desrrolldos, creció después de l Segund Guerr Mundil unque distinto ritmo. Este crecimiento, si bien l principio trjo myor ctividd y progreso, l lrg h producido grves problems: flt de viviends, escuels, puestos de trbjo... El umento de l poblción por l prolongción de l vid se h visto compensdo en prte por el descenso de l ntlidd en los píses industrilizdos. De todos modos, h precido el problem del envejecimiento de l poblción (es decir el umento de l edd promedio). Anlizremos hor lgún modelo mtemático que trt de describir l evolución de un poblción. En Europ occidentl, durnte los siglos XVII y XVIII, comenzó descender el índice de mortlidd, y el incremento poblcionl en muchos píses se situó entre 0.5 y % nul. Pr evitr complicciones con los cálculos considerremos que el crecimiento poblcionl fue del % nul durnte los primeros 0 ños de este siglo. Supongmos que l cntidd de poblción europe l comienzo del siglo XVII (ño.600 ) se 0 (en cientos de millones). L función P(t) medirá l cntidd de poblción en el tiempo t. Como comenzremos nuestro estudio prtir del ño.600 este será el tiempo inicil, es decir, t = 0. Año Tiempo t (ños) Poblción ( en cientos de millones ) 600 t = 0 P (0) = 0 60 t = P () = 0 + % de 0 = t = = 0, P () = 0, + % de 0, = 0, + 0,0. 0, = 0,0 60 t = P () = Podemos hllr un fórmul que nos permit clculr l poblción pr culquier vlor de t? Pr ello nlizremos lo que hemos hecho hst el momento en cd pso: Págin 9

2 Curso de Apoyo en Mtemátic en t = 0, P (0) = 0 en t =, P () = 0 + 0,0.0 = 0 ( + 0,0) = 0.,0 = P (0).,0 en t =, P () = P () + 0,0. P () = 0.,0 + 0,0. 0.,0 = 0.,0 ( + 0,0) = 0.,0.,0 = 0 (.0) Podrás relizr el cso t =? (Ten en cuent los psos hechos en los csos t = y t = ) En generl, l poblción después de t períodos será: P (t ) = 0 (.0) t donde 0 es l poblción inicil P (0). Verifiquemos que l fórmul obtenid nos d, por ejemplo pr t =, P () = 0.,0 = 0,0 que coincide con el vlor de l tbl. Si queremos estimr l poblción en el ño 60, será P (0) = 0.,0 0 = 06. en l fórmul P (t ) = 0 (,0) t, el fctor 0 es l poblción inicil y l vrible t figur en el eponente. A este tipo de funciones se ls llm eponenciles. 7. Función Eponencil Desde ejemplos hst l prición de l definición, lo pondrí como teto hbitul, ddo que son comentrios no vinculdos l enuncición de definiciones, leyes, etc. Esto, los efectos de ver l coherenci gráfic. Ejemplos: Hst hor hemos estudido potencis pertenecientes distintos cmpos numéricos: potencis de eponente nturl n =..... n N, potencis de eponente nulo n veces 0 = ( 0 ), - = 5 = 5 potencis de eponente entero negtivo -n = n N, ( 0 ), n potencis de eponente frccionrio m/n = n m m Z, n N 5.5 =5 6 ( ) = 6 y conocemos sus propieddes básics: n. m = n + m n : m = n-m ( n ) m = n.m n, m Q. Págin 0

3 Eponenciles y Logrítmos Ls propieddes ntes mencionds se etienden pr el cso en que n y m son números reles culesquier Tmbién es posible dr sentido epresiones tles como π, y estimr su vlor prtir de un proimción del eponente irrcionl. Con estos elementos, podemos definir l función eponencil. Función eponencil Ddo > 0, llmmos función eponencil de bse l función f : R fi R definid por f () =. El comportmiento de l función eponencil es muy distinto según se >, <, =. Ejemplo: culquier se el vlor de > 0, l gráfic de l función eponencil debe psr por el punto (0,), y que es el vlor de l ordend l origen; es decir el vlor que tom l función pr = 0. Por otro ldo es clro que medid que el vlor de ument, el vlor de tmbién, y si el vlor de decrece (con vlores negtivos) entonces el vlor de tiende 0. Anlicemos l gráfic de l función eponencil de cuerdo l vlor de. ) Si >, por ejemplo =, l función y = es creciente b) Si 0 < <, por ejemplo y = decreciente. l función es nuevmente culquier se el vlor de 0< <, l gráfic de l función ps por el punto (0,). Por otro ldo, medid que el vlor de ument, el vlor de decrece L siguiente tbl de vlores nos permite hcer un estudio comprtivo de ls funciones y = e y =. Págin

4 Curso de Apoyo en Mtemátic = = L gráfic de l función ps por el punto (0,). Si los vlores de son positivos, entonces es negtivo. Si > 0, entonces 5 es decreciente. Si < 0, se tiene positivo y medid que los vlores de - umentn, 5 decrece. c) y = 5 - Cuál es l gráfic de est función? Pr pensr... Qué ps cundo =? L función eponencil prece con frecuenci en modelos mtemáticos de diferentes procesos evolutivos. Por ejemplo, ls mebs son seres unicelulres que se reproducen dividiéndose en dos. Supongmos que ls condiciones de un cultivo son tles que ls mebs se duplicn proimdmente cd hor, y que inicilmente solo hy un meb. Proponemos clculr el número de mebs que hbrá según psn ls hors: Tiempo (hs) Nro. de mebs 8... Págin

5 Eponenciles y Logrítmos si en el momento inicil hy k mebs, y en l primer hor se duplicn, entonces hor hy k. En l segund hor se vuelven duplicr, es decir, (k) = k, en l tercer hor se repite l situción y tenemos ( k) = k, etc. Luego en generl se tiene k. El número totl l cbo de hors será y = Si l comienzo del proceso hbí k serí: y = k mebs, el número totl en est últim iguldd, l vrible independiente prece como eponente. Qué ps si hor queremos hllr el tiempo en el cul el número de mebs eistente y es conocid? En l sección siguiente estudiremos este tipo de ecuciones resultnte. 7.. Ecuciones Eponenciles Ecución eponencil estmos teniendo en cuent que si ls bses son ls misms en un iguldd, entonces los eponentes deben ser igules. A un ecución en l que l incógnit prece en un eponente se l llm ecución eponencil. ) 5 - = = 5, entonces - =, luego = 0 b) = 7 Recordemos que -n = n = = - - = - = Aquí utilizmos l definición de vlor bsoluto. = = entonces =, = - Págin

6 Curso de Apoyo en Mtemátic Actividdes de Aprendizje ) Grficr: ) y = b) y = c) y =. d) y = e) y = - f) y = -. ) Ls sustncis rdictivs se desintegrn emitiendo rdiciones y trnsformándose en otrs sustncis. Sustnci rdictiv rdiciones + otr sustnci. Este proceso se reliz con el pso del tiempo y un ritmo que vrí según el tipo de sustnci. L rpidez con que se desintegr un sustnci rdictiv se mide medinte su "período de desintegrción", que es el tiempo que trd en desintegrrse l mitd de l ms inicil; lgunos ejemplos son: urnio: 500 millones de ños rdio: 60 ños ctinio: 8 ños tlio: minutos Si tenemos un ms inicil de un grmo y el período de desintegrción es un ño, verigur qué cntidd de sustnci rdictiv qued l cbo de: Tiempo (ños) grs. de sustnci... Cuál es l función que represent este proceso?. Grficr. ) Encontrr el vlor de que verific: + ) + = 8 b) = 0,5 + ) L poblción de un ciudd se triplic cd 50 ños. En el tiempo t = 0, est poblción es de hbitntes. Dr un fórmul pr l poblción P(t) como función del tiempo t. Cuál es l poblción después de ) 00 ños? b) 50 ños? c) 00 ños? 5) Ls bcteris en un solución se duplicn cd minutos. Si hy 0 bcteris l comienzo, dr un fórmul pr el número de bcteris en el tiempo t. Cuánts bcteris hy después de ) minutos? b) 7 minutos? c) hor? Págin

7 Eponenciles y Logrítmos 6) Un elemento rdictivo que dece en su crecimiento f (t) después de un tiempo t stisfce l fórmul f (t) = ,0 t. ) Cuál es l cntidd de este elemento l inicio del proceso? b) Qué cntidd qued después de 500 ños? c) Qué cntidd qued después de 000 ños? d) Qué cntidd qued después de 000 ños?. 7. Función Logrítmic - Logritmos Supongmos que un determindo bien mteril que hoy cuest $50 se devlú con el uso, cd ño, un % de su vlor durnte el ño nterior. Por ejemplo: En t = 0 (inicio) el vlor en 0 V(0) = 50 En t = ( ño después ) V() = 50 % de 50 = En t = ( ños después) V() = % de = 8, En t =... En generl, un fórmul que represent est situción, puede obtenerse como en el ejemplo inicil de l unidd: V(t) = 50. (096) t Supongmos hor, que queremos sber luego de cuántos ños de uso el vlor del bien se redujo proimdmente $9. Pr esto necesitmos resolver l siguiente ecución Cómo despejr t de est fórmul? 9 = 50 (0,96) t el vlor de t que estmos buscndo es tl que 9 elevndo el número 0,96 ese vlor d por resultdo. 50 Ahor queremos resolver otros tipos de ecuciones. Por ejemplo, resolvmos l ecución 0 - = 0. Vemos qué secuenci de psos desrrollmos: Descomponemos el número 0 en sus fctores primos. 0 - =.. 5 no podemos epresr l segundo miembro como potenci de 0, lo que nos permitirí resolver l ecución de mner similr l sección nterior. Págin 5

8 Curso de Apoyo en Mtemátic Nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 0 = k?, ó en generl = k?. Podemos hcerlo si conocemos l función invers de y = 0 Función logrítmic A est nuev función se l llm función logrítmic en bse 0 y se denot y = log 0 ó tmbién, y = log. 0 = 00 entonces = log 0 00 = pues 0 = 00 Si = log entonces 0 = = /00 entonces = log = - pues 0 - = Ahor, podemos decir que, si 0 = k entonces = log 0 k es decir, el logritmo de un número en bse 0 es el eponente l que hy que elevr l bse 0 pr obtener dicho número. Generlizndo: Logritmo en bse Se > 0 y, e y > 0, llmremos logritmo en bse de y l único número que verific = y. Es decir, log y = = y. Ejemplo: Interpretemos l definición de logritmo: ) 7 = 8 7 = 8 log 8 = 7 b) 8 / = 8 / = log 8 = Ejemplo: Clculemos ) log 6 log 6 = y y = 6 = y = b) log log = y y = = 5 y = 5 Págin 6

9 Eponenciles y Logrítmos Ejemplo: Ahor estmos en condiciones de resolver l siguiente ecución. El símbolo signific proimdmente. Consult el mnul de tu clculdor pr verificr que log 0 0 es proimdmente, = = 0 - = log 0 0,77 luego - 0, Propieddes de los Logritmos Recordemos lguns propieddes de los logritmos: log (.8) = log = 5 y log + log 8 = + = 5 log = log 6 = 6 pues 6 = 6 y log =. = 6.- El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de los fctores log (. y) = log + log y.- El logritmo de un potenci es igul l eponente por el logritmo de l bse log ( y ) = y. log A prtir de ests dos propieddes se pueden deducir ls siguientes: log 8/9 = log 9 = y por otro ldo log 8 - log 9 = =. log = log = 8 pues - = /. Por otro ldo tenemos log =.( ) =. 8.- El logritmo de un cociente es igul l logritmo del numerdor menos el logritmo del denomindor. log = log - log y y Observr que log y = log. = log y = log log y + log.- El logritmo de un ríz es igul l logritmo del rdicndo dividido por el índice de l ríz. Observr que log y = log = y log log y = log ( /y ) = y log y y Págin 7

10 Curso de Apoyo en Mtemátic Pr pensr... El logritmo de l bse es siempre log = por qué? El logritmo de es 0 en culquier bse log = 0 por qué? 7.. Cmbio de bse Ls clculdors científics permiten solmente obtener logritmos decimles y neperinos. Logritmo deciml Logritmo neperino Los logritmos decimles son los logritmos de bse 0, y se costumbr denotr log 0 = log omitiendo l bse. El logritmo neperino o nturl es el logritmo cuy bse es el número y se denot log e = ln. Si queremos clculr logritmos en otr bse, es conveniente relizr cmbios de bse. Si, por ejemplo, tuviérmos que clculr log : Llmmos l logritmo que queremos clculr. Luego, plicmo s logritmo deciml mbos miembros y obtenemos = log log = log, finlmente, = log log,589. El procedimiento generl es: y = log y = y log b = log b y = log log b b Págin 8

11 Eponenciles y Logrítmos Actividdes de Aprendizje 7) Clculr ) log 8 b) log ) Hllr el vlor de. ) log 7 = b) log = 0 c) log 8 = d) log 6 = e) log 9 7 = f) log 8 = g) log 0 = h) log 0,00000 = -6 9) Mostrr con un ejemplo que en generl, ) log ( + y) log + log y b) log ( - y) log - log y. 0) Resolver plicndo l definición de logritmo. ) log log b) log log/ c) log7 9 - log 6 d) log + log - log 0,00 e) log 7 + log / - log / 9 ) Sbiendo que log 5, clculr, plicndo ls propieddes del logritmo. ) log 0 b) log,5 c) log 5 d) log 5. ) Averigur el vlor numérico de ls siguientes epresiones: ) log ( ) b) log c) log d) log 6 e) log 6 f) log log g) 0 log ( ) h) 0 i) log 0 (log ) j) log 0 0 log0 Págin 9

12 Curso de Apoyo en Mtemátic ) Clculr relizndo cmbio de bse ) log 0 b) log 5 c) log / 0 d) log 0,. 7. Ecuciones Eponenciles y Logrítmics Y hemos resuelto ecuciones eponenciles del tipo 5 - = 5 y del tipo 0 - = 0 utilizndo logritmos. Ahor resolveremos ecuciones más complejs utilizndo ls propieddes del logritmo. Ejemplo: Clculr el vlor de en ls siguientes ecuciones eponenciles... ). 5 = Aplicmos ls propieddes de logritmo y resolvemos l ecución resultnte en form hbitul Recordemos que m+n = m. n - = / Etremos fctor común, resolvemos y plicmos l epresión = 79, logritmo pr luego resolver medinte propieddes. log (. 5 ) = log log + log 5 = log. log + log 5 = log. 0, ,699 0,60. 0,77 +.,98 0,60. (0,77 +,98) 0,60 b) =.,875 0,60 0, = = + = 0. = = 79, log = log 79, log 79, = log 6,000 Consideremos z =, reemplzndo en l ecución, obtenemos un ecución de segundo grdo y encontrmos ls ríces como se mostró en l Unidd 5. c) -. + = -7 ( ) = 0 z - z + 7 = 0 ls ríces de est ecución son z = 9, z =. Págin 0

13 Eponenciles y Logrítmos Por lo tnto = 9 = y = = d) = 0 Si reemplzmos z = 5 obtenemos un ecución de segundo grdo = 0 (5 ) + 5 = 0 z + z - 0 = 0 Ríces de l ecución cudrátic: z =, z = -5. Atención Un vez obtenids ls soluciones no olvides verificr si ls misms stisfcen l ecución. Luego 5 = log 5 = log 0,86 Si considermos 5 = -5, vemos que no hy vlores de que cumpl l ecución, pues ningun potenci de 5 puede ser negtiv. Por ejemplo, clculemos el vlor de en ls siguientes ecuciones logrítmics: Aplicndo l definición de logritmo. ) log 5 = log 5 = = 5 = 5 b) log 9 ( + ) + log 9 9 ( + ) = log 9 ( + ) + log 9 9 ( + ) = log 9 9 ( + ) = 9 ( + ) = 9 ( + ) = 9 con l solución = - obtenemos log 9 (- ) = 9 = - iguldd que no se verific pr ningún vlor de. + = + = = + = - = - Hemos considerdo z = log. c) log - 0 log + 8 = 0 z - 0 z + 8 = 0 Págin

14 Curso de Apoyo en Mtemátic Atención No olvides verificr ls soluciones y descrtr lgun si es necesrio. cuys soluciones son z =, z = log = = = 6 log = = = d) log - log = Necesitmos que todos los logritmos involucrdos en est ecución estén epresdos en l mism bse pr poder utilizr ls propieddes. Epresmos todos los logritmos en bse. log = y = y log = y log log = y. y = log Reemplzndo en l ecución obtenemos: log - log = log = log = = ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ) Resolver ls siguientes ecuciones logrítmics ) log = log c) 5 log - log = log e) log 0 = 5 - log - g) log = + 0 i) ln - ln = 8 Ejercicios Complementrios b) log - log = d) log = log - 5 f) 0 log 5-5 log = 0 g) log + log - 6 = 0 j) log - 5 log = 0 5) Clculr el vlor de. ) log = log 9 log b) log = (log 5 + log log ) log c) log = 5 Págin

15 Eponenciles y Logrítmos 6) Resolver ls siguientes ecuciones eponenciles ). - = 0 b). + 6 = 0 c) e - e - 6 = 0 d) - - = 0 e) + 9 = 6 Ejercicios complementrios f) + = 7 g) = 0. - h) = 6 i) e - 5 (e - e) - e + = 0 j) = 0 7) Un sustnci rdictiv se desintegr de cuerdo l fórmul r(t) = c e -7 t donde c es un constnte. En cuánto tiempo hbrá ectmente un tercio de l cntidd inicil?. 8) Un poblción de bcteris crece de cuerdo l fórmul B(t) = c e kt donde c y k son constntes y B(t) represent el número de bcteris en función del tiempo. En el instnte t = 0 hy 0 6 bcteris. En cuánto tiempo hbrá 0 7 bcteris, si en minutos hy. 0 6 bcteris?. 9) En 900 l poblción de un ciudd er de hbitntes. En 950 hbí hbitntes. Asummos que el número de hbitntes en función del tiempo se just l fórmul P(t) = c e kt donde c y k son constntes. Cuál fue l poblción en 98?. En qué ño l poblción es de hbitntes?. 0) L presión tmosféric como función de l ltur está dd por l fórmul P(h) = c e kh donde c y k son constntes, h es l ltur y P(h) es l presión en función de l ltur. Si en el brómetro se lee 0 l nivel del mr y los 6000 pies, hllr l lectur brométric los 0000 pies. ) El zúcr se descompone en el gu según l fórmul A(t) = c e -kt donde c y k son constntes. Si 0 kilos de zúcr se reducen 0 kilos en hors, cuánto trdrá en descomponerse el 95% del zúcr?. ) Un prtícul se mueve con velocidd S(t) = c e -kt donde c y k son constntes. Si l velocidd inicil en t = 0 es de 6 uniddes por minuto, y en minutos se reduce l mitd, hllr el vlor de t cundo l velocidd es de 0 uniddes/minuto. ) Qué relción debe eistir entre y b pr que se verifique que log + log b = 0?. ) Si el punto (, 5) pertenece l gráfic de l función eponencil y = p, cuánto vle p? 5) Si y b son dos números enteros, clculr el vlor de log / + log b b. Págin