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1 FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De l definición nterior se deducen ls siguientes ides: - L función f es un correspondenci que v de A B (es decir, tiene un sentido). Al conjunto A se le denomin conjunto origen (tmbién se dice que l función f está definid en el conjunto A) B es el conjunto imgen. Al elemento b del conjunto B que l función f le sign cd elemento del conjunto A se le denomin imgen se escribe b= f( ). - Todos los elementos del conjunto A tienen un imgen sólo un. Por lo tnto, no puede hber elementos en A que no tengn imgen, pero tmpoco puede hber elementos que tengn más de un imgen. Sin embrgo, dos elementos distintos de A pueden tener l mism imgen. Anlíticmente, l correspondenci nterior se escribe del modo siguiente: f : A B f( ) Por otr prte, l correspondenci entre los elementos de A B puede ser de uno de estos tres tipos: - Inectiv:, A/ f( ) f( ) (elementos distintos de A tienen imgen distint). - Suprectiv: b B, A/ f( ) = b (todos los elementos de B son imgen de lgún elemento de A). - Biectiv: cundo es inectiv suprectiv l vez...- Función invers o recíproc L imgen recíproc de un elemento b Bse define del modo siguiente: { } f ( b) = A/ f( ) = b

2 Como se h dicho en l definición de función, elementos distintos de A pueden tener l mism imgen por lo tnto, si, A/ f ( ) = f( ) = b, entonces f ( b) = f ( b) =. De hí que, en generl, f no se un función. Si f es un función biectiv, entonces tiene función recíproc o invers, f : B A, definid de l siguiente form: A cd elemento b B le sign un único elemento = f ( b) tl que b= f( ). Si f es un biectiv A b B, f ( f( )) = f( f ( b)) = b...- Función rel de vrible rel Si B = (el conjunto de los números reles), entonces f se le denomin función rel. Si demás tmbién A =, entonces se dice que f es un función rel de vrible rel. En generl, los elementos de A los representremos medinte l letr, ést será l vrible de l función. Por su prte, pr designr los elementos de B usremos l letr. Si los elementos son l imgen de lgún elemento obtenid trvés de f, lo representremos medinte = f( ). En muchs de ls funciones reles de vrible rel que se utilizrán no todos los números reles tendrán imgen. Es decir, el conjunto origen no es todo sino un subconjunto de él. El conjunto donde l función f está definid es el dominio de definición (D). Así pues, de hor en delnte, l notción que usremos será l siguiente: f : D f( )..- Operciones entre funciones Consideremos dos funciones reles de vrible rel, f : D f( ) g: D g ( ) Ls operciones básics entre ells se definen del modo siguiente: Sum: ( f + g)( ) = f( ) + g( ) D= D D Rest: ( f g)( ) = f( ) g( ) D= D D Producto: ( f g)( ) = f( ) g( ) D= D D Producto por un constnte: ( k f)( ) = k f( ) D= D et k

3 Cociente: { } ( f / g)( ) = f( )/ g( ) D= D D / g( ) = 0 Composición: ( f g)( ) = f( g( )) D= { D / g( ) D}.4.- Gráfic de un función L representción gráfic de l función f : D es el siguiente conjunto de puntos del plno: {(, ) / = f( ) } Se dice que l gráfic de f es l curv del plno dd en form eplícit por l ecución = f( ), D. Si f es biectiv, por lo tnto, eiste su función recíproc f, entonces ls gráfics de mbs funciones son dos curvs simétrics respecto de l bisectriz del primer cudrnte..- FUNCIONES ELEMENTALES..- Función potencil Pr mostrr ls crcterístics fundmentles de l función potencil diferencir dos csos. = vmos...- Funciones potenciles con eponente rcionl. p = donde = irreducible, p, q. q Según p q sen pres o impres, tnto el dominio de est función como los vlores que tomrá cmbin. Así pues, pueden precer los siguientes csos: Si p q impres { } D= ( < 0 D= 0 ) e =,0< < =, > =,0< < =, >

4 Si p impr q pr [ ) D= 0, ( < 0 D= (0, )) e 0 =,0< < =, > =,0< < =, > / Not: L función potencil = = (ríz cudrd de ) está incluid dentro de este cso. Es decir, ddo un número rel > 0, = > 0 / =. Así pues, > 0 > 0. El número rel > 0 tmbién tiene un ríz cudrd negtiv,. Si p pr q impr D= ( < 0 D= { 0 }) e [ 0, ) =,0< < =, > =,0< < =, >...- Funciones potenciles con eponente irrcionl. = donde es un número irrcionl. En este cso si 0 D [ 0, ) < 0 D= (0, ). > = si =,0< < =, > =,0< < =, > 4

5 ..- Función eponencil =, donde > 0. Pr ests funciones el dominio es D = ls imágenes (0, ). =, > = =, < Ls propieddes fundmentles de est función son: + = = 0 = ( ) =..- Función logrítmic = log = donde > 0. Ests funciones están definids en D = (0, ) ls imágenes. = log, > = log = log, < / 5

6 Si = e = log = L es el logritmo neperino (o nturl). e L > 0,, = log = > 0 L Ls propieddes fundmentles del logritmo neperino son ls siguientes: L = 0 L( b ) = L( ) + L( b) b, > 0 L = L( ) L( b), b > 0 b L = b L( ) > 0 b ( ).4.- Funciones trigonométrics Ests funciones son seno, coseno tngente, cd número rel le signn ls rzones trigonométrics del ángulo de rdines. Los dtos básicos sobre ells son los siguientes: = sin e = cos son funciones periódics de periodo π, están definids en D = sus imágenes [,]. = sin = cos Por su prte, = tn es un función periódic de periodo π, definid en kπ D= =, k cuo conjunto imgen es. 6

7 = tn - π / π / π π / π Además de ésts, tmbién se definen ls funciones cosecnte, secnte cotngente: = csc =, sin = sec = e cos = cot = tn Como ls funciones trigonométrics no son biectivs, pr definir sus reciprocs se tienen en cuent ls siguientes restricciones: π π = rcsin ( = sin, ) = rccos ( = cos, 0 π ) (rco coseno) (rco seno) π/ π - π/ -π/ - 0 π π = rctn ( = tn, < < ) (rco tngente) 7

8 π/ -π/.5.- Funciones hiperbólics A ls funciones de vrible rel definids del modo siguiente se ls denomin funciones hiperbólics: Seno hiperbólico: Coseno hiperbólico: Tngente hiperbólic: e Sh = e Ch = e + e Sh e Th = = Ch e e + e Ls tres están definids en todo su conjunto imgen es, respectivmente,, [, ) (,). = Sh = Ch (Ctenri) 8

9 = Th sus recíprocs: = ArgSh = Sh = ArgCh ( = Ch, 0) = ArgTh = Th 9

10 .6.- Vlor bsoluto Ddo un número rel, se denomin vlor bsoluto de, se escribe, l número definido como sigue: 0 = = = m, 0 Est función cumple ls siguientes propieddes: > 0 0 = 0 = 0 < < < = + + { } Not: Tl como se h eplicdo l hblr de ls funciones potenciles, > 0 > 0. est ide coincide con l definición que se cb de dr. Tiene que quedr clro, por tnto, que.- EJEMPLOS = > 0. En generl, sin embrgo, =..- Dd l función = f( ) = +, hllr su dominio, conjunto imgen función recíproc (si eiste). f : D f( ) donde D = e. f es biectiv: -, / f( ) f( ). Es decir, f es inectiv. -, / f( ) =. De hecho, suprectiv. = + =. Luego, f es Por lo tnto, eiste l función recíproc de f, definid por: se verificn ls siguientes igulddes: f ( ) = 0

11 + f ( f( ) ) f ( ) = + = = ( ) f f ( ) = f = + =.- Dd l función recíproc (si eiste). f = ( ) = +, hllr su dominio, conjunto imgen función f : D f( ) donde D =. - f no es inectiv: pr = = f() = 4 = f( ). En relidd, f( ) = f( ). Luego, f no es biectiv f. - Más ún, tl como se h definido rrib, si se nliz f como un función de en, result que f tmpoco es suprectiv. Concretmente, si < / f( ) =,.. De hecho, el conjunto imgen de f es [ ) Si de l ecución = + se dese despejr, se obtienen dos posibles vlores: = = Siendo esto sí, pr poder definir l función recíproc de f se debe tener en cuent l siguiente restricción: f [ ) [ ) f [ ) [ ) :0,, :, 0, = f = + = f = ( ) ( ) en tl cso se verificrán ls igulddes: 0 f f( ) = f ( + ) = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) f f ( ) = f = + = + = En l representción gráfic, l reciprocidd se trnsform en simetrí: = + = =

12 .- Tl como se h visto en l definición, l función logrítmic es recíproc de l función eponencil: = L = e > 0. sus gráfics son simétrics respecto de l bisectriz del primer cudrnte: = e = = L 4.- Dds ls funciones f ( ) = sin Eisten dos posibiliddes: ( ) ( ) ( f g)( ) = f( g( )) = f = sin ( )( ) ( ( )) (sin ) sin g f = g f = g = g ( ) =, definir l composición ente mbs. Como se muestr en este ejemplo, en generl, ( f g)( ) ( g f)( ). 5.- Demostrr que = 0. Nos vldremos de l propiedd = pr obtener el resultdo: = = = = 6.- Epresr ls siguientes funciones como funciones definids trozos: ) = / 0 = = = / 0 b) = 4

13 = 4 = 4 / / 4 0 ( ] [ ) [ ] 0,, 4 = ( )( + ) 0, Entonces, ( ] [ ) [ ] 4,, = 4 = 4, c) = e e / e 0 = e = + + e /e e 0 e + 0 Luego, + + e = e = + e d) = ( rcsin ) [ ] [ ] ( ) rcsin rcsin rcsin = = = 0, rcsin, 0 e) = ( L ) ( ) L /L 0 L L = = = L /L 0 L 0 L e L e = L = L = L /0 < e Entonces, ( ) 4.- EJERCICIOS PROPUESTOS.- Conociendo los dtos L( ) =, L( b ) = L( ) 5 L b L b. Cuáles son los vlores de, b c? c c =, clculr ( ) L, L( b ),

14 .- Conociendo los dtos L( ) =, L( b ) = L( ) 0 L c L b 5. Cuáles son los vlores de, b c? c c =, clculr ( ) L, L( b ),.- Sin usr l clculdor, clculr los logritmos nturles de los siguientes números: e, -e,, 0, -, e, - e, ( ) e, e ( e) ( ) En cuáles de estos csos no se pueden utilizr ls propieddes de los logritmos? Por qué? 4.- Escribir ls siguientes ecuciones eponenciles en l form logrítmic equivlente: ) 5 = 5 b) / 6 = 4 c) 5.- Clculr los siguientes logritmos: e = k d) ) log70 b) log8 c) log Resolver los siguientes sistems de ecuciones: 0 e = e) 0 = 000 ) + = 0 = 4 = 7 = b) Demostrr l fórmul fundmentl de ls funciones hiperbólics: = Ch Sh 8.- Resolver l ecución = ( ) de ls dos forms siguientes: ) Desrrollndo el cudrdo del término de l derech. b) Clculndo ls ríces cudrds de mbos términos. 9.- Epresr ls siguientes funciones como funciones definids trozos: ) = Sh b) = 6 c) d) = + = e 4 e) = ( + L) 4

15 f) = ( L( ) ) g) = ( e ) 0.- Hllr los intervlos de l rect rel representdos por los siguientes vlores bsolutos: ) b) 4 c) + < 5 d) > e) SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS b L = 6, L( b ) = 5, L =.- ( ) b L = c = e, b = e c= e 5 c L =, L( b ) = 0, L =.- ( ) b L = 5 c = e, b= e c =.- Le =, L( e), L = 0, L0 =, L( ) e L = ( e ) L ( ) ( ) = 4.- ) log55 = b) log6 4, L( e ) =, L( e ), ( e ) L ( ) =, = c) Lk = d) L = 0 e) log0000 = 5.- ) log70 = 0 b) log8 = 4 c) log = 6.- ) = = b) = 4 = 8.- = 5

16 9.- ) Sh 0 = Sh = Sh 0 b) c) d) 6 6 = (, ] (0, ) = + = [,0) = e e 4 = + e + 4 L4 4 L4 L + e = + = L ( 0, e e) ( L) f) ( L( ) ) L( ) = = L( ), e e = = g) ( ) ( ] 0.- ) b) 6 c) 6< < 4 d) (, ) (, ) e) (,0] [ 8, ) 6

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