TEMA 8. DERIVADAS. Derivadas laterales: Derivada por la derecha: Derivada por la izquierda:

Transcripción

1 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio TEMA 8. DERIVADAS Deinición de derivd de un unción en un punto. Consideremos un unción, se un punto de su dominio. Se llm derivd de l unción en el punto se desin por l siuiente ite cundo h tiende 0: lim h 0 h h Derivds lterles: Derivd por l derech: Derivd por l izquierd: lim h0 lim h0 h h h h Función derivd. Se llm unción derivd de o simplemente derivd de l unción que soci cd bscis,, l derivd de en ese punto,. Es decir: lim h 0 h h Interpretción ráic de l derivd de un unción en un punto. Dd un curv =. L ecución de l rect tnente dich curv en el punto P, es m, donde m es l pendiente de l rect. Además, l deinición de pendiente nos dice que m t, donde es el ánulo que orm l rect tnente con el eje de bsciss. h Se demuestr que t donde lim, que si h 0, h 0 h entonces +h, el punto Q P, es decir: α β l secnte s tiende l rect tnente l curv en el punto P,

2 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio Como se ven en ls dos ráics siuientes si h 0, l rect secnte tiende l rect tnente en el punto P, Por tnto, se puede deinir l derivd de un unción en un punto como l pendiente de l rect tnente l ráic de l unción en dicho punto, l ecución de l es rect tnente es: Propieddes de ls derivds. Derivd de un unción constnte es cero. 0 k Derivd del producto de un constnte por un unción k k Derivd de l sum o dierenci de dos unciones Derivd del producto de dos unciones Derivd del cociente de dos unciones. Rel de l cden derivd de l composición de unciones.

3 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio Derivds inmedits. k 0 n n n lo lo e ln ln e e sen cos cos sen t cos rc sen rc cos rc t Derivción implícit. Un unción está deinid en orm implícit cundo no prece despejd l, sino que l relción entre e viene dd por un ecución con dos incónits. Por ejemplo ² + ² = es un unción en orm implícit. Pr hllr l derivd en orm implícit no es necesrio despejr. Bst derivr miembro miembro, utilizndo ls rels vists hst hor teniendo presente que =, pero en enerl. Por lo que omitiremos plicndo l rel de l cden siempre ñdiremos. Ej. ² + ² = Derivndo: ² = 0 Y despejndo se tiene que: = ² +²

4 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio Derivción lorítmic. Se utiliz cundo tenemos unciones del tipo =. Pr derivr se coen loritmos en mbos miembros de l iuldd se deriv teniendo en cuent que l derivd de es. Veámoslo con un ejemplo: Coiendo loritmos: = sen t ln = lnsen t O lo que es iul: ln = t lnsen Derivndo: Despejndo qued: Es decir: = cos ln sen lnsen + t = + cos² sen cos² ln sen = [ + ] cos² = sen t ln sen [ + ] cos² Derivbilidd continuidd. Teorem de continuidd de ls unciones derivbles. Si un unción es derivble en un punto, entonces es continu en dicho punto. Por tnto: si un unción no es continu en un punto tmpoco será derivble en eso punto. El recíproco no es cierto: un unción puede ser continu en un punto pero no derivble en dicho punto. Esto último ocurre por ejemplo en ls unciones vlor bsoluto Est unción es continu en =, pero no derivble en dicho punto.

5 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio. Hll ls siuientes derivds implícits lorítmics: ² + ² = = cos + = 0 ³ + ³ = rc t + = ² rc sen + ² = 0 e = + ln + = 4² + 9² = ² + ² = ² ² ² ² = 9 ³ ³ = 0 = sen t = 0 sen = = cos sen = = + = sen = cos = = = + ² = ln. Estudi l derivbilidd de ls siuientes unciones: = { si 0 0 si = 0 ² si > 0 = { 0 si = 0 si < 0 ² + si < 0 = { ² + si 0 < + si si < = { ln si sen si > 0 = { 0 si 0 si < 0 = { si 0 < 4 ² 4 si 4. Hll m n pr que l siuiente unción se derivble: = { ² + + m si ² n si >

6 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio 4. Hll b pr que l siuiente unción se derivble: si < = { b si < si 5. Dd l unción = + + Deínel trozos b Estudi su derivbilidd en =- = 6. Dd l unción = + Deínel trozos b Estudi su derivbilidd en =-. c Estudi su derivbilidd en =0.

7 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio Deriv simpliic ls siuientes unciones: = 7 = ³ = e 4 = = 4³ 5² = ²+ 4 = = ln = 6 = = lo = ²+ = = 4 4 = e = sen = sen sen = 5 4 ln = cos 4 = = ²+ ³ 4sen4 = ³ = sene sen 4 = ct = cos 5 = coslo = ³ 4 = sent = t = 4³ = ln t = ct4 + = 4² = tln = rc cos = ³ + = sen + = rc sencos = ln = sen = rc tln = ln sen = sen² = = senln = sen = sen + = lo 4 4 = sen = sec cos

8 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio = ln + = cos = cosec = ln = cos³ = = ln cos = = t = + rc sen = ² = cosln³ = t² = 5²+ 4+ = cos ln² = t = 5²+ 4+ = sen = +² ln = e = sen² = rc t rc t+ = lo + sen lo sen ln e sen = ln cos ln e = +sen= sen = cos ln ln sen e 0 = ln cos = e + e = e rc sen4 = cosln = e = + rc sen ² k = lncos = rc te ln6 = + = lnrc sen = lnln = ln ln = rc senln = + rct = rc t = rc t + = cosln = cosln² = sen+cos cos sen

9 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio Rel de L Hôpitl Sen dos unciones derivbles en un entorno del punto de bscis =, tles que lim lim 0. Si eiste lim, entonces tmbién eiste lim, demás lim = lim Est rel nos permite resolver indeterminciones de los tipos 0 e, otros tipos de 0 indeterminciones 0,, 0 ls trsormremos en un cociente pr plicr l rel de L Hôpitl Ej. lim 0 e 0 e 0 L Hôpitl = lim 0 e 0 Ej. lim 0 lim ln ln 0 lim ln 0 0 L Hôpitl= lim ln. Hll el vlor de los siuientes ites: e e j r n 0 sen b ln k 0 ln c l cos sen d 0 ln cos e 0 t cos 4 sen m 0 n ñ t ln 0 t 0 h i ln ln ln o t p ln cos cos q 0 sen sen e s e e 0 sen e t 0 u cos ec ct 0 v 0 sen w e 0 t5 t ln 0 z ct 0

10 I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio. Comprueb que : lim 0 e e sen = lim 0 lncos lncos = 9/4 cos+ lim 0 = ¾ lim ln = + lim 0 ln = 0 lim = 0 e lim 0 cos sen 0 sen cos e = e e e 0 b 0 ln b PAEU. Se l unción dd por = ² +, R. Estúdiese l derivbilidd de en =0 medinte l unción derivd. Septiembre 004. Estúdiese l derivbilidd de = { ln + > 0 Septiembre 005 ² 0. Dd l unción = ² Demostrr que no es derivble en =. Junio Dr un ejemplo de un unción que se continu en un punto que no se derivble en él. Junio Estudir l continuidd derivbilidd de l unción = en el intervlo [-,]. Clculr l unción derivd en ese intervlo. Septiembre Clculr lim 0 Septiembre 0 e 7. Determinr los vlores de b pr que l unción = { si 0 + bsen si > 0 se derivble Septiembre 0 8. Clculr lim 0 Junio 05 ln + 9. Clculr lim 0 cos ² Septiembre Clculr lim 0 e Junio 06. Clculr lim ² Junio 06. Clculr lim 0 + e Septiembre 06. Enuncir el teorem de Bolzno e interpretrlo eométricmente. bencontrr un intervlo en el que P = ten l menos un ríz. Junio Clculr lim 0 + ln Junio 07 si < 0 5. Dd l unción = {. Clculr pr que se derivble en = 0. ² + si 0 Septiembre 07