Tema 4: Integrales Impropias

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María Soledad Salazar Rojas
hace 8 años
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1 Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem fundmentl del cálculo que hemos utilizdo requiere que l función f secontinuen[, b]. Ahor vmos nlizr quells integrles que no stisfcen uno o mbos de los requisitos citdos. Tles integrles se llmn integrles impropis. Recordemos que un función tiene un discontinuidd infinit en c si por l derech o por l izquierd, lim f (x) =, lim x c f (x) = x c 1.1 Integrlesenintervlosnocotdos Son integrles impropis con límites de integrción infinitos: 1. Si f es continu en el intervlo [, ), entonces R f (x) = lim R b b f (x) 2. Si f es continu en el intervlo (,b], entonces R b f (x) = lim R b f (x) 3. Si f es continu en el intervlo (, ), entonces donde c es culquier número rel. f (x) = Z c f (x) + c f (x) En los dos primeros csos, l integrl impropi converge si el límite existe; en cso contrrio, l integrl impropi diverge. En el tercer cso, l integrl impropi de l izquierd diverge si culquier de l integrles impropis de l derech diverge. 1.2 Integrles de funciones no cotds Son integrles impropis con discontinuiddes infinits: 1. Si f es continu en el intervlo [, b) y tiene un discontinuidd infinit en b, entonces f (x) = lim c b Z c f (x) 2. Si f es continu en el intervlo (, b] y tiene un discontinuidd infinit en b, entonces f (x) = lim c + c f (x)

Tles integrles se llmn integrles impropis. Recordemos que un función tiene un discontinuidd infinit en c si por l derech o por l izquierd, lim f (x) =, lim x c f (x) = x c 1.

2 Prof. Susn López 2 3. Si f es continu en el intervlo [, b] excepto en lgún c (, b), en el que f tiene un discontinuidd infinit, entonces Z c f (x) = f (x) + f (x) En los dos primeros csos, l integrl impropi converge si el límite existe; en cso contrrio, l integrl impropi diverge. En el tercer cso, l integrl impropi de l izquierd diverge si culquier de l integrles impropis de l derech diverge. c

infinit, entonces Z c f (x) = f (x) + f (x) En los dos primeros csos, l integrl impropi converge si

3 Prof. Susn López 3 EJERCICIOS: 1. Estudir l siguiente integrl según los vlores de p x p 2. Clculr: () R e x (b) R 1 x 2 +1 (c) R 1 (1 x) e x (d) R e x 1+e 2x 3. Clculr ls siguientes integrles impropis que contiene un discontinuidd infinit. () R 1 (b) R 2 3 x x 3 (c) R 2 1 x 3 (d) R x(x+1) 1 4. Usndo l fórmul pr l longitud de rco, demostrr que l circunferenci del círculo x 2 + y 2 =1,es2π. 5. Trnsformd de Lplce: Se f (t) un función definid pr todo t positivo. Su trnsformd de Lplcesedefine como F (s) = e st f (t) dt si l integrl existe. L trnsformd de Lplce se utiliz pr resolver ecuciones diferenciles. Hllr l trnsformd de Lplce de ls siguientes funciones: () f (t) =1 (b) f (t) =t 2 (c) f (t) =cost 6. Consideremos l región que stisfce ls desigulddes y e x,y,x. Clculr el áre y el volumen del sólido que gener l girr en torno l eje y. 7. L función Gmm Γ (n) se define como Γ (n) = x n 1 e x, n > () Clculr Γ (n) pr n =1, 2 y3. (b) Probr, integrndo por prtes, que Γ (n +1)=nΓ (n) (c) Expresr Γ (n) en términos de notción fctoril, pr n entero positivo.

Usndo l fórmul pr l longitud de rco, demostrr que l circunferenci del círculo x 2 + y 2 =1,es2π. 5. Trnsformd de Lplce: Se f (t) un función definid pr todo t positivo.

4 Prof. Susn López 4 8. Se ³ Probr que I n = n 1 n+2 9. L función Bet se define como: I n = x 2n 1 I n 1 y clculr continución: β (p, q) = (x 2 n+3, n 1 +1) x 3 (x 2 +1) 5 x p 1 (1 x) q 1 = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) () Relizndo el cmbio de vrible x =1 t, probr que β (p, q) =β (q, p) (b) Relizndo el cmbio de vrible x =sin 2 θ probr que (c) Clculr (d) Clculr (e) Clculr utilizndo l función bet β (p, q) =2 4 Z 3 Z π/2 µ x 4 2 Z π/2 sin 2p 1 θ cos 2q 1 θdθ µ 5 3 x x 4 3 µ 1 x sin 3 θ cos 3 θdθ

(1 x) q 1 = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) () Relizndo el cmbio de vrible x =1 t, probr que β (p, q) =β (q, p) (b) Relizndo el

5 Prof. Susn López Integrles prmétrics Se f (x, α) un función de ls vribles independientes x y α. Se denomin integrl prmétric, respecto l prámetro α, lintegrl F (α) = f (x, α) Si f (x, α) es derivble respecto α, f f α (x, α), verificándose demás que tnto f (x, α) como α (x, α) son continus en el dominio x b; c α d, lfunciónf (α) = R b f (x, α) es derivble en el intervlo c α d : Z df (α) b dα = f (x, α) α Un cso más generl que el nterior es cundo los límites de integrción son tmbién funciones de α; esdecir: en este cso l derivd es: df (α) dα = (α) (α) F (α) = (α) (α) f (x, α) f α (x, α) + f (b (α),α) b (α) f ( (α),α) (α) En este cso, se exige, demás de ls hipótesis nteriores, que existn ls derivds (α) y b (α) Ejemplos de funciones prmétrics tenemos los csos de ls funciones Gmm y Bet Γ (n) = β (p, q) = x n 1 e x, n > x p 1 (1 x) q 1 = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) Propieddes de Γ (n) : Γ (n) Γ (1 n) = π sin nπ pr todo n R, como consecuenci tenemos que Γ 1 2 = π Γ (n) =(n 1) Γ (n 1) pr todo n R, entonces Γ (n) =(n 1)! pr todo n N Si n no es un entero positivo, n = p + r, donde <r<1 y p N entonces: Γ (n) =(n 1) (n 2) (1 + r) Γ (r +1) siendo 1 < 1+r<2 y existen tbls en ls que se encuentr tbuldo el vlor de Γ (n) cundo 1 <n<2. Propieddes de β (p, q) : Simetrí β (p, q) =β (q, p) β (1,q)= 1 q Fórmul recurrente: β (p, q) = q 1 p β (p +1,q 1) β (p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q)

dominio x b; c α d, lfunciónf (α) = R b f (x, α) es derivble en el intervlo c α d : Z df (α) b dα = f (x, α) α Un cso más generl que el nterior es cundo los límites de integrción son tmbién funciones

6 Prof. Susn López 6 EJERCICIOS: 1. Clculr Γ (9/2) y Γ ( 7/2). 2. Clculr siendo un número rel positivo. e x2 3. Clculr 4. Clculr 5. Clculr 6. Clculr 7. Clculr 8. Dds Z d b dt Z x f (x) = Z 2 x 4 e 5x2 r 1 x x p 1 x5 4 x 2 3/2 sin tx, donde = t; b = t2 x 2 e t2 dt y g (x) = e x2 (1+t 2 ) 1+t 2 dt () Demostrr que F (x) =f (x)+g (x) es un constnte y determinrl. (b) Como plicción clculr e t2 dt

Dds Z d b dt Z x f (x) = Z 2 x 4 e 5x2 r 1 x x p 1 x5 4 x 2 3/2 sin tx, donde = t; b = t2 x 2 e

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Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección