SELECCIÓN DE PROBLEMAS DEL TEMA 5: INTEGRACIÓN. Análisis Matemático (Grupo 1)

Transcripción

1 INTEGRACIÓN. Análisis Mtemático (Grupo ). Clcul ls siguientes integrles indefinids: ( R) ( ) (e) ln (g) (j) e (m) sen (o) + (h) cos ( ) (k) ln (n) e sen b (p) e sen sen sen (l) (ñ) cos sen rctn ( ln +) + (q) cos. Determin l integrl indefinid de ls siguientes funciones rcionles: 4 ( + ) 4 ( ) Solución (prtdo ). Como se trt de un integrl rcionl polinómic debemos ver si somos cpces de seprrl como sum de frcciones simples, pr lo cul necesitmos primero que el grdo del polinomio del numerdor se menor que el denomindor. Al no ser este el cso, comenzmos relizndo l división de mbos polinomios, obteniendo que: 4 ( + ) 4 ( + ) ( + ). Obtenemos sí que: 4 ( ) ( + ) ( + ) ( + ). ( + ) Nos vuelve quedr un integrl rcionl polinómic, donde hor sí tenemos que el polinomio del numerdor posee grdo menor que el polinomio del denomindor, por lo que trtremos de epresr dicho cociente de polinomios como sum de frcciones simples de l siguiente form: ( + ) ( + ) ( ) A + B + C A( ) + B( ) + C. Hciendo, (ls ríces del denomindor) y (y que l ríz prece dos veces) l igulr los numerdores de los cocientes nteriores obtenemos que: B B C A + B + 4C A Curso 7/8

2 INTEGRACIÓN. Análisis Mtemático (Grupo ) Solución (Continución). Sustituyendo en nuestr integrl llegmos que: ( + ) ( A + B + C ) ( + + ) log( ) + + log( ) + K siendo K un constnte. Por lo tnto, l integrl inicil buscd serí: 4 ( + ) ( + ) log( ) log( ) + C siendo C un constnte.. Clcul ls integrles indefinids: + ( ) ( + ) + Solución (prtdo ). Vmos relizr el cmbio t, prtir del cul podemos despejr l y derivr pr obtener: + t t + + 6t t, + (t + ). De este modo nuestr integrl quedrí como: ( ) ( + ) + t (t + ) ) ( 6t 4 (t + ) t 8 t4 + C 8 ( ) 4 + C Clcul ls siguientes integrles indefinids de funciones trigonométrics: sen cos ( + cos ) cos sen + cos sen sen sen cos 4 (e) cos 4 sen + 4 cos cos sen cos Solución (prtdo ). Como el integrndo es impr en sen() vmos relizr el cmbio t cos(), siendo entonces sen(). De este modo, l integrl quedrí como: sen() + 4 cos () + 4t rctn(t) + C rctn( cos()) + C. Curso 7/8

3 INTEGRACIÓN. Análisis Mtemático (Grupo ) Solución (prtdo ). En este cso tenemos que el integrndo es impr en cos(), por lo que relizremos el cmbio t sen(), siendo hor cos(). Nuestr integrl quedrí entonces como: cos() sen() cos () t ( t ) t. Pr est últim integrl rcionl polinómic podemos epresrl como sum de frcciones simples trvés de: ( t ) t + + t, por lo que l integrl quedrí del siguiente modo: t ( ) ( t + + t log( t + ) + log( t ) ) + C. Por último, deshciendo el cmbio inicil, l integrl pedid quedrí como: ( sen() + 4 cos () log( cos() + ) + log( cos() ) ) + C.. Clcul ls integrles belins siguientes ( > ): ( + ) ( + ) (e) + + (g) + 6 (h) + ( ) Solución (prtdo (h)). Pr resolver est integrl vmos comenzr completndo cudrdos en el interior de l ríz: + (( ) ). A continución relizmos el cmbio + t, llegndo sí l integrl: (t + ) t. Bst relizr hor el cmbio t sen(u) pr obtener que: + cos(u) t cos(u)du u + sen(u) 4 Deshciendo los cmbios relizdos obtenemos l epresión de nuestr integrl: + ( ) rc sen + ( )) ( 4 sen rc sen + C. + C. Curso 7/8

4 INTEGRACIÓN. Análisis Mtemático (Grupo ) 6. Clculr ls siguientes integrles: ln ln 4 tg (g) (j) n sen e e (m) + e (o) (r) rc sen + sen cos (e) tg (h) ln (k) ( + ) tg (n) + tg tg 6 (p) (s) ( ln ln ) sen cos + b e e (l) 4 (ñ) cos (q) (t) (4 + ) (rc sen ) 7. L siguiente figur represent ls gráfics de un función f(), su derivd y un de sus primitivs. Indic, rzondmente, cul es cul. 8. Se f : [, ] R un función integrble. Demostrr ls siguientes firmciones. Si f es pr, entonces Si f es impr, entonces f(t) 9. Se f : [, b] [, + ) integrble. Si b f(t). f(t). f(), entocnes f pr cd punto c [, b] donde f() se continu. Si f() es continu en [, b] y eiste c [, b] tl que f >, entonces. Sbiendo que f() es un función pr, g() es impr, (e) g() y f() f() (f() + g()) g() clcul (j) f() f() f() (g) f() 6, b f() >. f() 4, f() (f()g()) (h) (k) g( ) (l) f() f(), (f()+g()) f()g() 4 Curso 7/8

5 SELECCIO N DE PROBLEMAS DEL TEMA : INTEGRACIO N. An lisis Mtem tico (Grupo ). Acot ls siguientes integrles usndo el Teorem de l medi integrl: ( + ) e 8+ p 8 p e sen(ln + ) (e) ( ). Se f () l funcio n cuy gr fic se djunt, en l que tods ls curvs son rcos de circunferenci. Clcul f HL f () f (). 4 E(f ()). -. Demostrr el Teorem de l Medi Integrl generlizdo. Sen f, g : [, b] R dos funciones continus tl que g() no cmbi de signo en [, b] y g 6. Demostrr que eiste c [, b] tl que b b f ()g() f g(). 4. Clcul ls siguientes integrles definids: (sen + ( )) ( + tg ) 4 tg (e) 6 4 cos (h) (g) sen cos sen + cos sen + cos p 4 + e/ ) (e/ Indiccio n: hcer t. Solucio n (prtdo ). Comenzmos relizndo el cmbio t, por lo que. Como se trt de un integrl definid debemos ver co mo vrı n tmbie n los lı mites de integrcio n prtir del cmbio escogido, de donde tenemos que si entonces t y si entonces t. De este modo, l integrl quedrı como: (e/ + e/ ) et t + et ) t ( + e ) (e t. + et t + e + e. L velocidd de un prtı cul que se desplz por el eje OX es v(t) t t +. Sbiendo que prte de l posicio n, Determin l posicio n en t. Clcul l distnci que recorre en ese intervlo de tiempo. Determin l posicio n en culquier instnte de tiempo. Curso 7/8

6 INTEGRACIÓN. Análisis Mtemático (Grupo ) ln( + ) 6. Sbiendo que + ln, clcul: 8 rc tg /4 + cos (cos + sen ) [ ] 7. Se I n n e. Demuestr que I n n! n. e k! k 8. Determin l derivd de f en los siguientes csos: ln(+ ) f() e t f() [ ( y ) ] f() sen sen e t dy f() 9. Hll R y f() pr que se verifique. Pr R, se f() Clcul f ().. Clcul e t/. f(), donde f(). Clcul los siguientes límites lím sen t cos( e t ) ( y 8 rc cos ) ( + t + sen dy t t cos t tf(t) sen cos +. Encuentr M. + t.. Determin tods ls funciones f() continus en R pr ls que 4. Clcul los etremos reltivos de l función f() :. Consider l función f() Demuestr que f tiene invers g() e /t definid en (, + ). e t lím sen Demuestr que l invers f es derivble en todo su dominio. Clcul ( f ) (). + ( ) Clcul lím. + f() f(t) no depende de. h(t), donde g() y h() sen() Se un función f : R R derivble con derivd continu tl que f() y f (). Hllr 7. Demuestr que n ( ) m lím f(t) +. m ( ) n pr todo n, m. 8. Se f() un función integrble en todo R y periódic de periodo T >. Demuestr que pr cd R se cumple +T f() T f(). 6 Curso 7/8

7 INTEGRACIÓN. Análisis Mtemático (Grupo ) 9. Se g() un función derivble en R y dos veces derivble en con g() y definmos l función f : R R dd por f() g(t) si y f() g (). t Demuestr que f está bien definid. Estudi l continuidd de f(). Estudi l derivbilidd de f(). Es f de clse C?. Se f : [, + ) R dd por f() Clcul lím f(). + e t. Encuentr los etremos reltivos y bsolutos de f() y los intervlos de crecimiento y decrecimiento. Encuentr los puntos de infleión de f() y los intervlos de concvidd y conveidd.. Indic si ls siguientes firmciones son VERDADERAS o FALSAS, justificndo ls respuests. ( f ) () g() f()g () g() f() g() + C. Si ls derivds segunds d dos funciones difieren en un constnte, entonces dichs funciones difieren en un polinomio de segundo grdo. Ls funciones f() sen4 () y g() sen 4 cos 4 son primitivs de un mism función. Si F () es un primitiv de f(), entonces f() F () + C. ( ) ( ) (e) rc sen + rc sen + ln( + ) + C. L celerción en cíd libre de un objeto debid l grvedd es g(t) ms. Si lnzmos hci rrib un cuerpo un velocidd inicil de ms desde un ltur de m, entonces l ltur l cbo de s será de m. (g) No eiste ningun función f() tl que f(t) Curso 7/8