Función no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integración. f (x) d x = lim

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1 Función no Acotd en uno o en los dos etremos del Intervlo de Integrción Si f () está definid sobre (, b] y si f () cundo, se define f () d = lim f () d ε + +ε Si f () está definid sobre [, b) y si f () cundo b, se define f () d = lim ε + ε f () d Si f () está definid sobre (, b) y si f () cundo y cundo b, se define c ε2 f () d = lim f () d + lim f () d ε + +ε ε 2 + c Si f () está definid sobre [, c) y sobre (c, b] y si f () cundo c, se define c ε f () d = lim f () d + lim f () d ε + ε 2 + c+ε 2 / 2

2 Convergenci si se conoce l primitiv Se F () l función primitiv de f () d, entonces +ε por lo tnto f () d = [F ()] b +ε = F (b) F ( + ε) +ε lim f () d = lim [F (b) F ( + ε)] ε + +ε ε + luego si lim F ( + ε), eiste y es finito: l integrl es convergente. ε + si lim F ( + ε), eiste y es infinito: l integrl es divergente. ε + si lim F ( + ε), no eiste: l integrl no tiene sentido. ε + Análogs considerciones se relizn en los otros csos. 2 / 2

3 Convergenci si se conoce l primitiv(2) En el cso que eist función primitiv, y est se continu en el punto, respectivmente en el b, se puede plicr l regl de Brrow. d, estudir su convergenci. Est integrl present un punto en el que l función no está cotd: =, I = = lim 2 ε d = lim ε ε ε d = [ = lim 2 + ε ε ] [ 2 ] = 2 en este cso l función primitiv es continu en =, luego podímos hber plicdo l regl de Brrow. 3 / 2

4 Convergenci si no se conoce l primitiv: Integrles tipo. Si se trt de que l función se hce infinito en el punto =, se recurre ls integrles tipos que veremos continución: [ ] b b +ε ( ) m d = ( m) ( ) m m +ε b +ε ( ) d = [log ( )]b +ε de donde m : m = : lim ε + +ε lim ε + +ε [ ( ) m d = lim ε + ( m) ( ) m { m > divergente m < convergente ] b +ε ( ) d = lim [log ( )]b ε + +ε divergente Si se trt de que l función se hce infinito en el punto = b, se recurre [ ] b ε b ε (b ) m d = ( m) (b ) m m b ε d = [log (b )]b ε (b ) obteniéndose los mismos resultdos que en el cso nterior. 4 / 2

5 Convergenci si no se conoce l primitiv: Integrles tipo. Si f () en = o = b y no se conoce un primitiv de f (), si podemos epresr f () respectivmente en l form f () = g () g () n ; f () = (b ) ( ) n en los csos que se n < y g () un función cotd superiormente en el intervlo [, b], [, b] es g () < M, l integrl es convergente: f () d = g () b (b ) n d < M (b ) n+ n d = M (b ) n 5 / 2

6 Aplicción de ls Integrles Tipo. Pr l convergenci: Si: y es f () está definid sobre (, b], f () cundo, f (), (, b], f () < entonces es convergente: f () d. Pr l divergenci: Si: siendo f () está definid sobre (, b], f () cundo, f (), (, b], < k ( ) m, m < k ( ) m < f (), m entonces es divergente: f () d. 6 / 2

7 Ejemplos k Estudir l convergenci de e n d El único punto que present problem es el = si n <, y que ms lim e n = + + lim n e n = lim e = + + por lo que si n < eiste convergenci, y consecuentemente l integrl es convergente si n >. Estudir l convergenci de p ( ) q d Presentn problem los puntos: = si p < = si q <, y que ms lim p ( ) q = +, + lim p ( ) q = + lim p p ( ) q = lim ( )q = + + por lo que si p < p > eiste convergenci. lim ( ) q p ( ) q = lim p = por lo que si q < q > eiste convergenci. 7 / 2

8 Ejemplos π 2 Estudir l convergenci de log d Present problem en el punto =, en el que lim log = + Estudiemos, siendo m (, ), el siguiente ĺımite log lim m log = lim + + m que l ser un indeterminción, plicmos l regl de L Hopitl log lim = lim + + m cos m m+ = m lim + m cos = por lo tnto l integrl es convergente. 8 / 2

9 Ejemplos 3 Estudir l convergenci de 3 + d Present problem en =, en el que Estudiemos el siguiente ĺımite 3 lim = lim ( + )m = lim ( + 3 )m Si m = el ĺımite es finito, por lo tnto l integrl es divergente. Otr form de obtener este resultdo es determinr l función primitiv F (), F () = 2 3 log ( + ) + 3 log ( 2 + ) 2 3 rc tg 2 3 y como 9 / 2

10 Ejemplos d = lim 3 ε + +ε 3 + d = [ = lim 2 ε + 3 log ( + ) + 3 log ( 2 + ) 2 rc tg 2 ] 3 3 +ε y como el segundo sumndo, cundo sustituimos l vrible por el ĺımite inferior de integrción, obtenemos log ε lim ε + log ε = siendo los ĺımites de los restntes sumndos finitos. Por lo que l integrl considerd es divergente. / 2

11 Intervlo de integrción no cotdo Si f () está definid sobre [, + ) y si f () es integrble en el intervlo [, A], < A, A >, se define A f () d = lim f () d A + Si f () está definid sobre (, ] y si f () es integrble en el intervlo [ A, ], A <, A >, se define f () d = lim f () d A + A Si f () está definid sobre (, + ) y si f () es integrble en el intervlo [ A, A 2 ], A < A 2, A, A 2 > se define + c A2 f () d = lim f () d + lim f () d A + A A 2 + c / 2

12 Convergenci si se conoce l Primitiv. A Se F () l función primitiv de f () d, entonces A f () d = [F ()] A = F (A) F () por lo tnto luego si si lim A + A f () d = lim [F (A) F ()] A + lim F (A), eiste y es finito: l integrl es convergente. A + lim F (A), eiste y es infinito: l integrl es divergente. A + si lim F (A), no eiste: l integrl no tiene sentido. A + Análogs considerciones se relizn en los otros csos. 2 / 2

13 Convergenci si no se conoce l primitiv: Integrles tipo. A [ ] A () m d = ( m) () m m A () d = [log ()]A [ ] A A luego lim A + () m d = lim A + ( m) () m m > : l integrl es convergente. m < : l integrl es divergente. A m = : () d = [log ()]A, que es divergente. Análogos estudios se hcen en los otros csos. m 3 / 2

14 Aplicción de ls integrles tipos Pr l convergenci. Si f () está definid sobre [, + ), es [, + ), f () < k () m +, m > entonces es convergente: f () d Pr l divergenci. Si f () está definid sobre [, + ), es [, + ), < k () m < f (), + m. entonces es divergente: f () d. Condición necesri de convergenci. + Si f () d es convergente, y eiste lim f (), entonces es: f () cundo : 4 / 2

15 Ejemplo α Estudir l convergenci de + β d. En el entorno de cero: el numerdor vle cero si α es positivo, pero si α es negtivo; el denomindor tiene un sumndo constnte y otro que en el el entorno de cero puede vler infinito si β es negtivo o cero si β es positivo. El estudio en el punto = dependerá de α y β. β : β < : lim + lim + α { α β < + β = α β α + β = { α β < α β hor bien β : β < : lim + α lim + +β α α + β = α + β = luego hy convergenci en el entorno de cero si α < y β > + β α < y β < 5 / 2

16 Ejemplo Así mismo present l dificultd de no ser cotdo el intervlo de integrción y el comportmiento de l función es el mismo que el de luego hbrá convergenci si luego uniendo ls dos situciones β > : α β β < : α α β < y β > α < y β < β > : α < β y < α β < : α < y β < α En el cso β =, el integrndo es α, cuy primitiv es, α, que pr que se 2 2α convergente en h de ser α > y que pr que lo se en h de ser α <, luego no hy convergenci. 6 / 2

17 Ejemplo Estudir l convergenci de 3 2 d. El integrndo 2 si, luego cumple l condición necesri de convergenci. L función puede epresrse: 2 = 2 = [ ] 6 + = 2 = por lo que pr l prte principl del infinitésimo es: m = 2 > es convergente l integrl. En este cso tmbién podemos hllr l función primitiv: A 3 2 d = A [ 2 3 ] d = + 2 log A + = 3 2 siendo 3 2 d = lim A 2 = 2 log 2, luego por ser 2 [ log A A + log ] 2 [ log A A + log ] [ ( = lim log 2 ) log ] = 2 A 2 A / 2

18 Integrles Absolutmente Convergentes Cundo f () d es convergente, decimos que f () d es bsolutmente convergente. Si f () d es convergente, l integrl f () d tmbién lo es. Sin embrgo puede suceder que f () d se convergente sin que lo se f () d. Ejemplo Estudir l convergenci de Podemos escribir d. d = d + d b En el punto = l función tiene un discontinuidd evitble, luego eiste d. 8 / 2

19 Ejemplo d Estudiemos hor b d b [ d = cos d, pr lo cul hcemos un integrción por prtes: ] d b d cos b 2 d = cos d + cos b d cos d b b 2 d de donde d b d = cos d + cos b d d b b cos d d + cos b d b + b cos 2 cos 2 d d < d + d b + b 2 d = 2 b por lo tnto l integrl es convergente. 9 / 2

20 Ejemplo Estudir l convergenci de d. Plnteémos l siguiente iguldd bsd en el comportmiento de l función, que es positiv si [2kπ, (2k + ) π], k N y es negtiv si [(2k + ) π, (2k + 2) π], k N. nπ d = es decir π + + ( ) j jπ 2π 3π d d + d + + π 2π nπ d + + ( ) n (j )π (n )π d nπ d = j=n jπ ( ) j j= (j )π d Hgmos en l integrl genéric el cmbio siguiente, = u + (j ) π : = sen (u + (j ) π) = ( ) j sen u { = (j ) π u = = jπ u = π ; d = d u luego 2 / 2

21 Ejemplo nπ j=n π d = ( ) j j= teniendo en cuent que π sen u π u + (j ) π d u > por lo que tommdo ĺımites ( ) j sen u u + (j ) π d u = j=n π j= sen u π π + (j ) π d u = sen u jπ sen u u + (j ) π d u d u = cos u jπ nπ j=n π sen u d = j= u + (j ) π d u > 2 j=n π j j= π = 2 jπ j=n π sen u d = lim n j= u + (j ) π d u > 2 π resultndo que d es divergente. lim j=n n j= j = + 2 / 2

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