1. Introducción a las integrales indefinidas o primitivas

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1 Tem 6. Integrles. Introducción ls integrles indefinids o primitivs En Mtemátics, un observción rzonble es que cundo se define un operción que proporcion unos resultdos prtir de unos dtos, se puede plnter el problem de reconstruir los dtos originles prtir de dichos resultdos. El objetivo de este tem es estudir el proceso llmdo integrción, que es en cierto modo que se verá más delnte- el inverso de l derivción, del modo nálogo cómo l división es el proceso inverso de l multiplicción, o el tomr logritmos es inverso de l eponencición. Por ejemplo, un físico que conozc l celerción de un prtícul puede necesitr determinr su velocidd o su posición en cierto instnte. En este cso, lo que conoce es l derivd f '( t ), y el problem consiste en hllr l velocidd, que es un función f () t, y el espcio recorrido, que es st (), otr función del tiempo. Sin embrgo, hy lgunos puntos difíciles en est ide de buscr l operción invers. L derivd de un función se clcul de modo inmedito usndo ls regls que se vieron en el cpítulo nterior, y el resultdo está bien definido. Por el contrrio, si intentmos reconstruir un función prtir del conocimiento de l derivd, encontrremos l dificultd de que NO hy sólo un función, sino un infinidd de ells, que tienen es derivd con cuál nos quedremos?. Definición de primitiv de un función Si f ( ) es un función, cundo se posible encontrr otr función F( ) tl que F'( ) f( ), est F( ) será un función primitiv de f ( ). Supongmos que f ( ) : No es difícil drse cuent de que F( ) cumple l condición de que F'( ) f( ), pero ést no es l únic función que l stisfce, porque de ls propieddes de ls derivds deducimos que si eiste un primitiv, sumándole un constnte rbitrri se encontrrán infinits más, pues l derivd de un constnte es nul. Esto es: d F C F ' 0 F '( ) f En otrs plbrs, si F( ) es primitiv de un función f ( ), entonces culquier otr primitiv debe ser de l form G ( ) F ( ) C. Hy que tener clr l diferenci entre un primitiv prticulr y l primitiv generl. Est últim NO es un función, sino un conjunto de funciones. L relción entre mbos conceptos es: Ejemplos. Primitiv generl = Primitiv prticulr + un constnte rbitrri Hllr ls primitivs generles de ls siguientes funciones: 09

2 6 5 ) f. Primitiv generl: F( ) C 6 b) f cos. Primitiv generl: F( ) sen C c) f. Primitiv generl: F( ) ln C ln( k) d) f. Primitiv generl: F( ) C ln. Notción pr l integrl indefinid f F C, donde C es un constnte fij, signific que F( ) es un primitiv de f ( ), que hor ps llmrse el integrndo. El conjunto de tods ls funciones F( ) C, esto es, l primitiv generl, se llm tmbién integrl indefinid del integrndo f ( ). Lo que prece trs el integrndo, esto es, l, es l diferencil de l vrible de integrción, y su ppel se eplicrá lgo más bjo. L gráfic siguiente muestr lguns de ls funciones que componen l integrl indefinid del integrndo f ( ) cos, esto es, l fmili de funciones sen C : L epresión FC sen C; C 0,,,, 4,... Más ejemplos de primitivs generles o integrles indefinids: 5 6 C 6 ( sen ) cos C ln C C ln 4. Alguns regls básics pr el cálculo de primitivs Lo primero que debe prender quien se cerque ls Mtemátics es que SON MUY 0

3 POCAS ls funciones que poseen primitiv, incluso teniendo un specto no muy complicdo. L primer regl consiste en tener un buen conocimiento de un tbl de derivds, como l presentd en los Complementos l Cpítulo nterior. Por supuesto, ello incluye sber ls propieddes lgebrics de l derivción. En los Complementos este Cpítulo se presentn tbls de derivción / integrción donde se puede deducir cd regl de integrción simplemente invirtiendo el orden de lectur pr encontrr l correspondiente regl de derivción. Por ejemplo: C C 0 ( n ) n n n n n d d n d d n n n L segund regl se bs en l regl de l cden, se conoce como cmbio de vrible, y es un de ls forms más comunes de clculr integrles. Se bs en el siguiente Teorem: Sen f ( ), g( ), u( ) funciones derivbles tles que f ( ) g( u) u'( ). du f g u g u du G u C, donde Entonces se cumple que ( ) Ges ( ) un primitiv de g. el integrndo es de l 8 form f ( ) g( u) u'( ), siendo gu ( ) 9 u, u ( ) 5, u', lo cul se comprueb con l regl de l cden. El lector terminrá de clculr l primitiv propuest. 8 Por ejemplo, en 9 5 df Comentrio sobre l notción diferencil de Leibniz f '( ). En el cpítulo precedente se indicó, sin justificción, y es usdo en el prtdo nterior, df que l derivd de un función tmbién se escribe f '( ). Acbmos de ver en el ejemplo que l tiene un ppel importnte en el cálculo de integrles indefinids, y vmos dr un pequeñ eplicción sobre ests cuestiones. Recordemos que l derivd en un punto se definí sí: f '( ) lim 0 f h f h Usndo l ide de límite, cundo el incremento de l vrible es pequeño, podremos considerr válid l proimción siguiente: f f h f '( ), h

4 Que tmbién se puede escribir como o bien, en form de iguldd, f '( h ) f h f, f '( h ) f h f( ), siendo un cntidd que tiende hci cero cundo el incremento h 0. Definmos hor l diferencil de como h, y tmbién l diferencil de f ( ) como df f '( ) h f '( ). Por tnto, si dividimos f '( h ) f h f( ) por l diferencil de l vrible y tommos límites, tendremos: f '( ) h f '( ) df f de donde f df f '( ) lim f '( ) lim f '( ) ( lim ) f '( ) Notmos que l epresión lim es, en principio, un límite indetermindo, pero si 0 eiste l derivd, l indeterminción está resuelt pues su vlor h de ser nulo. Así df pues, se puede utilizr l form f '( ) pr representr l derivd, y tmbién usr df f '( ), pr poner de relieve l importnci de l en l integrción: Cundo escribimos f ( ), en relidd buscmos un función F( ) de l cul sbemos que df f ( ). En otrs plbrs, tenemos que ser conscientes de que lo que se integr en el cálculo de primitivs no son funciones, sino diferenciles, y de que, efectivmente, l integrción indefinid es l operción invers de l diferencición. 5. Integrción por prtes L tercer regl, conocid como integrción por prtes es un método que se obtiene de l regl del producto pr l derivción. Si se dese clculr l primitiv udv podemos recurrir que l diferencil un producto de funciones derivbles u y v es: duv ( ) udv vdu Integrndo los dos miembros de est ecución se obtiene:

5 d( uv) udv vdu que suele presentrse sí: udv d( uv) vdu, o bien udv u v vdu, En este método, llmdo de integrción por prtes, el punto clve es l elección de ls prtes u y dv de tl mner que l nuev integrl que prece, vdu, se más sencill que l originl udv. Eso eige ciert práctic, y veces lgo de imginción. Ejemplos: ) e Hgmos u dve uv e du v dv e e v due e uv vdu e e e e Ce C b) ln pr 0 Hgmos u ln dv uv ln du v dv v du ln ln ln C ln C Integrción por prtes reiterd En ocsiones es necesrio plicr vris veces l fórmul de integrción por prtes pr clculr un integrl dd. Veámoslo con un ejemplo: I Hgmos e u dve uv e du v dv e e vdue e e e e I Ahor trbjmos con l segund integrl:

6 I e e e e e u dve uve du v dv e e vdue e e e e e e C e C 6. Integrción de funciones rcionles Y se dijo ntes que SON MUY POCAS ls funciones que poseen primitiv. Por ejemplo, l integrl indefinid cos sí eiste (necesit dos integrciones por prtes), pero est otr no eiste: cos( ). Aprte del mnejo de l tbl de derivds y de ls regls nteriores, prácticmente ls únics primitivs clculbles unque generlmente con mucho esfuerzo- son quells donde el integrndo es un función rcionl, esto es, p ( ) f( ), donde p y q( ) son polinomios. q Si el grdo del polinomio del numerdor es myor o igul que el grdo del polinomio del denomindor, se efectú l división con resto pr tener: p ( ) r s ( ) q q( ) p ( ) r s ( ) q q( ) L s ( ) no presentrá ningún problem puesto que el integrndo es un polinomio, y sólo quedrá, por tnto, estudir el cso en que el grdo del polinomio del numerdor r ( ) se menor que el grdo del denomindor, como en. Aquí se utilizrá un q técnic conocid como l descomposición de l frcción en sum de frcciones simples. c m s Ls frcciones simples son de los tipos,ó. Ls de l segund n n ( ) ( b) clse corresponden l cso en que l ecución de segundo grdo b 0 tiene soluciones complejs, pues pr descomponer un función rcionl en sum de frcciones simples hy que clculr ls ríces del denomindor q. ( ) El estudio detlldo del método, slvo en csos elementles, qued fuer del lcnce de este curso de introducción, y lo ilustrremos con un ejemplo sencillo: Hllr l integrl indefinid 4

7 6. Ls ríces del denomindor se obtienen resolviendo l ecución 6 0, cuys soluciones son,. L reducción de l función rcionl sum de frcciones simples es hor: A B 6 Ls constntes de los numerdores se obtienen operndo un poco: A B A( ) B( ) ( AB) (A B) 7 6 ( )( ) 6 Como los denomindores son igules en l primer y l últim frcción, tmbién lo serán los numerdores, lo cul d lugr l siguiente sistem de ecuciones pr determinr ls constntes: A B A B Así pues: 9 A ; B 5 5 A B 9 ( ) ln( ) ln( ) C 5 5 En los Complementos este Cpítulo se pueden leer más detlles sobre los métodos de cálculo de primitivs 7. Introducción ls integrles definids L integrl definid de f ( ) sobre un intervlo [ b, ] es un número que se represent en l form b A f. Al igul que con ls integrles indefinids, dd un función f ( ), l integrl definid puede no eistir. Cso de que sí teng sentido, se interpret hbitulmente como el áre limitd por l gráfic de f ( ), el eje de bsciss, y ls rects verticles, b. En Mtemátics elementles se prende clculr ls áres de figurs plns con bordes rectilíneos descomponiendo ls figurs en triángulos, prlelogrmos y trpecios. 5

8 Tmbién se prende el áre de un círculo, pero en generl, no se clculn áres de regiones plns limitds por curvs. Plnteemos como ejemplo el siguiente problem: Hllr el áre comprendid entre l curv de ecución y, el eje horizontl y ls rects 0,. Dich áre se epresrí como b ( ) 0. A f En el siguiente prtdo veremos el cálculo práctico. El intervlo [ b, ] es el intervlo de integrción y sus etremos se llmn, respectivmente, límite inferior y límite superior de integrción. En el cso prticulr b, el intervlo de integrción se reduce un punto y, l integrl de un función en este intervlo es cero: 0 I f A veces precen tmbién integrles en ls que el límite inferior es myor que el límite superior. En este cso, se puede demostrr que si se cmbi el orden de los etremos, l integrl cmbi de signo: b f f Finlmente, puede plnterse el cso de tener que dividir el intervlo de integrción, sobre todo cundo el integrndo es un función definid trozos: Vése l figur siguiente: b ; pr. b c c f f f c b 6

9 9. Relción entre integrles indefinids y definids. b Se h presentdo l integrl definid f de modo geométrico como un áre, pero no se h dicho nd cerc de cómo clculr tles epresiones en l práctic. El método hbitul hy muchs vrintes de él- consiste en proimr el áre buscd por el áre de figurs más simples y después tomr límites. Vése l figur siguiente: Tomndo límites cundo ls bses de los rectángulos tienden cero, el límite, si eiste, será el vlor de l integrl definid. Pr funciones sencills se puede plicr sin dificultd, simplemente dibujndo l gráfic de l función en ppel milimetrdo y contndo, pero en generl el método es complicdo de plicr en l práctic y es dudoso que l integrl fuer un herrmient tn potente si ést fuer l únic mner de clculr un integrl definid. Por otro ldo, hbímos definido l integrl indefinid como: f ( ) F( ) C Qué relción eiste entre ests definiciones? En principio no es evidente, pero puede demostrrse el siguiente resultdo, conocido como regl de Brrow o teorem fundmentl del Cálculo Integrl : Si f ( ) es continu en el intervlo [ b,, ] y F( ) es culquier función primitiv de f ( ), entonces se cumple que: 7

10 b f F b F Es costumbre escribir FbF F( ) b tl como se verá en los ejercicios. Est regl no depende de l primitiv que se use. Efectivmente, se G ( ) F ( ) C otr primitiv. Entonces se tendrá que: Gb ( ) G ( ) ( Fb ( ) C) ( F ( ) C) Fb ( ) F ( ) Además, he quí un observción mtemáticmente interesnte: El áre o integrl definid sólo depende de los vlores de l primitiv en los etremos del intervlo de integrción. Si nos fijmos bien, l nlogí con el cálculo de l longitud de un segmento es complet: pr hllrl sólo hy que conocer sus etremos. Por ejemplo, l longitud del intervlo [ b, ] es b. Por otro ldo, se puede clculr medinte un integrl definid, como comprobción: b longitud de [ b b, ] b uniddes de longitud. 9. Aplicciones l cálculo de áres de figurs plns sencills. Hemos visto cómo se puede hllr el áre limitd por un curv de ecución y f( ), el eje de bsciss, y ls rects verticles, b. Sin decirlo, se h supuesto siempre que f( ) 0, en el intervlo [ b,, ] y el resultdo es el número b positivo f. En este prtdo veremos como usr l integrción pr hllr áres de regiones más generles, comprendids entre curvs. Ejemplos.- El presentdo un poco ntes: Hllr el áre comprendid entre l curv de ecución y, el eje horizontl y ls rects 0, : 0 4 ( ) ( ) 0 uniddes de áre 0 0 A C C C.- Hllr el áre comprendid entre l curv de ecución y sen, el eje OX y ls 8

11 rects 0, : Aplicndo directmente l regl de Brrow se tiene l prente contrdicción: sen cos cos( ) cos(0) A Esto ocurre porque l función A sen cos cos( ) cos(0) 0es 0 0 negtiv en el intervlo (, ), con lo cul l hcer los cálculos S es positivo pero S negtivo, unque es evidente que mbs áres son igules. Lo que ocurre es que cundo un función tom vlores negtivos en un intervlo, su integrl definid sobre él es tmbién negtiv. Pr obtener un áre totl positiv, dividmos el intervlo de integrción, en el primero el integrndo será y sen, y en el segundo, y sen : sen ( sen ) cos ( cos ) 0 0 A cos( ) cos(0) cos( ) cos( ) [ ] 4 uniddes cudrds.- Hllr el áre de l región del plno limitd por ls curvs cuys ecuciones son y f( ) e y g ( ) en el intervlo [0,]. L solución, inspird en el ejercicio nterior, es el vlor bsoluto de b f g( ), esto es: b A f g( ). Nos yudmos con un representción gráfic de mbs funciones y vemos cómo se comportn: 9

12 b ( ) ( ) o o f g uniddes cudrds Como el vlor slió positivo, no es necesrio hllr el vlor bsoluto. 4. Hállese el áre de l región limitd por l curv de ecución y 4y el eje de bsciss. Un gráfic vuelve ser de yud, pues el áre buscd estrá por debjo del eje horizontl y será negtiv: Sólo hbrá que cmbir el signo l resultdo finl A 4 uniddes cudrds Cuánto mide el áre de l región limitd por ls curvs de ecuciones respectivs y f( ), y g( ) 4 7? Igul que ntes, un representción gráfic es un yud: 0

13 Clculmos los puntos de corte de ls dos prábols, cuys primers coordends definen el intervlo de integrción: Igulndo drá 47 Por tnto, el áre buscd es: 6 4 0,. A uniddes cudrds.

14 Complementos l Tem 6 El lector completrá l redcción de los ejercicios.. Tbl de integrles inmedits Derivr Integrr kfk d df kf k f d df dg f g f g f g d df dg f g f g f g d df dg f bg b f bg f bg d C 0 d 0 C C n d n n n n C;( n) n d ln ln C d e e C e e d cos sen sen cos C d cos sen sen cos C d tn sec sec tnc

15 . Tbl de integrles por cmbio de vrible (NO es necesrio sbérsel de memori) Otrs integrles inmedits, que se obtienen plicndo l regl de l cden de derivción, son: n n [ f( )]. [ f ( )] f '( ) C n f '( ). ln[ f ( )] C f( ) ln f '( ) 4. f ( ) C f( ) f ( ) f ( ). f '( ) C; ( 0) f '( ) 5. n f ( ) C n n n [ f( )] 6. f '( )sen[ f( )] cos[ f( )] C 7. f '( )cos[ f( )] sen[ f ( )] C f '( ) 8. tg[ f ( )] C f cos [ ( )] f '( ) 9. cotg[ f ( )] C f sen [ ( )] f '( ) 0. rcsen[ f ( )] C [ f( )] f '( ). rccos[ f ( )] C [ f( )] f '( ). rctg[ f ( )] C [ f( )]. f '( ) [ f( )] rccotg[ f ( )] C Ejemplos: n n [ f( )] Regl : [ f( )] f '( ) C n [ 7] [ 7] ) 7 ( 7) ( 7) 7 C C 9

16 b) 4 5 Hgmos u 5 u 45 ó, de donde du 4 y du 4 4 Sustituyendo se tiene: 4 5 u du 4 Vemos que en el integrndo nos qued todví un término en. 5 Pero u ; luego: 4 u u du u du u 5u du udu5 udu C Not: Después de sustituir y simplificr no deben quedr en el integrndo epresiones que dependn de. ) c En este cso hcemos: u du du u u du C C u. Pr gente nimos: Dos integrles rcionles Integrl ) Hllr l integrl de l siguiente función 76 El grdo del polinomio del numerdor es menor que el grdo del polinomio del denomindor. Por lo tnto, no hy que dividir. Ls ríces del denomindor se obtienen resolviendo l ecución 7+ 6 =0 Cuys soluciones son: { = },{ = },{ = }. Por tnto: 7 6 El integrndo se escribe como sum lgebric de frcciones simples: 4

17 A B C Hy que determinr el vlor de los coeficientes A, B, C A B C como los denomindores son igules entonces los numerdores tmbién son igules, y obtendremos un sistem de ecuciones: A B C ABC ABC AB6C igulndo términos de igul grdo ABC 0 ABC A C 5 B AB6C Y podemos integrr sin más, pues sólo quedn unos logritmos: ln ln ln C ln C Integrl b) Hllr l primitiv siguiente: En este cso los denomindores de ls frcciones elementles en ls que entrn los binomios cuy ríz se repite, llevn los eponentes y (y que es un ríz doble, si fuese triple serín tres frcciones con el denomindor con eponentes, y ) con lo cul A B A B de donde nos qued A B A B A 5

18 Y podemos integrr con un poco de pcienci: ln Pr resolver l integrl que flt: u. Hciendo el cmbio de vrible qued du u u Reuniéndolo todo: ln C u du 4. Ejercicios propuestos y sus soluciones Propuest. Clculr un primitiv de ls siguientes funciones 4. f( ). f( ) 7 4. f ( ) 5 4. f( ) cos 5. f( ) sen(5) 6. f( ) 4 7. f( ) f( ) 4 9. Representr y hllr el áre bjo l curv f() = entre los puntos = 5 y = 7 0. Representr y hllr el áre que encierrn ls curvs f() = y g() = +. Representr y hllr el áre que encierrn ls funciones f() = + 6 y g() =. Representr y hllr el áre encerrd por ls prábols 6

19 f() = y g() = Clculr el áre del recinto comprendido entre ls prábols: f() = + y g() = + Soluciones. Clculr un primitiv de ls siguientes funciones f( ) C 5. f( ) C f ( ) C f( ) cos cos senc 5. f( ) sen(5) sen(5) cos(5) C 5 6. f( ) ln 4 C f( ) ln 5 C f( ) 4 4 C Representr y hllr el áre bjo l curv f() = entre los puntos = 5 y = áre. 5. Representr y hllr el áre que encierrn ls curvs: f() = y g() = + 7

20 Pr clculr los puntos de corte, cuys bscis son los límites de integrción, se iguln ls dos funciones f( ) g( ) f g 6 6 ( ( ) ( )) u. de áre 6 6. Representr y hllr el áre que encierrn ls funciones f() = + 6 y g() =. Pr clculr los puntos de corte se iguln ls dos funciones 0 f( ) g( ) ( f ( ) g( )) u. de áre 0 7. Representr y hllr el áre encerrd por ls dos prábols: f() = y g() =

21 Pr clculr los puntos de corte se iguln ls dos funciones f( ) g( ) ( f ( ) g( )) Clculr el áre del recinto comprendido entre ls prábols: f() = + y g() = Pr clculr los puntos de corte se iguln ls dos funciones f( ) g( ) 0 Ahor l integrción es inmedit: ( ) ( f( ) g( )) ( ) ( ). u. de áre 9

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