INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración."

Transcripción

1 INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo integrl y l regl de Brrow. 6. Cálculo de áres de recintos plnos y de volúmenes de revolución. 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. * Prticiones de un intervlo. Se I=[,] un intervlo cerrdo y cotdo de R. Se llm prtición de I tod sucesión finit de números reles pertenecientes I, y estrictmente creciente, siendo el primer término de l sucesión y el último. = < < <...< n- < n = Est prtición se simoliz por P = (,,,...,n-,) * Integrl inferior e integrl superior de un función continu. Funciones integrles. Se l función f:[,] ->R continu y P un prtición de [,]. Llmemos mi y M i los etremos inferior y superior de f en le intervlo [ i-,i ] es decir: m i = inf f(), [ i-,i ] M i = sup f(), [ i-,i ] L eistenci de estos dos vlores está segurd deido l teorem de Weierstrss. A ls sums: s S n p = mi( i i- )=( ) m+( - ) m+...+(- n- ) mn i= n p = M i( i- i- )=( -) M +( - ) M +...+(- n- ) M n i= se les llm sums de Drou de l función f socids l prtición P. Al etremo superior del conjunto de los números reles, se le llm integrl inferior de f en I y se simoliz por: Al etremo inferior del conjunto de los números reles simoliz por: - - s p f()d S p f()d, se le llm integrl superior de f en I y se Se dice que l función f: [,] -> R es integrle si l integrl inferior de f en [,] es igul l superior de f en [,], y su vlor común se le llm integrl definid de f en el intervlo [,], se simoliz por: f()d Integrl definid.

2 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II f() f() Regtángulos inferiores. Regtngulos superiores * Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. Sen f y g dos funciones integrles en [,], <: º- Si [,], º- Si [,] º- Si ( α, β ) R f() f() g() º- f()d f() d f()d f()d ( αf()+ βg())d = α c g()d f()d + β g()d 5º- Relción de Chsles: f()d+ f()d = f()d, c [,] 6º- f()d = - f()d 7º- f()d = 8º- Si f es continu y positiv : f()d = => f()=, [, ] c 9º- Teorem de l medi. Si f es un función continu en [,], eiste un punto c en el interior de este intervlo tl que f()d = ( - )f(c) L interpretción geométric de este teorem es l siguiente: El áre del trpecio mitilineo AB es igul l áre de un rectángulo de se - y ltur f(c), siendo c Integrl definid.

3 un punto interior de [,]. El vlor f(c) recie el nomre de ltur medi o vlor medio de función. Apuntes de A. Cñó Mtemátics II B F(c) A c 6. Teorem fundmentl del cálculo integrl y l regl de Brrow. Si f es continu en [,] y pertenece [,], entonces F definid en [,] por: F()= f(t)dt se llm función integrl. Est es derivle en y F'()=f() pr todo de [,]. Este teorem epres sencillmente que l derivd de l función integrl es el integrndo. - Teorem de Isc Brrow.(6-677) L integrl definid de un función en el intervlo [,] es igul l vlor que tom un primitiv en el punto menos el vlor que tom en el punto. f()d = G()- G() 6. Cálculo de áres de recintos plnos y de volúmenes de revolución. ) Cálculo de áres de recintos plnos encerrdos por un función. Se pueden presentr tres csos: ) f()> áre(r) = f()d y=f() R ) f()< áre(r) = f()d Integrl definid.

4 R Apuntes de A. Cñó Mtemátics II ) Aprecen vlores positivos y negtivos de l función. En este cso hrá que utilizr un epresión similr l dd seguidmente: ) Are pln encerrd por dos funciones. Csos: ) Que nos den los límites de integrción: c á re(r)= R + R + R = f()d + f()d + f()d d c d f() R g() áre(r) = [f() - g()]d ) Que ls dos funciones se corten en dos puntos = y = R áre(r) = [f() - g()]d ) Si ls dos funciones se cortn en más de dos puntos se uscrán estos y se operrá igul que ntes. c) Are de un superficie de revolución l girr sore el eje OX. A = π f() + [f () ] d d) Volumen de revolución l girr sore el eje OX. Integrl definid.

5 V = π [f() ] Ejemplo y Clcul el volumen engendrdo por l elipse + = l girr lrededor del eje 9 d X. Apuntes de A. Cñó Mtemátics II V = 8 π = 8π π 9 9 d 7 = π = π d ( ) = 6 u e) Longitud de un rco de curv. Consideremos un función continu y=f() en un intervlo [,], y se l l longitud del rco entre lospuntos y l l = +[f () ] d f) Volumen engendrdo l girr el áre encerrd por dos funciones lrededor del eje OX. V = π [[f() ] - [g() ] ]d g) Are encerrd por un función sore el eje OY 5 Integrl definid.

6 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II f() A y f() A A y = f ( ) f ( ) f -(y)dy h) Volumen de revolución sore el eje OY. º- L prte A gir lrededor del eje Y V º- L prte Ay gir lrededor del eje Y V y y = π = π f() f() [ f f()d - (y) ] i) Volumen generdo por dos funciones que se cortn l girr respecto l eje OY V y = π [f() - g()]d dy PROBLEMAS. º-Clculr ls siguientes integrles definids:. ln(+ )d. - π INTEGRAL DEFINIDA. sen d. + sen cos -π +. d.5 -) - ( - d.6 E[]d -.7 E[] d.8 cos d - º-Clculr el áre limitd por ls gráfics de: - π -π ) y= + y=+ ) y= - y= π - cos d 6 Integrl definid.

7 c) y= y=+ d)y=- ++5 y=5 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II º-Determinr el volumen del cuerpo de revolución otenido l girr l región eje OX. R( ln; e,e ) lrededor del º-Hllr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr el segmento que une los puntos (,-) y (,) l girr lrededor de OX. 5º-Hllr el volumen engendrdo por R( sen;,π ) lrededor de OX 6º- Cuál es el vlor medio de l función f() = +cos en el intervlo [-π, π ]? 7º-Clculr el volumen del cuerpo engendrdo por rotción lrededor del eje OX del segmento de hipérol y = comprendido entre los puntos (,) y (,). 8º-Clculr el áre limitd por l gráfic de y = (+)ln, el eje OX y ls sciss = y =. 9º-Hllr el áre limitd por l gráfic de y = e, el eje OX y ls rects =-, =. Hllr tmién el volumen engendrdo por dich superficie l girr entorno OX. º- Qué áre encierrn ls práols y = = y?. º-Hllr el áre limitd por l curv el máimo. y = e -, el eje de sciss, l ordend = y l ordend en º-Clculr el áre limitd por ls gráfics f() = e - g() = e y l rect =. º- Clculr: -. - d. d. - + d - - º-Clculr el volumen del sólido que se engendr l girr lrededor del eje OX l región comprendid entre dicho eje y l gráfic de l función - si f()= si < 5 5º-Si f es un función definid en [-,] dd por f()= y P l prtición de [-,] dd - > por P={-,,,,} clculr ls sums de Riemn de dich función correspondiente l prtición P. 6º-Considérese l función f() = + + y el intervlo [,]. Se pide: ) Clculr el vlor medio de f en [,] ) Hllr c (,) que cumpl l tesis del teorem de l medi. - 7 Integrl definid.

8 7º-Determinr y pr que l función + senπ - f() = + - < se continu y después clculr + < - f()d Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 8º-Considérese l curv de ecución y= - + sí como su tngente en el origen. Hllr el áre de l región encerrd entre l curv y l tngente. 9º-Enunci el teorem fundmentl del cálculo integrl y plíclo pr determinr los máimos y mínimos reltivos de l función f definid por: f() = ( t - t)dt º-Determin el áre limitd por l curv y=e - su tngente en el punto (,e-) y el eje OY. º-En el intervlo [-,] se define l función F medinte: ) Cuánto vle F'()? ) Cuánto vle F()? F() = 6 - t dt º-Determin un polinomio de segundo grdo p siendo que verific ls tres condiciones siguientes: ) p()=p(-)= ) Tiene un máimo reltivo en = c) El áre de l región encerrd por el eje OX y l curv y=p() es f() º-L función f definid por f()=²++c tiene su mínimo en = y verific: d = ln - ) Hll y c. ) Hll el áre de l figur limitd por l gráfic de l práol y=f() y el eje OX. º-) Hll l rect r que cort perpendiculrmente l curv de ecución y=ln (+²) y l rect y=+. ) Hll el áre del recinto limitdo por l rect r, l curv y=ln(+²) y los ejes coordendos en el primer cudrnte. - 5º-Se f l función definid pr > - por: f()= t dt. t + ) Clcul f(). ) Es f derivle?. Justific l respuest. c) Determin los intervlos de crecimiento y decrecimiento de f. 6º-Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función f() = 7º-Se f - : R R y l rect tngente l mism en el punto P=(,). ) Hll un primitiv de f l función definid por: f()= - + f : R R definid por 8 Integrl definid.

9 ) Clcul f ( ) d Apuntes de A. Cñó Mtemátics II PROBLEMAS RESUELTOS.- º-Clculr el áre finit comprendid entre l rect = y ls curvs Sol: A= 8ln - º-Dd l curv 7 y = e 8 y = y = +ln ) Buscr el punto M de l curv en el que l tngente es prlel l eje de sciss. ) Buscr el punto de infleión I. Sol: ) M(,) ) I(,+ln ) º-Utilizndo el cálculo integrl, determin el volumen de un cono circulr recto de rdio r y ltur h. º-) Representr l función f() = ) Clculr f()d. - c) Es plicle l regl de Brrow pr clculr f()d? Rzonr l respuest. Sol: ) ln / c) No 5º-Clculr el áre encerrd por l gráfic de l función y =. Sol: A= π/ = + y el eje de ciss y ls rects = 6º-Clculr el áre de l prte del plno comprendid entre l curv y= ln(+5) y ls rects y= =-9/ 9 =. Sol: A= 6 ln 6 - ln - 7º-Hll el áre de l figur limitd por ls práols y²= y ²=y. 8º-Clculr el áre de l porción de plno comprendid entre l curv tngente en el punto de scis =. Sol: A= y = y su 9º-Hllr el áre de l región limitd por ls gráfics de ls funciones: Sol: A=/6 f() = + g() = + º-Hllr el áre comprendid entre ls gráfics de ls funciones y = 6 - e y = +. Sol: A=6/ º-Sen f() = - g()= -. Clculr el áre del dominio conjunto de puntos M(,y) tles 9 Integrl definid.

10 que : - g() y f() Sol: A= 5,5 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II π º- ln( + +)d Sol: I = - - º-Hllr el áre encerrd por ls línes cuys ecuciones son: y = e, y =, =, = Sol: A= º-Hllr el áre limitd por ls curvs y=ln, y= y los ejes coordendos. Sol: A= e -= 6,89 si, = 5º-Dd l función f() = clculr el áre de l región limitd por l gráfic de l ln si, > función y el eje OX, desde = hst = siendo l scis del mínimo de l función. Sol: = A = e e 6º-) Hllr el áre limitd por l función f()= / + cos, el eje de sciss y ls rects = y =π. ) Hllr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr en torno del eje OX, l región del prtdo nterior. Sol: ) A= π + ) V = π 6 7º-Hllr el vlor de l sum: I + 5 º- Clculr d ( +)( +)( +9) I + I I siendo I n = cosnd 8º-L región del plno limitd por l rect y=-, l práol Hllr el volumen del cuerpo de revolución que se gener. 9º-) Representr gráficmente l función y = + -. π Sol: S= y = ( - 9 ) gir lrededor del eje OX. 5π Sol: V = ) En qué puntos dich función no es diferencile? c) Clculr el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función nterior y l rect y=. Sol: ) = = c) A=/ º-Se l función f() = definid en el intervlo [-,]. Clculr el áre del recinto limitdo por l - curv y=f() y ls rects =- = y=/. Sol: A= '5 º-Clculr el áre del recinto comprendido entre l práol y = y l rect y=. Clculr simismo 8π el volumen generdo por dicho recinto l girr 6 lrededor del eje OX. Sol: A= 8/ V = 5 Integrl definid.

11 Sol: I='6 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II º-) Pr qué vlores de tiene sentido l epresión f() = ) Hll los intervlos de crecimiento y decrecimiento, sí como los etremos reltivos de l función f. c) Clculr el áre del recinto limitdo por l curv y=f() y l rect y=. 6 Sol: )[-,] )M (, - ) c) A = º-) Enuncir e interpretr geométricmente el teorem de Rolle. ) Dd l función f() = - en el intervlo [-,], plicr el teorem de Rolle si es posile. En cso contrrio rzonr l imposiilidd. c) Clculr el áre que encierr l función dd en el prtdo nterior con el eje OX. Sol: c) A=/5 5º-Clculr el áre limitd por ls curvs y=sen y=sen entre = y =π/. - Sol: A = =,7 6º-Clculr el vlor de l siguiente integrl: 6 d + 7º-Clculr el áre del recinto determindo por l función f()= -+, el eje OX y ls rects = y =. Sol: /6 8º- Are del recinto limitdo por l curv: y= /((+)(+)) entre = y =. Sol: / ln(/) 9º- Are del recinto limitdo por l curv: y = ln(+), el eje OX, entre = y =. Sol: ln - ln - º- Are del recinto limitdo por l gráfic de l función: f()=sen(/) y el eje OX desde = hst =π. Sol: º- Are del recinto limitdo por ls funciones: f()=- y g()= +. Sol: / º- Are comprendid entre l función: f()= - + y el eje OX. Sol: 7/ º- Are del recinto limitdo por l gráfic de f()=cos, el eje OX y ls rects = y =π. Sol: º- Are del recinto cotdo del plno, limitdo por l gráfic de f()= /(+ ), el eje OX y ls rect =- y =. Not: tg(-π/) = -; tg(π/) = Sol: -π/ 5º- Clculr el vlor de "m" pr que el áre del recinto limitdo por l curv y= y l rect y=m se 9/. Sol: 6º- Are limitd por f()=e -, el eje OY y l ordend en el máimo. Sol: /e-. 7º- Otener el áre comprendid entre l función y=e y l tngente l curv en =. Sol: e/ - Integrl definid.

12 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 8º- Are del recinto limitdo por l curv y=e, el eje OY y l ordend correspondiente l punto mínimo de l curv. Sol: -/e 9º- Are limitd por ls curvs: y=- -+ y l rect y=. Sol: / º- Are de l región del plno delimitd por los ejes de coordends y l gráfic de l función f()=(-)e -. Sol: /e º- Hllr el áre de l región del plno limitd por l curv y = (-) e -, el eje de sciss desde el punto de corte hst l scis en el máimo. Sol: /e-/e º- Hllr el áre de l región del plno limitd por ls curvs y = ln, y = y los ejes de coordends. Sol: e - º- Hllr el áre comprendid entre l curv y = ln desde el punto de corte con el eje OX hst el punto de scis = e. Sol: º- Hllr el vlor de "" pr que el áre de l región limitd por l curv y = - + y el eje OX se igul 6. Sol: = 9 5º- Clculr el áre de ls regiones del plno limitds por ls curvs: ) y = - y el eje OX ) y = -5+ y el eje OX c) y = (-)(-) y el eje OX d) y = y el eje OX Sol: ) 9/; ) 9/; c) 7/; d) 8 6º- Clculr el áre comprendid entre l función y=ln, el eje OX y l tngente l función en el punto =e. Sol: e/ - 7º- Hll el áre determind por ls curvs y=, y=/ y l rect =. Sol: 7/ - ln 8º- Hll el áre determind por y= +, su rect tngente en = y el eje OY. Sol: / 9º- Hll el áre determind por y= +, su rect norml en = y los ejes. Sol: 6/.- 5º- Hll el áre comprendid entre ls curvs y=, y=/, y=-7/8 + 5/, siendo. Sol: /-ln 5º- Hll el áre encerrd entre ls curvs y= -, y= -. Sol: 8 5º- Hll el áre comprendid entre ls curvs y= -, y=. Sol: 8 5º- Hll el áre comprendid entre ls gráfics de l curvs: y=- + e y=. Sol: 6/5 5º- Áre comprendid entre y= - y el eje OX. Sol: / 55º- Áre comprendid entre l curv y=/( -5+) y ls rects =5 y =7. Sol: / ln + / ln - / ln6 56º- Áre encerrd entre l curv /(-) y ls rects = e y=. Sol: / + / ln. 57º- Áre comprendid entre l curv y=ln( +) y l curv y=ln5. Not: rctg(-α)=-rctg(α). Sol: rctg() Integrl definid.

13 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 58º- Áre comprendid entre l curv y= - e y=. Sol: 59º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de ls funciones: y=- + e y= (-). Sol: /5 6º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de ls funciones: y= - e y= (-). Sol: /5 6º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de ls funciones: y=- +, y=+ e y=-+. Sol: /5 6º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de l función y=tg(), el eje OX y l rect =π/. Sol: ln( ) 6º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de ls funciones: y=- e y=. Sol: 7/ 6º- Hll el áre determind por ls curvs y=, y=/ y l rect y=. Sol: /-/+ln(/) Integrl definid.

INTEGRAL DEFINIDA. senx. sen PROBLEMAS. 1º-Calcular las siguientes integrales definidas: E[x]dx

INTEGRAL DEFINIDA. senx. sen PROBLEMAS. 1º-Calcular las siguientes integrales definidas: E[x]dx INTEGRAL DEFINIDA. PROBLEMAS. º-Calcular las siguientes integrales definidas: π sen. ln(+ )d. d. + sen - cos -π +. d.5 -) - ( - d.6 E[]d -.7 E[] d.8 cos d - º-Calcular el área limitada por las gráficas

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e.

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e. MsMtescom Integrles Selectividd CCNN Murci [] [EXT-A] ) Clcule l integrl indefinid rctgd, donde rctg denot l función rco-tngente de ) De tods ls primitivs de l función f() = rctg, encuentre l que ps por

Más detalles

2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual

2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual MsMtes.com Integrles Selectividd CCNN. [ANDA] [JUN-A] De l función f:(-,+ ) se se que f (x ) = y que f() =. (x+) () Determinr f. () Hllr l primitiv de f cuy gráfic ps por el punto (,).. [ANDA] [JUN-B]

Más detalles

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS

INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN l CÁLCULO de ÁREAS Isc Brrow (60-677), teólogo y mtemático inglés, mestro de Newton y precursor de l regl que llev su nomre. MATEMÁTICAS II º Bchillerto Alfonso González IES

Más detalles

Tema 11. La integral definida

Tema 11. La integral definida Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 5 Integrl definid: áre jo un curv Tem L integrl definid L integrl definid permite clculr el áre del recinto limitdo, en su prte superior por

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

LA INTEGRAL DE RIEMANN

LA INTEGRAL DE RIEMANN LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,

Más detalles

UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA

UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA ÍNDICE DE LA UNIDAD.- INTRODUCCIÓN.....- SUMAS SUPERIORES E INFERIORES....- LA INTEGRAL DEFINIDA.... 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA... 5.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA TEMA : INTEGRAL DEFINIDA..- El problem de clculr el áre bjo un curv El problem de clculr el áre limitd por lguns curvs fue borddo, por los mtemáticos griegos, desde bstntes siglos trás. El método empledo

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Cálculo de volúmenes II: Método de los casquetes cilíndricos

Cálculo de volúmenes II: Método de los casquetes cilíndricos Sesión 6 II: Método de los csquetes cilíndricos Tems Método de los csquetes cilíndricos pr clculr volúmenes de sólidos de revolución. Cpciddes Conocer y plicr el método de los csquetes esféricos pr clculr

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

Aplicaciones de la integral indefinida

Aplicaciones de la integral indefinida Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS Mtemátics º de Bchillerto Ciencis y Tecnologí Profesor: Jorge Escribno Colegio Inmculd Niñ Grnd www.coleinmculdnin.org TEMA 7.- INTEGRALES

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 7 Integración. Aplicaciones

Fundamentos matemáticos. Tema 7 Integración. Aplicaciones Fundmentos mtemáticos Grdo en Ingenierí grícol y del medio rurl Tem 7 Integrción. Aplicciones José Brrios Grcí Deprtmento de Análisis Mtemático Universidd de L Lgun jrrios@ull.es 16 Licenci Cretive Commons

Más detalles

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: .- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Modelo 5 de sobrantes de Opción A

Modelo 5 de sobrantes de Opción A Ejercicio. [ puntos] Se f : R l función dd por Modelo de sobrntes de 6 - Opción. Ln f siendo Ln l función logrito neperino. Estudi l eistenci de síntot horiontl pr l gráfic de est función. En cso de que

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Práctico 9 - Cálculo de integrales. 1. Teorema fundamental y regla de Barrow

Práctico 9 - Cálculo de integrales. 1. Teorema fundamental y regla de Barrow Universidd de l Repúblic Cálculo Fcultd de Ingenierí - IMERL Segundo semestre 6 Práctico 9 - Cálculo de integrles. Teorem fundmentl y regl de Brrow. Utilizndo los resultdos del ejercicio 9 del práctico

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

Modelo 6 Opción A. Como me dicen que es y = 1 me están dando las condiciones

Modelo 6 Opción A. Como me dicen que es y = 1 me están dando las condiciones Modelo 6 Opción A Ejercicio º [ puntos] Deterin l función f : R R sbiendo que f ( que l rect tngente l gráfic de f en el punto de bscis es l rect. L rect tngente de f( en es " f( f (( " Coo e dicen que

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Integrales 171. Tema 8. Integrales. , es fácil hallar su derivada F (x)

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Integrales 171. Tema 8. Integrales. , es fácil hallar su derivada F (x) Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 7 Concepto de integrl indefinid Tem 8 Integrles L derivd de un función permite conocer l ts de vrición (el cmio instntáneo) de un determindo

Más detalles

CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL

CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL CAPÍTULO 3 CÁLCULO INTEGRAL. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPÍTULO Concepto de áre Sums de Riemnn Integrl definid Propieddes de l integrl definid Integrl indefinid Propieddes de l integrl indefinid Teorem

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

UNIDAD. integral. a integración y la derivación son las más potentes

UNIDAD. integral. a integración y la derivación son las más potentes UNIDAD L integrl integrción y l derivción son ls más potentes L herrmients de ls que jmás hyn dispuesto ls ciencis, tnto nturles como sociles, y ls ingenierís, pr l resolución de infinidd de prolems Ams

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez (jmrtinezos@uoc.edu), Ptrici Molinàs (pmolins@uoc.edu), Ángel A. Jun (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio. Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece

Más detalles

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural.

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se se que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

0 PRELIMINARES. NÚMEROS REALES

0 PRELIMINARES. NÚMEROS REALES ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS VOLUMEN II PRELIMINARES. NÚMEROS REALES. El conjunto de los número reles L representción más común de hce ver l conjunto como un líne rect del plno.,, 4, 8,.7,... 3

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

Ejercicios de optimización

Ejercicios de optimización Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) ES CSTELR DJOZ Menguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE ZRGOZ SEPTEMRE (RESUELTOS por ntonio Menguino) MTEMÁTCS Tiempo máimo: hors Se vlorrá el uso del voulrio l notión ientíi Los errores ortográios,

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración Integrión. Cálulo de áres. INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA F() es un primitiv de f() si F ()= f(). Esto se epres sí: f() = F'() = F() L integrión es l operión invers l derivión, de modo que: FUNCIONES

Más detalles

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A Cálculo II Volúmenes de Sólidos M. en C. Ricrdo Romero Deprtmento de Ciencis Básics, UAM-A Grupo CTG87 Trimestre 11-P Grupo CTG87 Trimestre 11-P 1 / Progrm 1 Cálculo de volúmenes prtir de secciones trnsversles

Más detalles

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I - 2014 Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICASESPECIALESCAD MóduloIV: Continuiddyderivbilidd MTeresUleciGrcí RobertoCnogrMcKenzie DeprtmentodeMtemáticsFundmentles FcultddeCiencis Curso de Mtemátics Especiles Introducción

Más detalles

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2 Royl Americn School Profesor An Mendiet Guí de Sustentción Mtemátic 1º medio A Formndo persons: Responsles respetuoss honests y leles 1) Represent en el plno crtesino los siguientes puntos: ) A(-1) d)

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles