INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

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1 INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo integrl y l regl de Brrow. 6. Cálculo de áres de recintos plnos y de volúmenes de revolución. 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. * Prticiones de un intervlo. Se I=[,] un intervlo cerrdo y cotdo de R. Se llm prtición de I tod sucesión finit de números reles pertenecientes I, y estrictmente creciente, siendo el primer término de l sucesión y el último. = < < <...< n- < n = Est prtición se simoliz por P = (,,,...,n-,) * Integrl inferior e integrl superior de un función continu. Funciones integrles. Se l función f:[,] ->R continu y P un prtición de [,]. Llmemos mi y M i los etremos inferior y superior de f en le intervlo [ i-,i ] es decir: m i = inf f(), [ i-,i ] M i = sup f(), [ i-,i ] L eistenci de estos dos vlores está segurd deido l teorem de Weierstrss. A ls sums: s S n p = mi( i i- )=( ) m+( - ) m+...+(- n- ) mn i= n p = M i( i- i- )=( -) M +( - ) M +...+(- n- ) M n i= se les llm sums de Drou de l función f socids l prtición P. Al etremo superior del conjunto de los números reles, se le llm integrl inferior de f en I y se simoliz por: Al etremo inferior del conjunto de los números reles simoliz por: - - s p f()d S p f()d, se le llm integrl superior de f en I y se Se dice que l función f: [,] -> R es integrle si l integrl inferior de f en [,] es igul l superior de f en [,], y su vlor común se le llm integrl definid de f en el intervlo [,], se simoliz por: f()d Integrl definid.

2 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II f() f() Regtángulos inferiores. Regtngulos superiores * Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. Sen f y g dos funciones integrles en [,], <: º- Si [,], º- Si [,] º- Si ( α, β ) R f() f() g() º- f()d f() d f()d f()d ( αf()+ βg())d = α c g()d f()d + β g()d 5º- Relción de Chsles: f()d+ f()d = f()d, c [,] 6º- f()d = - f()d 7º- f()d = 8º- Si f es continu y positiv : f()d = => f()=, [, ] c 9º- Teorem de l medi. Si f es un función continu en [,], eiste un punto c en el interior de este intervlo tl que f()d = ( - )f(c) L interpretción geométric de este teorem es l siguiente: El áre del trpecio mitilineo AB es igul l áre de un rectángulo de se - y ltur f(c), siendo c Integrl definid.

3 un punto interior de [,]. El vlor f(c) recie el nomre de ltur medi o vlor medio de función. Apuntes de A. Cñó Mtemátics II B F(c) A c 6. Teorem fundmentl del cálculo integrl y l regl de Brrow. Si f es continu en [,] y pertenece [,], entonces F definid en [,] por: F()= f(t)dt se llm función integrl. Est es derivle en y F'()=f() pr todo de [,]. Este teorem epres sencillmente que l derivd de l función integrl es el integrndo. - Teorem de Isc Brrow.(6-677) L integrl definid de un función en el intervlo [,] es igul l vlor que tom un primitiv en el punto menos el vlor que tom en el punto. f()d = G()- G() 6. Cálculo de áres de recintos plnos y de volúmenes de revolución. ) Cálculo de áres de recintos plnos encerrdos por un función. Se pueden presentr tres csos: ) f()> áre(r) = f()d y=f() R ) f()< áre(r) = f()d Integrl definid.

4 R Apuntes de A. Cñó Mtemátics II ) Aprecen vlores positivos y negtivos de l función. En este cso hrá que utilizr un epresión similr l dd seguidmente: ) Are pln encerrd por dos funciones. Csos: ) Que nos den los límites de integrción: c á re(r)= R + R + R = f()d + f()d + f()d d c d f() R g() áre(r) = [f() - g()]d ) Que ls dos funciones se corten en dos puntos = y = R áre(r) = [f() - g()]d ) Si ls dos funciones se cortn en más de dos puntos se uscrán estos y se operrá igul que ntes. c) Are de un superficie de revolución l girr sore el eje OX. A = π f() + [f () ] d d) Volumen de revolución l girr sore el eje OX. Integrl definid.

5 V = π [f() ] Ejemplo y Clcul el volumen engendrdo por l elipse + = l girr lrededor del eje 9 d X. Apuntes de A. Cñó Mtemátics II V = 8 π = 8π π 9 9 d 7 = π = π d ( ) = 6 u e) Longitud de un rco de curv. Consideremos un función continu y=f() en un intervlo [,], y se l l longitud del rco entre lospuntos y l l = +[f () ] d f) Volumen engendrdo l girr el áre encerrd por dos funciones lrededor del eje OX. V = π [[f() ] - [g() ] ]d g) Are encerrd por un función sore el eje OY 5 Integrl definid.

6 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II f() A y f() A A y = f ( ) f ( ) f -(y)dy h) Volumen de revolución sore el eje OY. º- L prte A gir lrededor del eje Y V º- L prte Ay gir lrededor del eje Y V y y = π = π f() f() [ f f()d - (y) ] i) Volumen generdo por dos funciones que se cortn l girr respecto l eje OY V y = π [f() - g()]d dy PROBLEMAS. º-Clculr ls siguientes integrles definids:. ln(+ )d. - π INTEGRAL DEFINIDA. sen d. + sen cos -π +. d.5 -) - ( - d.6 E[]d -.7 E[] d.8 cos d - º-Clculr el áre limitd por ls gráfics de: - π -π ) y= + y=+ ) y= - y= π - cos d 6 Integrl definid.

7 c) y= y=+ d)y=- ++5 y=5 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II º-Determinr el volumen del cuerpo de revolución otenido l girr l región eje OX. R( ln; e,e ) lrededor del º-Hllr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr el segmento que une los puntos (,-) y (,) l girr lrededor de OX. 5º-Hllr el volumen engendrdo por R( sen;,π ) lrededor de OX 6º- Cuál es el vlor medio de l función f() = +cos en el intervlo [-π, π ]? 7º-Clculr el volumen del cuerpo engendrdo por rotción lrededor del eje OX del segmento de hipérol y = comprendido entre los puntos (,) y (,). 8º-Clculr el áre limitd por l gráfic de y = (+)ln, el eje OX y ls sciss = y =. 9º-Hllr el áre limitd por l gráfic de y = e, el eje OX y ls rects =-, =. Hllr tmién el volumen engendrdo por dich superficie l girr entorno OX. º- Qué áre encierrn ls práols y = = y?. º-Hllr el áre limitd por l curv el máimo. y = e -, el eje de sciss, l ordend = y l ordend en º-Clculr el áre limitd por ls gráfics f() = e - g() = e y l rect =. º- Clculr: -. - d. d. - + d - - º-Clculr el volumen del sólido que se engendr l girr lrededor del eje OX l región comprendid entre dicho eje y l gráfic de l función - si f()= si < 5 5º-Si f es un función definid en [-,] dd por f()= y P l prtición de [-,] dd - > por P={-,,,,} clculr ls sums de Riemn de dich función correspondiente l prtición P. 6º-Considérese l función f() = + + y el intervlo [,]. Se pide: ) Clculr el vlor medio de f en [,] ) Hllr c (,) que cumpl l tesis del teorem de l medi. - 7 Integrl definid.

8 7º-Determinr y pr que l función + senπ - f() = + - < se continu y después clculr + < - f()d Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 8º-Considérese l curv de ecución y= - + sí como su tngente en el origen. Hllr el áre de l región encerrd entre l curv y l tngente. 9º-Enunci el teorem fundmentl del cálculo integrl y plíclo pr determinr los máimos y mínimos reltivos de l función f definid por: f() = ( t - t)dt º-Determin el áre limitd por l curv y=e - su tngente en el punto (,e-) y el eje OY. º-En el intervlo [-,] se define l función F medinte: ) Cuánto vle F'()? ) Cuánto vle F()? F() = 6 - t dt º-Determin un polinomio de segundo grdo p siendo que verific ls tres condiciones siguientes: ) p()=p(-)= ) Tiene un máimo reltivo en = c) El áre de l región encerrd por el eje OX y l curv y=p() es f() º-L función f definid por f()=²++c tiene su mínimo en = y verific: d = ln - ) Hll y c. ) Hll el áre de l figur limitd por l gráfic de l práol y=f() y el eje OX. º-) Hll l rect r que cort perpendiculrmente l curv de ecución y=ln (+²) y l rect y=+. ) Hll el áre del recinto limitdo por l rect r, l curv y=ln(+²) y los ejes coordendos en el primer cudrnte. - 5º-Se f l función definid pr > - por: f()= t dt. t + ) Clcul f(). ) Es f derivle?. Justific l respuest. c) Determin los intervlos de crecimiento y decrecimiento de f. 6º-Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función f() = 7º-Se f - : R R y l rect tngente l mism en el punto P=(,). ) Hll un primitiv de f l función definid por: f()= - + f : R R definid por 8 Integrl definid.

9 ) Clcul f ( ) d Apuntes de A. Cñó Mtemátics II PROBLEMAS RESUELTOS.- º-Clculr el áre finit comprendid entre l rect = y ls curvs Sol: A= 8ln - º-Dd l curv 7 y = e 8 y = y = +ln ) Buscr el punto M de l curv en el que l tngente es prlel l eje de sciss. ) Buscr el punto de infleión I. Sol: ) M(,) ) I(,+ln ) º-Utilizndo el cálculo integrl, determin el volumen de un cono circulr recto de rdio r y ltur h. º-) Representr l función f() = ) Clculr f()d. - c) Es plicle l regl de Brrow pr clculr f()d? Rzonr l respuest. Sol: ) ln / c) No 5º-Clculr el áre encerrd por l gráfic de l función y =. Sol: A= π/ = + y el eje de ciss y ls rects = 6º-Clculr el áre de l prte del plno comprendid entre l curv y= ln(+5) y ls rects y= =-9/ 9 =. Sol: A= 6 ln 6 - ln - 7º-Hll el áre de l figur limitd por ls práols y²= y ²=y. 8º-Clculr el áre de l porción de plno comprendid entre l curv tngente en el punto de scis =. Sol: A= y = y su 9º-Hllr el áre de l región limitd por ls gráfics de ls funciones: Sol: A=/6 f() = + g() = + º-Hllr el áre comprendid entre ls gráfics de ls funciones y = 6 - e y = +. Sol: A=6/ º-Sen f() = - g()= -. Clculr el áre del dominio conjunto de puntos M(,y) tles 9 Integrl definid.

10 que : - g() y f() Sol: A= 5,5 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II π º- ln( + +)d Sol: I = - - º-Hllr el áre encerrd por ls línes cuys ecuciones son: y = e, y =, =, = Sol: A= º-Hllr el áre limitd por ls curvs y=ln, y= y los ejes coordendos. Sol: A= e -= 6,89 si, = 5º-Dd l función f() = clculr el áre de l región limitd por l gráfic de l ln si, > función y el eje OX, desde = hst = siendo l scis del mínimo de l función. Sol: = A = e e 6º-) Hllr el áre limitd por l función f()= / + cos, el eje de sciss y ls rects = y =π. ) Hllr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr en torno del eje OX, l región del prtdo nterior. Sol: ) A= π + ) V = π 6 7º-Hllr el vlor de l sum: I + 5 º- Clculr d ( +)( +)( +9) I + I I siendo I n = cosnd 8º-L región del plno limitd por l rect y=-, l práol Hllr el volumen del cuerpo de revolución que se gener. 9º-) Representr gráficmente l función y = + -. π Sol: S= y = ( - 9 ) gir lrededor del eje OX. 5π Sol: V = ) En qué puntos dich función no es diferencile? c) Clculr el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función nterior y l rect y=. Sol: ) = = c) A=/ º-Se l función f() = definid en el intervlo [-,]. Clculr el áre del recinto limitdo por l - curv y=f() y ls rects =- = y=/. Sol: A= '5 º-Clculr el áre del recinto comprendido entre l práol y = y l rect y=. Clculr simismo 8π el volumen generdo por dicho recinto l girr 6 lrededor del eje OX. Sol: A= 8/ V = 5 Integrl definid.

11 Sol: I='6 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II º-) Pr qué vlores de tiene sentido l epresión f() = ) Hll los intervlos de crecimiento y decrecimiento, sí como los etremos reltivos de l función f. c) Clculr el áre del recinto limitdo por l curv y=f() y l rect y=. 6 Sol: )[-,] )M (, - ) c) A = º-) Enuncir e interpretr geométricmente el teorem de Rolle. ) Dd l función f() = - en el intervlo [-,], plicr el teorem de Rolle si es posile. En cso contrrio rzonr l imposiilidd. c) Clculr el áre que encierr l función dd en el prtdo nterior con el eje OX. Sol: c) A=/5 5º-Clculr el áre limitd por ls curvs y=sen y=sen entre = y =π/. - Sol: A = =,7 6º-Clculr el vlor de l siguiente integrl: 6 d + 7º-Clculr el áre del recinto determindo por l función f()= -+, el eje OX y ls rects = y =. Sol: /6 8º- Are del recinto limitdo por l curv: y= /((+)(+)) entre = y =. Sol: / ln(/) 9º- Are del recinto limitdo por l curv: y = ln(+), el eje OX, entre = y =. Sol: ln - ln - º- Are del recinto limitdo por l gráfic de l función: f()=sen(/) y el eje OX desde = hst =π. Sol: º- Are del recinto limitdo por ls funciones: f()=- y g()= +. Sol: / º- Are comprendid entre l función: f()= - + y el eje OX. Sol: 7/ º- Are del recinto limitdo por l gráfic de f()=cos, el eje OX y ls rects = y =π. Sol: º- Are del recinto cotdo del plno, limitdo por l gráfic de f()= /(+ ), el eje OX y ls rect =- y =. Not: tg(-π/) = -; tg(π/) = Sol: -π/ 5º- Clculr el vlor de "m" pr que el áre del recinto limitdo por l curv y= y l rect y=m se 9/. Sol: 6º- Are limitd por f()=e -, el eje OY y l ordend en el máimo. Sol: /e-. 7º- Otener el áre comprendid entre l función y=e y l tngente l curv en =. Sol: e/ - Integrl definid.

12 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 8º- Are del recinto limitdo por l curv y=e, el eje OY y l ordend correspondiente l punto mínimo de l curv. Sol: -/e 9º- Are limitd por ls curvs: y=- -+ y l rect y=. Sol: / º- Are de l región del plno delimitd por los ejes de coordends y l gráfic de l función f()=(-)e -. Sol: /e º- Hllr el áre de l región del plno limitd por l curv y = (-) e -, el eje de sciss desde el punto de corte hst l scis en el máimo. Sol: /e-/e º- Hllr el áre de l región del plno limitd por ls curvs y = ln, y = y los ejes de coordends. Sol: e - º- Hllr el áre comprendid entre l curv y = ln desde el punto de corte con el eje OX hst el punto de scis = e. Sol: º- Hllr el vlor de "" pr que el áre de l región limitd por l curv y = - + y el eje OX se igul 6. Sol: = 9 5º- Clculr el áre de ls regiones del plno limitds por ls curvs: ) y = - y el eje OX ) y = -5+ y el eje OX c) y = (-)(-) y el eje OX d) y = y el eje OX Sol: ) 9/; ) 9/; c) 7/; d) 8 6º- Clculr el áre comprendid entre l función y=ln, el eje OX y l tngente l función en el punto =e. Sol: e/ - 7º- Hll el áre determind por ls curvs y=, y=/ y l rect =. Sol: 7/ - ln 8º- Hll el áre determind por y= +, su rect tngente en = y el eje OY. Sol: / 9º- Hll el áre determind por y= +, su rect norml en = y los ejes. Sol: 6/.- 5º- Hll el áre comprendid entre ls curvs y=, y=/, y=-7/8 + 5/, siendo. Sol: /-ln 5º- Hll el áre encerrd entre ls curvs y= -, y= -. Sol: 8 5º- Hll el áre comprendid entre ls curvs y= -, y=. Sol: 8 5º- Hll el áre comprendid entre ls gráfics de l curvs: y=- + e y=. Sol: 6/5 5º- Áre comprendid entre y= - y el eje OX. Sol: / 55º- Áre comprendid entre l curv y=/( -5+) y ls rects =5 y =7. Sol: / ln + / ln - / ln6 56º- Áre encerrd entre l curv /(-) y ls rects = e y=. Sol: / + / ln. 57º- Áre comprendid entre l curv y=ln( +) y l curv y=ln5. Not: rctg(-α)=-rctg(α). Sol: rctg() Integrl definid.

13 Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 58º- Áre comprendid entre l curv y= - e y=. Sol: 59º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de ls funciones: y=- + e y= (-). Sol: /5 6º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de ls funciones: y= - e y= (-). Sol: /5 6º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de ls funciones: y=- +, y=+ e y=-+. Sol: /5 6º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de l función y=tg(), el eje OX y l rect =π/. Sol: ln( ) 6º- Hll el áre comprendid entre l gráfic de ls funciones: y=- e y=. Sol: 7/ 6º- Hll el áre determind por ls curvs y=, y=/ y l rect y=. Sol: /-/+ln(/) Integrl definid.

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