LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

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1 LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites de integrción inferior y superior respectivmente. Propieddes de l integrl definid. fd fd. f gd fd gd 3. fd fd c c. Si c entonces fd fd fd 5. Si f g, fd gd Teorem de l medi Theorem Se f continu en el intervlo,, entonces eiste un punto c, tl que fd fc Remrk Sen M y m los vlores máimo y mínimo de f en el intervlo,.por definición de integrl definid se tiene: m fd M Dividiendo est iguldd por tenemos m fd M Como l función f por ser continu, tom todos los vlores comprendidos entre el vlor mínimo m y el vlor máimo M (teorem de los vlores intermedios de Drou), eiste pues un vlor c, tl que

2 Es decir, fd fc fd fc Función integrl Si en vez de considerr y fijos, suponemos vrile, y usmos t como vrile independiente, se tiene entonces un función F definid en, de l siguiente form: F ftdt L función F se llm función integrl, y tiene ls siguientes propieddes:. Si, entonces F ftdt 0. Si, entonces F ftdt 3. Si f 0, pr todo, entonces l función integrl represent el áre del recinto Rf,, pr cd del intervlo. Teorem fundmentl del cálculo integrl Theorem Si f es contínu en,, entonces F es derivle y F f Remrk Clculremos l derivd de F: F F h F lim h0 h h ftdt ftdt lim h0 h h ftdt lim h0 h como por el teorem de l medi se tiene que h ftdt hfc c, h tenemos entonces que: y que c, h. F lim h0 hfc h lim h0 fc f,. RegldeBrrow Theorem L integrl definid de un función en el intervlo, es igul l vlor que tom un primitiv en el punto menos el vlor que tom en el punto. Si G es un primitiv de l función f, l diferenci G G suele designrse como G G G

3 fd G G G Remrk Se F ftdt por el teorem fundmentl del cálculo integrl F f Pero tmién por hipótesis (G es un primitiv de l función f), G f Por tnto como F G F G C luego F fd G C F fd 0 G C C G Así pues tenemos que: fd G G Dónde G represent culquier primitiv de f. Cálculo de áres plns. Si f 0en, el áre comprendid entre l curv y f, elejeox y ls rects y es: S fd. Si f 0en, entonces el áre S es:.00 S fd fd 3. Si f tom vlores positivos y negtivos en el intervlo,, entonces fd d l

4 sum lgeric de ls áres señlds, siendo positivs ls que están por encim del eje OX y negtivs ls que están por dejo. c c c 3 S fd fd c fd c fd c3. Áre comprendid entre dos curvs: Si tenemos dos curvs y f e y g y ls ciss de los puntos de intersección son y, siendo f g en, entonces el áre comprendid entre ls curvs y f e y g es: S fd gd f gd

5 EJERCICIOS. Hll:. F en F t dt ( F ). G en G t dt ( G ) c. F t t en Ft d ( F 3 t ) d. H z z en Hz cosd ( H z cosz). Hll G en cd uno de los siguientes csos:. G dt ( G ) t. G dt ( G t c. G 3 dt ( G 3 t 6 3. Clcul l derivd F de l función F e t dt ( F e e ). Hll los máimos y mínimos reltivos de l función G ln t t dt ( En mínimo reltivo) 5. Clcul ls siguientes integrles definids:. 5 d ( ) 0. 3t 5dt ( 6) c. q q 3 dq ( 9 ) d. d ( 7 38 ) 6. Clcul el áre encerrd por l curv y 5 yelejeox entre, y 5 A 5d Luego A 33 u 7. Clcul el áre encerrd por l curv y cos yelejeox entre, 5

6 0 - y cos Como se puede ver en l gráfic de l función y cos tom vlores tnto positivos como negtivos en el intervlo, 5 luego: A A A A cosd sin 5 5 A cosd sin A Luego: A A A u 8. Clcul el áre encerrd por l curv y y el eje OX entre 0, 5 y A A A A 0 d A d Luego A A A u 9. Clcul el áre encerrd por ls curvs y 7, y y ls rects, 5. 7

7 5 A 7 d Clcul el áre comprendid entre ls curvs y 3, y 07 6 u Clculmos los puntos de corte de ls gráfics: , El áre será: A 0 3 d u 0. Áre encerrd por y,elejeoy y ls línes y, y 3 A 3 y dy 3 y u. Clcul el áre limitd por ls curvs y, y

8 Los puntos de corte de ls gráfics serán: y 8 y Si despejmos en cd un de ls funciones tendremos: y y Luego: A y y y y dy y y 6 y3 8u

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