Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar

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Julio Palma Fernández
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1 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define como: ω = u + i v si u, v existen en t. ω = u + iv ( y) Si u y v existen 1 Qué condiciones que deen stisfcer ls funciones u(t) y v(t) pr que ls integrles reles existn? ( ) ( ) ( ) Si U t es un primitiv de u t y V t es un primitiv de v,entonces: ω = u + i v Re ω Re [ ω ] Im ω = = Im [ ω ] 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ( ) W = U t + iv t es un primitiv de ω = u t + iv t y que W t = t ω = u + i v = ( U ( ) U ( )) + i( V ( ) V ( )) = W ( ) W ( ) 4 1

ω = u + iv ( y) Si u y v existen 1 Qué condiciones que deen stisfcer ls funciones u(t) y v(t) pr que ls integrles reles existn?

2 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 1) Linelidd ( ± ) = ± αω βω α ω β ω Siendo α, β c ) Aditividd: ω = ω + ω si < c< c 4) Acotción del módulo de l integrl ω ω Demostrr 3) ω = ω( t) = ω 5 6 : z = x + iy t Definición: : Se denomin rco simple o rco de Jordn: [ ] si ddos t t, entonces: z( t ) z( t ) en. z = x + iy x, y continus en t Definición: se denomin curv cerrd simple o curv de Jordn: ( ) ddos t t, entonces: z( t ) z( t ) en. y se cumple que: z( ) = z( ) 7 8

rco simple o rco de Jordn: [ ] si ddos t t, entonces: z( t ) z( t ) en.

3 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 : z = x + iy t z = x + iy Definición: : se denomin rco diferencile si x, y tienen derivds continus en t [ ] [ ] Se : z = x + y t L = z es l longitud de rco : z = x + iy t z = x + iy Definición: : se denomin rco suve si: 1) x, y tienen derivds continus en t ) z 0 z El vector tngente unitrio está ddo por: T = z 9 10 : se denomin contorno o rco suve por trmos si: z(t) es continu y z (t) es continu por trmos. Está formdo por un número finito de rcos suves unidos por sus extremos. : se denomin contorno cerrdo simple. Si es rco formdo por un número finito de rcos suves unidos por sus extremos y stisfce que: z 1 = z sólo si : z 1 =z() y z =z(). : z = x + iy t z continu y z continu por trmos en t [ ] ontorno :, [ ] D t z = z 11 1 f : D z ω = f ( z) f é z :, ω = f é z = f ( z( t)) f ( z) : continu por trmos sore, es decir: f ( z) : continu por trmos en el intervlo: t 3

trmos si: z(t) es continu y z (t) es continu por trmos. Está formdo por un número finito de rcos suves unidos por sus extremos. : se denomin contorno cerrdo simple.

4 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 Se define integrl de contorno de f lo lrgo de : z z 1 f ( z) = f ( z) z f ( z) Donde: z = z( ) y z = z( ) sore 1) Linelidd ( α + β ) = α + β. f ( z) f ( z) f ( z) f ( z) ) Aditividd f ( z) = f ( z) + f ( z) = = f ( z) z + f ( z) z : z = z t c; : z = z c t c c )Inversión de l orientción f ( z) = f ( z) Se f : D f continu en D. Si un de ls firmciones es verdder lo son tmién ls otrs dos. ) f tiene primitiv F en D 4) Se : contorno y L : longitud del contorno f ( z) contínu por trmos sore. f ( z) M sore entonces : f ( z) M. L 15 ) Ddos los puntos z, z D : f ( z) = f ( z) γ1 γ pr todo pr de contornos γ, γ con origen en z y extremo finl en z c) L integrl de contorno: f ( z) = c Pr todo contorno cerrdo γ D.. γ 16 4

Si un de ls firmciones es verdder lo son tmién ls otrs dos. ) f tiene primitiv F en D 4) Se : contorno y L : longitud del contorno f ( z) contínu por trmos sore.

5 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 ) f tiene primitiv F en D ) l integrl es independiente de l tryectori. Se : Arco suve d F [ z ( t )] = F [ z ( t )] z ( t ) t f ( z) = f ( z) z = F[ z( )] F[ z( )] = F( z ) F( z 1 ) Se : contorno formdo por un número finito de rcos suves: c k (k=1,,., n-1) n 1 n 1 k = 1 k = 1 k 1 [ ] f ( z) = f ( z) = F( z F( z ) = F( z ) F( z ) n k + 1 k Por Hipótesis: : f ( z) = f ( z) f ( z) = f ( z) + f ( z) contorno : z = x + iy t z = x + iy continu Se f ( z) = u( x, y) + iv( x, y) continu por trmos f ( z) = f ( z) z = ( ux vy ) + i ( vx + uy ) f ( z) = ( udx vdy) + i ( vdx + udy)

6 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 Que relción tiene cd integrl con ls integrles en R? omo definieron integrles de líne en R? Que ejemplo de integrl de líne en R vieron? Que decí el teorem de Green en R? contorno cerrdo simple : z = x + iy t z = x + iy continu Se f ( z) = u( x, y) + iv( x, y) continu por trmos sore f ( z) = f ( z) z = ( ux vy ) + i ( vx + uy ) f ( z) = ( udx vdy) + i ( vdx + udy) 1 Sen P(x,y) y Q(x,y) funciones esclres, P : D RxR R Q : D RxR R P, Q y sus derivds prciles son continus en l región cerrd R formd por el contorno cerrdo simple y los puntos interiores. : contorno cerrdo simple positivmente orientdo. Q( x, y) P( x, y) ( P( x, y) dx + Q( x, y) ) dy = dx. dy x y R : contorno cerrdo simple. Se f(z) nlític sore y en los puntos interiores. f (z) continu (Hipótesis dicionl). f ( z ) =

contorno cerrdo simple : z = x + iy t z = x + iy continu Se f ( z) = u( x, y) + iv( x, y) continu por trmos sore f ( z) = f ( z) z = ( ux vy ) + i ( vx + uy ) f ( z) = ( udx vdy) + i ( vdx + udy) 1

7 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 f ( z) = ( udx vdy) + i ( vdx + udy) f (z) nlític entonces f(z) es continu. Siendo f(z) es continu: u y v son continus f (z) continu entonces: ls primers derivds prciles de u y v son continus. Teorem de Green: Puedo plicr Teorem de Green? Por lo tnto Aplicndo teorem de Green f ( z) = ( v u ) dxdy + i ( u v ) dxdy y x x y R R Siendo f(z) nlític stisfce ls ec. -R, y por lo tnto: f ( z ) = : contorno cerrdo simple. Se f(z) nlític sore y en los puntos interiores. f ( z ) = 0 No utiliz l condición de continuidd de l derivd pr demostrrlo. 7 onjunto conexo: ómo se define? Dominio: ómo se define? Dominio simplemente conexo D: es un Dominio tl que pr todo contorno cerrdo simple dentro de él encierr sólo puntos de D Dominio múltiplemente conexo: un dominio que no es simplemente conexo. 8 7

Por lo tnto Aplicndo teorem de Green f ( z) = ( v u ) dxdy + i ( u v ) dxdy y x x y R R Siendo f(z) nlític stisfce ls ec. -R, y por lo tnto: f ( z ) = 0 5 6 : contorno cerrdo simple.

8 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 Se f(z) nlític en un dominio simplemente conexo D. contorno cerrdo contenido en D. f ( z ) = 0 Si es contorno cerrdo simple: por Teorem de uchy-gourst l integrl es cero. Si es contorno cerrdo: :... n Donde cd k es un contorno cerrdo simple, plico en cd uno el teorem. 1 ontorno cerrdo no es simple 9 30 Si f : D es nlític en D:dominio simplemente : contorno cerrdo positivmente orientdo. conexo, entonces: f ( z) tiene primitiv. k (k=1,,,n) denot un número finito de contornos cerrdos orientdos positivmente interiores y cuyos interiores no tienen puntos en común. Si f(z) nlític en l región cerrd formd por los ver demostrción puntos interiores o del propio, excepto en puntos interiores k. n f ( z) = f ( z) k = 1 k

1 ontorno cerrdo no es simple 9 30 Si f : D es nlític en D:dominio simplemente : contorno cerrdo positivmente orientdo. conexo, entonces: f ( z) tiene primitiv.

9 Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 Teorem : (otro enuncido) Se D un dominio multiplemente conexo y se f nlític en D. : contorno cerrdo positivmente orientdo en D. k (k=1,,,n) denot un número finito de contornos cerrdos orientdos positivmente interiores en D y cuyos interiores no tienen puntos en común. n Se R un región en D cuy fronter es: R = k n f ( z) = f ( z) k = 1 k k = 1 Sen 1 y contornos cerrdos simples positivmente orientdos donde es interior 1. Si f(z) es nlític en l región que formn los dos contornos y los puntos situdos entre ellos, entonces: f ( z) = f ( z)

k (k=1,,,n) denot un número finito de contornos cerrdos orientdos positivmente interiores en D y cuyos interiores no tienen puntos en común.

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