(a;b] = {x / x R a x b}

Transcripción

1 Intervlos y Entornos L geometrí nlític estlece un correspondenci entre puntos de un rect y números reles, de tl form que cd número rel le corresponde un punto de l rect y cd punto de l rect un único número rel. L rect recie el nomre de rect rel o espcio de un dimensión y los términos punto o número rel se usn indistintmente. En l representción gráfic se indic un punto origen sore l rect que corresponde l 0 y otro punto su derec pr representr el 1, con lo cul qued estlecid l escl. L relción de orden definid en R se interpret geométricmente considerndo que si >, entonces el punto está l derec del punto. 0 1 Est correspondenci entre puntos y números reles fcilit l interpretción de mucs demostrciones y constituye un uxilir poderoso pr su comprensión. Sin emrgo, dee tenerse en cuent que, si ien culquier representción gráfic es fuente de clridd, en ningun demostrción tiene vlidez l utilizción de recursos gráficos purmente intuitivos. A continución se considern lguns definiciones útiles. Intervlos Siendo < : 1) Intervlo cerrdo [;] es el conjunto de números reles formdo por, y todos los comprendidos entre mos: [;] = {x / x R x } L longitud del intervlo [;] es el número positivo. 2) Intervlo ierto (;) es el conjunto de números reles comprendidos entre y : (;) = {x / x R x } L longitud de (;) es tmién el número positivo. 3) Intervlo semiierto izquierd o semicerrdo derec (;] es el conjunto de números reles formdo por y los números comprendidos entre y : (;] = {x / x R x } Análogmente se define el intervlo [;). Tmién, longitud de (;] = longitud de [;) =. Ls definiciones nteriores se pueden generlizr cosiderndo l semirrect y l rect como intervlos no cotdos, lo que se expres utilizndo los símolos y. Estos símolos deen ser considerdos con especil tención, recordndo que se usn solmente por convenienci de notción y nunc como números reles. c d [; ) = x / x (; ) = x / x ( ;c] = x / x c ( ;d] = x / x d ( ; ) = x / x R R

2 Entorno Si es un punto culquier de l rect rel y un número positivo, entorno de centro y rdio es el intervlo ierto (-;+). Se lo design E(,). E ; x / x ó E ; x / x + Los entornos suelen designrse indicndo solmente el centro, por ejemplo, E(). Entorno Reducido Si es un punto culquier de l rect rel y es un número rel positivo, entorno reducido de centro y rdio es el conjunto de puntos del intervlo ierto (-;+) del cul se excluye el centro. Se lo design E (,) ó E (). E ; x / x x ó E ; x / 0 x + Osérvese que exigir 0 x equivle exigir x, pues x 0 x. Punto de Acumulción Si C es un conjunto de puntos de l rect rel, un punto de es punto de cumulción de C si todo entorno reducido de pertenece por lo menos un punto de C. el punto puede pertenecer o no l conjunto C, pero l definición exige que en culquier entorno del punto exist por lo menos un punto de C distinto del punto. Es decir:

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4 Conjunto Cerrdo Un conjunto l cul le pertenecen todos sus puntos de cumulción se denomin cerrdo. Es decir, un conjunto es cerrdo si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de cumulción. C cerrdo :( punto de cumulción de C C ) El conjunto R de los números reles es cerrdo, pues le pertenecen todos sus puntos de cumulción que son los números reles. Un intervlo cerrdo es, como su nomre lo indic, un conjunto cerrdo. Puede prorse fácilmente que culquier conjunto que no tiene puntos de cumulción es un conjunto cerrdo. En efecto, se C un conjunto culquier que no tiene ningún punto de cumulción. De cuerdo con l definición, pr que C se un conjunto cerrdo dee ser verdder l siguiente implicción: Si es un punto de cumulción de C, entonces pertenece C. Pero el ntecedente de est implicción es flso, pues C no tiene ningún punto de cumulción. Luego, l implicción es verdder, pues culquier implicción con ntecedente flso es verdder. Por lo tnto, el conjunto N y el conjunto Z, que no tienen puntos de cumulción, son conjuntos cerrdos. Negción Un conjunto no es cerrdo si y sólo si tiene un punto de cumulción que no le pertenece. C no es cerrdo / ( punto de cumulción de C C ) El conjunto Q de los números rcionles no es cerrdo, pues sus puntos de cumulción son los números reles y, de éstos, los irrcionles no pertenecen Q. Es decir, Q no es cerrdo, pues, por ejemplo 2 es un punto de cumulción de Q y 2 Q. El intervlo semiierto ;. ; no es cerrdo, pues es punto de cumulción de ; y Conjunto Denso en sí Un conjunto es denso en sí si y sólo si todos sus puntos son de cumulción. Es decir, C denso en sí :( C punto de cumulción de C) :( C C ) Por lo tnto, un conjunto es denso en sí si y sólo si está incluido en su conjunto derivdo: C denso en sí C C El conjunto R de los números reles es denso en sí, pues todos sus puntos son de cumulción. El conjunto Q de los números rcionles tmién es denso en sí, pues todos sus puntos son de cumulción. N y Z no lo son, pues ninguno de sus puntos es de cumulción. Conjunto Perfecto Un conjunto es perfecto si y sólo si es cerrdo y denso en sí. Es decir, un conjunto es perfecto si es igul su conjunto derivdo.

5 En efecto, si C es cerrdo, entonces su derivdo está incluido en él, y si C es denso en sí, entonces su derivdo lo incluye. Por lo tnto, C C C C. Luego, C C R es un conjunto perfecto, pues R = R. Un intervlo cerrdo es un conjunto perfecto, pues ; ; Q no es perfecto, pues es denso en sí pero no es cerrdo. Z y N no son perfectos, pues son cerrdos pero no son densos en sí.