Funciones trigonométricas
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- Alicia Belmonte Cortés
- hace 6 años
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1 Funciones trigonométrics Por Sndr Elvi Pérez Márquez Ls funciones trigonométrics son funciones de l medid de un ángulo, es decir, si el vlor del ángulo cmi, el vlor de ésts tmién. L tl 1 muestrs ls seis funciones trigonométrics. Función Su form Se lee trigonométric revid Seno sen ( Seno de A Coseno cos ( Coseno de A Tngente tn ( Tngente de A Cotngente cot ( Cotngente de A Secnte sec ( Secnte de A Cosecnte csc ( Cosecnte de A Tl 1. Nomre de ls funciones trigonométrics. Ls funciones trigonométrics, l igul que el teorem de Pitágors, son relciones existentes entre los ldos de un triángulo rectángulo que permiten determinr el vlor de los ángulos del triángulo y, con el poyo del teorem de Pitágors, tmién los ldos desconocidos. Pr el cso de ls funciones trigonométrics, diferenci del teorem de Pitágors en donde no es relevnte identificr con detlle los ctetos, cd uno de los ldos y los ángulos del triángulo rectángulo tomn un nomre específico de cuerdo l ángulo que se tome como referenci. L figur 1 muestr un triángulo rectángulo en donde: 1
2 1. Los ángulos se identificn con ls literles A y B (myúsculs).. Los ldos (ctetos) se identificn con ls literles y (minúsculs). 3. Los ángulos y ldos opuestos se identificn con l mism letr. Figur 1. Denominción de los ldos y ángulos en un triángulo. En este triángulo, es importnte oservr que: Pr el ángulo A, el cteto opuesto es y el cteto dycente (o contiguo) es. Pr el ángulo B, el cteto opuesto es y el cteto dycente (o contiguo) es. L siguiente tl, muestr con detlle lo nterior, dependiendo del ángulo que se tome de referenci. Ángulo de referenci A Ángulo de referenci B Hipotenus: es el ldo que se encuentr frente l ángulo de 90 y se denot por. Cteto opuesto: es el ldo que se encuentr frente l ángulo que se está tomndo como referenci; en este cso, es el cteto opuesto. Cteto dycente: es el ldo que se encuentr junto l ángulo que se está tomndo como referenci; en este cso es el cteto dycente. Hipotenus: es el ldo que se encuentr frente l ángulo de 90 y se denot por. Cteto opuesto: es el ldo que se encuentr frente l ángulo que se está tomndo como referenci; en este cso, es el cteto opuesto. Cteto dycente: es el ldo que se encuentr junto l ángulo que se está tomndo como referenci; en este cso, es el cteto dycente. Tl. Denominción de los ctetos conforme l ángulo tomdo como referenci.
3 Tomndo como se lo nterior, pr todo triángulo rectángulo, ls funciones trigonométrics se definen como sigue: Tl 3. Funciones trigonométrics y l relción con los ldos de un triángulo. 3
4 Aplicndo ests definiciones los dos ángulos de referenci en un triángulo rectángulo tenemos: Ángulo de referenci A Ángulo de referenci B A = A = A = A = A = sen ( = ( B) sen = cos ( ) cos( ) B = tn ( ) tn( ) B = cot ( ) cot( ) B = sec ( ) sec( ) B = csc ( ) csc( ) B = Tl 4. Funciones trigonométrics conforme l ángulo tomdo como referenci. A continución se presentn lgunos ejemplos que muestrn cómo clculr ls funciones trigonométrics y cómo utilizrls pr determinr dtos del triángulo no conocidos. Donde se necesrio, se utilizrán ls reviciones pr denominr l ipotenus, co pr el cteto opuesto y c pr el cteto dycente 4
5 Ejemplo 1 Pr el triángulo rectángulo mostrdo en l siguiente figur, determin ls 6 funciones trigonométrics tomndo como referenci el ángulo A. Figur. Triángulo tomndo como referenci el ángulo A. Solución Lo primero es identificr el cteto opuesto y el cteto dycente, pr este cso el cteto opuesto es = 3 y el cteto dycente es = 4. Prtiendo de l definición de l funciones trigonométrics tienes que: co 3 sen( 5 c 4 cos( 5 co 3 tn( c 4 c 4 cot( co 3 5 sec( c 4 5 csc( co 3 Ejemplo Pr el triángulo rectángulo de l figur 3, determin ls 6 funciones trigonométrics tomndo como referenci el ángulo B. Figur 3. Triángulo tomndo como referenci el ángulo B. Solución Lo primero es identificr el cteto opuesto y el cteto dycente. Pr este cso el cteto opuesto es = 4 y el cteto dycente es = 3. Prtiendo de l definición de l funciones trigonométrics tienes que: 5
6 co 4 sen( B) 5 c 3 cos( B) 5 co 4 tn( B) c 3 c 3 cot( B) co 4 5 sec( B) c 3 5 csc( B) co 4 Oserv cómo en los ejemplos 1 y, unque se nlizó el mismo tringulo, ls funciones trigonométrics son distints pr cd ángulo de referenci (A o B). Ejemplo 3 A prtir de l función trigonométric tn( 5 0 determin ls funciones trigonométrics fltntes. Solución Recuerd que l función tngente se define como: De est relción se puede otener que cteto opuesto =15 y cteto dycente = 0 Y que: Si se represent en un triángulo rectángulo, puedes oservr que ce flt clculr el vlor de l ipotenus, pr ello puedes utilizr el teorem de Pitágors. = + 6
7 Sustituyendo los dtos conocidos: Figur 4. Triángulo conocidos dos ctetos. 5 = = = 65 = 5 Un vez que tienes el vlor de todos los ldos del triángulo, puedes estlecer ls 6 funciones trigonométrics como se muestr continución. co 15 sen( 5 c 0 cos( 5 co 15 tn( c 0 c 0 cot( co 15 5 sec( c 0 5 csc( co 15 Funciones trigonométrics recíprocs Hs notdo l similitud existente entre lguns funciones trigonométrics?, cuáles son similres? Oserv l función tngente y l función cotngente, en qué son precids? Si se considern los resultdos del ejemplo nterior, puedes oservr lo siguiente: Tngente co tn( F) c Cotngente c cot( F) co Al oservr ests funciones trigonométrics, se puede precir que son recíprocs entre sí. Si no lo recuerds, dos números son recíprocos si l multiplicrse son igules l unidd. Multipliquemos l tngente y l cotngente pr verificr su reciprocidd. 7
8 recíproc de GPT-04_M1AAL_Funciones = ( 5)( 119) ( 119)( 5) Tl 5. Tngente y cotngente. En l tl 6 se muestr l reciprocidd que existe entre ls funciones trigonométrics. Funciones trigonométrics Esto implic que: Tl 6. Funciones trigonométrics recíprocs. Conocer que ls funciones trigonométrics son recíprocs en prejs, es de utilidd cundo se quiere determinr el vlor de ls funciones cotngente, secnte y cosecnte, usndo un clculdor científic. En los ejemplos nteriores se determinó el vlor de ls funciones trigonométrics medinte ls relciones de los ldos de un triángulo rectángulo. Cundo se conocen los ángulos del triángulo, se puede utilizr un clculdor científic pr clculr ls funciones trigonométrics. Oserv el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Pr el triángulo rectángulo mostrdo en l siguiente figur, determin ls 6 funciones trigonométrics pr el ángulo de 30º. Figur 5. Triángulo conocidos dos ángulos. 8
9 Solución Ls clculdors científics incluyen ls funciones trigonométrics seno, coseno, tngente. Pr clculrls se puls l tecl correspondiente con l función trigonométric clculr y el vlor del ángulo. Clcul ls funciones trigonométrics utilizndo l clculdor científic. Pr ello, te recomiendo utilizr l clculdor científic UVEG. Si no ses cómo cceder ell z clic en Apoyo 1.Guí pr cceder l Clculdor UVEG, loclizdo en l prte derec de tu pntll en l sección Recursos, en el áre de Lecturs. Posteriormente reliz ls siguientes operciones: Clculr el vlor de sen (30º ) cos( 30º ) tn( 30º ) Si ls clculdors científics sólo considern ls funciones nteriores, cómo clculrás ls tres funciones restntes? Regres ls relciones de reciprocidd. sen ( csc( cos( A ) sec( tn( A ) cot( Utilizndo ls expresiones nteriores y los vlores otenidos de ls funciones trigonométrics en l clculdor (seno, coseno y tngente) se pueden otener los vlores de ls funciones reciprocs del ángulo de 30º. Pr otener el vlor de csc( 30º) Utilizmos Despejndo y sustituyendo Vlor otenido sen ( 30º) = 0.5 y sen ( csc( Como sen ( está multiplicndo ps dividiendo l 1, sí l fórmul despejd es: 1 csc( A ) = sen( Sustituyendo: csc( 30º) = 1 1 csc( 30º) = sen (30º) 0.5 9
10 sec( 30º) cos( 30º) = y cos( A ) sec( Como cos(a ) está multiplicndo ps dividiendo l 1, sí l fórmul despejd es: 1 sec( A ) = cos( Sustituyendo: csc( 30º).154 cot( 30º) tn( 30º) = y tn( A ) cot( 1 1 sec( 30º).154 cos(30º) Como tn( A ) está multiplicndo ps dividiendo l 1, sí l formul despejd es: 1 cot( A ) = tn( Sustituyendo: cot( 30º ) = cot( 30º).73 tn(30º) Tl 7. Funciones reciprocs del ángulo de 30º. Como se pudo oservr en el ejemplo nterior, ls funciones trigonométrics se pueden clculr utilizndo un clculdor científic. Pero deido que estos prtos contempln solmente ls funciones seno, coseno y tngente, pr continur con los triángulos rectángulos, centrremos nuestro estudio en ests tres funciones trigonométrics. Otención de los dtos desconocidos en un triángulo rectángulo En mucs ocsiones, sólo se conocen lgunos dtos de un triángulo rectángulo pero con est informción y plicndo el teorem de Pitágors y ls funciones trigonométrics, es posile determinr los dtos que fltn. En los siguientes ejemplos se muestrn lguns de ls situciones ntes mencionds.
11 Ejemplo 1 Pr el triángulo rectángulo mostrdo en l siguiente figur, determin el vlor de los ángulos A y B. Figur 6. Triángulo del cul se conocen 3 ldos. Solución Como se conocen todos los ldos del triángulo, es posile utilizr culquier de ls funciones trigonométrics. Si utilizs l función seno y se tom de referenci el ángulo A, otendrás: A prtir de l función: sen( = sen( = A = sen 1 = sen (0.4961) = 9.74º Recordndo que l sum de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, B 80º ( º) B = 60.5º Ejemplo Pr el triángulo rectángulo mostrdo en l siguiente figur, determin el vlor de los dtos que fltn. Figur 7. Triángulo del cul se conoce 1 ldo y un ángulo.
12 Solución A diferenci del ejemplo nterior y deido que sólo se conoce el ángulo B = 50º y su ldo opuesto, es necesrio decidir qué función trigonométric utilizr. Oserv que no es posile l función coseno porque se desconoce tnto el cteto opuesto como el cteto dycente pero sí es posile plicr l función seno y l función tngente. Si plics l función seno, tienes: sen( 50º ) = 6 Si despejs de est expresión, tienes que: = 6 sen(50º ) = Aor que y se conoce l ipotenus es posile clculr el ldo utilizndo el teorem de Pitágors. = = Finlmente, encuentr el ángulo A. A + 50º = 90º A = 90º 50º A = 40º Los ejemplos nteriores muestrn cómo plicndo ls funciones trigonométrics y el teorem de Pitágors se puede encontrr todos los dtos de un triángulo rectángulo.
13 Biilogrfí Clemens, S., OʼDffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometrí. (Addison- Wesley Ieromericn, l López Mteos, M. Trd.). México: Person. Fuenlrd, S. (007). Geometrí y trigonometrí (3ª. ed.). México. McGrw-Hill. Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometrí (3ª. ed., Villgómez, H. Trd.). México: Tomson. Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (00). Geometrí y Trigonometrí. (3ª. ed., Villgómez, H. y Romo, J. H. Trd.). México: Tomson.
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