AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA

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Raúl Casado Godoy
hace 6 años
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1 Alonso Fernández Glián 1. EL TEOREMA DEL SENO AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA 1.1. OTRA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO 1.. MEDIDA DE UN ÁNGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 1.3. UN COROLARIO DEL TEOREMA DEL SENO. ALGUNAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS MÁS.1. PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS.. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS

2 Mtemátics I 1. EL TEOREMA DEL SENO Recordemos que el Teorem del Seno firm que, en culquier triángulo, los ldos son proporcionles los senos de los ángulos opuestos: sen A = b sen B = c sen C Vmos ver un demostrción distint de l vist en clse OTRA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO Primero demostremos el siguiente resultdo. Áre de un triángulo. El áre de un triángulo culquier es igul l producto de dos de los ldos por el seno del ángulo que formn y dividido entre. (y lo mismo pr el resto de ldos). b c sen A S = Demostrción: Según l figur, áre del triángulo es: S = bse ltur = c h Por otro ldo, como sen A = h/b, se tiene que h = b sen A. Por lo tnto: S = c h = c b sen A que es lo que querímos demostrr. Y estmos en disposición de ver l demostrción lterntiv del Teorem del Seno. Demostrción del Teorem del Seno. Según cbmos de ver, el áre del triángulo ABC es igul culquier de ls siguientes expresiones b c sen A c sen B b sen C S = S = S = Igulndo: b c sen A c sen B b sen C = = Ahor multiplicmos por pr cncelr denomindores y luego dividimos entre b c. b c sen A c sen B b sen C = = b c b c b c Simplificndo obtenemos: sen A sen B sen C = = b c Que es l relción que buscábmos, pero escrit con los cocientes invertidos. - -

3 Amplición de trigonometrí 1.. MEDIDA DE UN ÁNGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA Vmos demostrr un importnte resultdo de geometrí que necesitremos más delnte. Ángulo inscrito y ángulo centrl. Consideremos un circunferenci de centro O. -Un ángulo centrl es un ángulo que tiene el vértice en el centro de l circunferenci. -Un ángulo inscrito es un ángulo que tiene el vértice sobre l circunferenci y cuyos dos ldos cortn l mism. Ángulo centrl: Ángulo inscrito: Medid del ángulo inscrito. Queremos demostrr el siguiente resultdo: L medid de un ángulo inscrito en un circunferenci es l mitd de l medid del ángulo centrl que brc el mismo rco de circunferenci. Demostrción: Vmos seprr l demostrción en tres csos, dependiendo de si el centro de l circunferenci, O, está en uno de los ldos del ángulo α o bien dentro o fuer del ángulo. i) Supongmos en primer lugr que O está en uno de los ldos de α. El triángulo AOQ es isósceles, pues los ldos AO y OQ son igules entre sí por ser igules l rdio. Por tnto, los ángulos α y α tmbién son igules entre sí. Como los tres ángulos de un triángulo sumn 180º, tenemos: α + γ = 180 Como demás β y γ sumn un ángulo llno tenemos: β + γ = 180 Restndo deducimos que α β = 0, es decir, que α = /β, como querímos demostrr. ii) Supongmos hor que O está dentro del ángulo α. En tl cso podemos dividir el ángulo α medinte un segmento que pse por O y plicr el rzonmiento nterior en los triángulos AOQ y AOP. [ ] - 3 -

4 Mtemátics I De quí deducimos: y α 1 = β 1 α = β Si hor summos, como α = α 1 + α y β = β 1 + β, se obtiene: α = β iii) Finlmente, en el cso de que el centro O esté fuer del ángulo α, unimos el vértice A con el O y prolongmos el segmento hst que corte l circunferenci. Si hor escribimos α como α = α 1 α y β como β = β 1 β y repetimos los rgumentos nteriores obtendremos el resultdo desedo. Según esto, dos ángulos inscritos que brquen el mismo rco deben ser igules. El teorem de Tles pr triángulos inscritos en un semicircunferenci. A prtir del resultdo nterior se demuestr fácilmente el siguiente teorem, que tmbién puede demostrrse directmente. Si en un triángulo inscrito en un circunferenci uno de sus ldos coincide con el diámetro, entonces el ángulo contrrio es recto, de mner que el triángulo es un triángulo rectángulo. (Not: Un triángulo está inscrito en un circunferenci si tiene sus tres vértices en l mism). Demostrción: El ángulo opuesto l diámetro, C, brc un el mismo rco que el ángulo llno AOB. Como este ángulo mide 180, y según cbmos de demostrr, debe cumplirse que C = 180 / =

5 Amplición de trigonometrí 1.3. UN COROLARIO DEL TEOREMA DEL SENO Ahor y estmos en disposición de enuncir y demostrr el resultdo que buscábmos: En un triángulo ABC, los tres ldos son proporcionles los ldos de los ángulos opuestos. Además, l constnte de proporcionlidd es dos veces el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo. sen A = b sen B = c sen C = r Demostrción: Y hemos demostrdo el Teorem del Seno. Flt demostrr que l constnte de proporcionlidd es r. Pr ello consideremos l circunferenci circunscrit l triángulo, y unmos el vértice C con el punto situdo dimetrlmente enfrente de él, D. Observmos que el ángulo D es igul l ángulo A, pues mbos ángulos brcn el mismo ángulo. Así, tenemos: sena = BC send Aplicndo el teorem del seno en el triángulo DBC obtenemos: BC CD senb Como el ldo CD coincide con el diámetro CD = r, el ángulo frente él debe ser un ángulo recto (por el teorem de Tles), B = 90. Por tnto, recpitulndo tenemos: sena = Que es lo que querímos demostrr. BC CD senb = r sen 90 = r 1 = r Ejemplo: En un triángulo conocemos = 1 cm, A = 60 y B = 75 Clcul los demás elementos del triángulo, sí como el rdio de l circunferenci circunscrit l mismo. Los ángulos de un triángulo sumn 180. C? C = 180 A B = 45 Aplicmos el teorem del seno pr clculr l longitud de los ldos. b? c? sen A = b sen B sen A = c sen C sen B b = sen A sen C c = sen A Clculemos hor l longitud del rdio: 13,38 cm = 4ξ6 9,80 cm sen A = r r = sen A = 1 = 4ξ3 cm ξ3/ - 5 -

6 Mtemátics I. ALGUNAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS MÁS Vmos hor ver vris identiddes útiles pr el mnejo de ecuciones trigonométrics..1. PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS Recordemos ls fórmuls del seno y el coseno de l sum y l diferenci de ángulos: [1] sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β [3] sen(α β) = sen α cos β cos α sen β [] cos(α + β) = cos α cos β sen αsen β [4] cos(α β) = cos α cos β + sen αsen β Sumndo [1] y [3] se deduce: [5] sen(α + β) + sen(α β) = sen α cos β sen α cos β = 1 [sen(α + β) + sen(α β)] Restndo [1] y [3] se deduce: [6] sen(α + β) sen(α β) = cos α sen β cos α sen β = 1 [sen(α + β) sen(α β)] Sumndo [] y [4] se deduce: [7] cos(α + β) + cos(α β) = cos α cos β cos α cos β = 1 [cos(α + β) + cos(α β)] Restndo [] y [4] se deduce: [8] cos(α + β) cos(α β) = sen αsen β sen αsen β = 1 [cos(α + β) cos(α β)] Vemos un ejemplo tonto: Ejemplo: Clculr el producto sen 30 sen 60 utilizndo ls fórmuls nteriores: sen 30 sen 60 = 1 [cos( ) cos(30 60 )] = = 1 [cos 90 cos( 30) ] = 1 ξ3 ቈ0 = ξ3 4 Podemos comprobr operndo directmente: sen 30 sen 60 = 1 ξ3 = ξ3 4 Ests fórmuls son útiles, por ejemplo, l hor de integrr funciones trigonométrics

Amplición de trigonometrí.. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS Ls fórmuls del prtdo nterior permiten convertir productos de senos y cosenos en sums o rests de los mismos.

7 Amplición de trigonometrí.. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS Ls fórmuls del prtdo nterior permiten convertir productos de senos y cosenos en sums o rests de los mismos. En ocsiones conviene, por el contrrio, convertir sums o rests de senos y cosenos en productos. Pr ello prtimos de ls siguientes fórmuls, que hemos obtenido en el proceso nterior: [5] sen(α + β) + sen(α β) = sen α cos β [6] sen(α + β) sen(α β) = cos α sen β [7] cos(α + β) + cos(α β) = cos α cos β [8] cos(α + β) cos(α β) = sen α sen β Ahor, hcemos que α + β y α β sen los ángulos con los que queremos trbjr: { A = α + β B = α β Despejndo α y β el sistem nterior, por ejemplo por reducción, se obtiene: α = A + B Ahor sustituimos en ls fórmuls [5] [8]. sena + senb = sen A + B sena senb = cos A + B cos A + cos B = cos A + B β = A B cos A B sen A B cos A B cos A cos B = sen A + B sen A B Ests fórmuls se usn pr mnipulr expresiones con ls funciones seno y coseno. Tmbién, permiten resolver de form rápid lguns ecuciones trigonométrics. Ejemplo: Resuelve l siguiente ecución: sen(x + 60 ) + sen(x 60 ) = 1 Vmos convertir l sum de senos en un producto: sen (x + 60 ) + (x 60 ) cos (x + 60 ) (x 60 ) = 1 Ahor quitmos los préntesis y resolvemos l ecución: sen x 60 cos = 1 sen x cos 60 = 1 sen x = 1 x = k 1 sen x = 1-7 -

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