Cálculo de volúmenes II: Método de los casquetes cilíndricos

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1 Sesión 6 II: Método de los csquetes cilíndricos Tems Método de los csquetes cilíndricos pr clculr volúmenes de sólidos de revolución. Cpciddes Conocer y plicr el método de los csquetes esféricos pr clculr volúmenes de sólidos de revolución. 6. Introducción Sólido l girr en torno l eje Y En muchs ocsiones, l girr en torno l eje Y, un región del plno, el cálculo del volumen del sólido engendrdo result bstnte complicdo. Tl es el cso, por ejemplo, si l función en cuestión es y = x 3 +4x 3x+. Por qué?. Pr ests situciones, en est sesión se revis un método que simplific considerblemente l resolución del problem plntdo. Este método se denomin: método de los csquetes cilíndricos. Not 6. L myor prte de ls ilustrciones y ejemplos de est sesión se hn tomdo de Volúmenes por csquetes cilíndricos, del profesor Aquiles Pármo Fonsec. Web: cilindricos/ 5

2 Sesión 6 Not 6. Antes de bordr el método de los csquetes cilíndricos, se ve el siguiente resultdo previo. Lem 6. El volumen, V cc, de un csquete cilíndrico de ltur h, de rdio interior r y de rdio exterior es r, viene ddo por ( ) r + r V cc = π (r r )h Demostrción: Restndo l volumen V del cilindro exterior el volumen V del cilindro interior, se tiene que: V cc = V V = πr h πr h = π(r ( + r )(r r )h r + r = π ) (r r )h Csquete cilíndrico Not 6.3 Designdo r = r +r y r = r r, se puede escribir V cc = πrh r. Est expresión, es más fácil de recordr, si se piens en el csquete esférico briéndose pr formr un cj rectngulr (prlelepípedo) de grosor r. Csquete cilíndrico equivlente un cj rectngulr Teorem 6. (Método de los csquetes cilíndricos) El volumen, V, del sólido de revolución S generdo l girr en torno l eje Y, l región R delimitd por l gráfic de l función y = f(x) no negtiv y continu, ls rects x =, x = b y el eje X, viene ddo por V = π xf(x) dx (6.) Instituto de Mtemátic y Físic 6 Universidd de Tlc

3 Sesión 6 Demostrción: Supongmos que el gráfico de R y el correspondiente sólido de revolución S, l girr R, en torno l eje Y son: Gráfico de R Siguiendo el mismo procedimiento de l demostrción del Teorem 4., se divide el intervlo [, b] en n subintervlos de igul longitud x = b. Se elige en cd n subintervlo el punto del medio x i. Cd rectángulo de bse x y ltur f(x i ) se gir en torno l eje Y, formndo cd uno de ellos un csquete cilíndrico. El volumen del i-ésimo csquete cilíndrico, luego del lem precedente, es V i = πx i f(x i ) x, luego vol(s) V n = V i = i= πx i f(x i ) x i= V i : csquete esférico l girr el i-ésimo rectángulo en torno l eje Y Por lo tnto, Not 6.4. V n : csquetes esféricos l girr todos los rectángulos torno l eje Y (n = ) vol(s) = lim n V n = lim n i= V i = lim n πx i f(x i ) x = π i= xf(x) dx Instituto de Mtemátic y Físic 7 Universidd de Tlc

4 Sesión 6 ) Un mner de recordr mejor el resultdo (6.) es: V = π dist. de x i l eje de rotción ltur del rectángulo i-esimo dx }{{}}{{} x f(x) ) Luego, si se hce girr l región R en torno l rect verticr x = k (que se encuentr, por ejemplo, l derech de b), el volumen es V = π (k x)f(x) dx (6.) 3) En cso que l rotción se en torno l eje Y, l fórmul del volumen del sólido de revolución obtenido, por el método de los csquetes cilíndricos, es V = π d c y g(y) dy (6.3) Ejemplo 6. Clculr el volumen del sólido de revolución S que se gener l hcer girr lrededor del eje Y l región R comprendid, en el primer cudrnte, entre los gráficos de y = f(x) = x 3 + 4x 3x + y l verticl x = 3. Solución: Gráfico de l región R Luego, vol(s) = π 3 0 x( x 3 + 4x 3x + )dx = 99π 5 6. (u. de long.)3 Instituto de Mtemátic y Físic 8 Universidd de Tlc

5 Sesión 6 Ejemplo 6. Hllr el volumen del sólido de revolución S que se gener l girr, lrededor del eje Y, l región R cotd por los gráficos de y = f(x) = x + 4x 3, y = g(x) = x 3 6x + x 5 y por ls rects verticles x = y x = 3. Solución: Gráfico de l región R Ahor bien, el volumen pedido viene ddo por: vol(s) = π = π 3 3 x(g(x) f(x))dx (x 4 5x 3 + 8x x)dx = 9π (u. de long.)3 Ejemplo 6.3 Clculr el volumen del sólido S que se gener l girr lrededor de l rect verticl x =, l región R delimitd por el eje X, ls rects x =, x = 3, y el gráfico de y = f(x) = x x. Solución: Gráfico de l región R Instituto de Mtemátic y Físic 9 Universidd de Tlc

6 Sesión 6 En l situción plnted el rdio medio de un csquete cilíndrico genérico, que tiene como ltur f(x), es x y no x como en los csos nteriores, puesto que el csquete cilíndrico tiene como eje de rotción l rect verticl x =. Luego, el volumen del sólido S es: vol(s) = π 3 (x )( x x)dx = (6 3)π (u. de long.) 3 Ejercicio 6. Presentr l fórmuls de los volumenes de los sólidos de revolución obtenidos con el método de est sesión, l girr l región en torno l rect indicd: () (b) (c) (d) Ejercicio 6. Clculr, de ser posible, usndo el método de los csquetes cilíndricos, los volúmenes de los sólidos de revolución, considerdos en ls ctividdes de utoevlución de l sesión precedente. Soluciones: Un porte de Muricio Echeverri Cndi (0-) Instituto de Mtemátic y Físic 0 Universidd de Tlc

7 Sesión 6 ) V = π 3) V 3 = π 5) V 5 = π 7) V 7 = π 9) V 9 = π ) V = π 0 (y)(y) dy = 3 π ) V = π ( x)( x) dy = 5 3 π 4) V 4 = π (y)( y y) dy = 5 π ( x)(x x ) dx = π (y)( y) dy = 5 π 0 6) V 6 = π 8) V 8 = π 0) V 0 = π (( x)(x ) dx = 5 6 π ) V = π 6. Autoevlución 0 (x)( x) dx = 3 π (y + )(y) dy = 5 3 π (x)(x x ) dx = 6 π (y + )( y y) dy = 7π 5 0 (x)(x ) dx = π (y + )( y) dx = 3 5 π Usr el método de los csquetes esféricos pr clculr el volumen de los sólidos generdos l girr en torno l eje Y cd un de ls siguientes regiones del plno: ) R : Región en el primer cudrnte cotd por el gráfico de y = x sin x y l rect x = π. ) R : Región en el primer cudrnte cotd por los gráficos de y = e x, y = e x y l rect x =. 3) R 3 : Región en el primer cudrnte cotd por los gráficos de y = ls rects x = 0 y x =. x +3x+ y Soluciones.() 36.88(u. de long.) 3 () 4.63(u. de long.) 3 (3) 0.74(u. de long.) Desfío Clculr el volumen del sólido generdo l girr l región de l circunferenci (x ) + y = r, con 0 < < b, en torno l eje Y. Dicho sólido recibe el nombre de toro. Toro Instituto de Mtemátic y Físic Universidd de Tlc

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