Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A

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1 Cálculo II Volúmenes de Sólidos M. en C. Ricrdo Romero Deprtmento de Ciencis Básics, UAM-A Grupo CTG87 Trimestre 11-P Grupo CTG87 Trimestre 11-P 1 /

2 Progrm 1 Cálculo de volúmenes prtir de secciones trnsversles 2 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 2 /

3 Rebnr medinte plnos prlelos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 3 /

4 Volumen de l k-ésim rebnd A(x k ) x k V n k=1 V = lim x A(x k ) x k n k=1 b A(x k ) x k = A(x)dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 4 /

5 Volumen de l k-ésim rebnd A(x k ) x k V n k=1 V = lim x A(x k ) x k n k=1 b A(x k ) x k = A(x)dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 4 /

6 Volumen de l k-ésim rebnd A(x k ) x k V n k=1 V = lim x A(x k ) x k n k=1 b A(x k ) x k = A(x)dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 4 /

7 Volumen de l k-ésim rebnd A(x k ) x k V n k=1 V = lim x A(x k ) x k n k=1 b A(x k ) x k = A(x)dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P 4 /

8 El volumen de un sólido con áre de sección trnsversl integrble A(x), desde x = hst x = b está ddo por l integrl b V = A(x) dx Hcer un esquem del sólido y un sección trnsversl representtiv. Determinr un fórmul pr A(x). Determinr los límites de integrción. Integrr A(x) pr encontrr el volumen. Grupo CTG87 Trimestre 11-P 5 /

9 El volumen de un sólido con áre de sección trnsversl integrble A(x), desde x = hst x = b está ddo por l integrl b V = A(x) dx Hcer un esquem del sólido y un sección trnsversl representtiv. Determinr un fórmul pr A(x). Determinr los límites de integrción. Integrr A(x) pr encontrr el volumen. Grupo CTG87 Trimestre 11-P 5 /

10 Por triángulos semejntes x h = s/2 L/2 = s Lx, entonces s = L h y A(x) = s 2 = L2 h 2 x 2. Por lo tnto h V = A(x)dx = 0 h 0 L 2 h 2 x 2 dx = L2 x 3 h 2 3 h 0 = L2 h 3 h 2 3 = L2 h 3 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 6 /

11 Se obtiene un cuñ cortndo un cilindro circulr recto de rdio 4 por medio de dos plnos. Un plno es perpendiculr l eje del cilindro y el otro intersect l primero un ángulo de 30 lo lrgo del diámetro del cilindro. Encontrr el volumen de l cuñ. Grupo CTG87 Trimestre 11-P 7 /

12 L bse de l cuñ es un semicírculo con ecución y = 16 x 2 L sección trnsversl es un triángulo recto con áre y BC 2 De l sección trnsversl tn30 = BC, entonces y BC = y tn30 = y, por lo que A(x) = y = 16 x 2 2 y el 3 volumen es 4 V = A(x)dx = x dx = 1 4 ( 16 x 2 ) dx = 1 [16x x = ] 4 0 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 8 /

13 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Sólidos de revolución El sólido generdo l hcer girr un región pln lrededor de un eje se denomin sólido de revolución Grupo CTG87 Trimestre 11-P 9 /

14 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 10 /

15 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 11 /

16 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Volumen por medio de discos l girr lrededor del eje x b b V = A(x)dx = π [R(x)] 2 dx b 4 V = π [R(x)] 2 dx = π [ x ] 2 dx 0 4 = π x dx = π x = 8π 0 0 Grupo CTG87 Trimestre 11-P 12 /

17 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 13 /

18 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos Grupo CTG87 Trimestre 11-P 14 /

19 Volúmenes de sólidos de revolución Método de los discos A(x) = πy 2 = ( 2 x 2) V = A(x)dx = ( 2 x 2) dx = 2π 0 = 2π [ 2 x x 3 ] 3 ) 0 = 2π ( 3 3 = π3 π ( 2 x 2) dx Grupo CTG87 Trimestre 11-P /

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