2.3 POSICIONES RELATIVAS

Transcripción

1 . ECTA EN. PLANO. POICIONE ELATIVA. UPEFICIE.. UPEFICIE CILINDICA.. UPEFICIE DE EVOLUCIÓN.. CUADICA.5 COODENADA CILÍNDICA..6 COODENADA EFÉICA. Ojetivos. e persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de ects Plnos. Grfique ects Plnos. Encuentre distncis. Grfique uperficies Cilíndrics, de evolución Cuádrics.

2 . ECTA EN.. DEFINICIÓN se un vector de e P un punto de ect l se define como el conjunto de puntos P de contiene P tl que los vectores Al Vector.. Un que V P P son prlelos Es decir: l P(,, ) / P l // V donde V P P.. ECUACIÓN se lo llm VECTO DIECTIZ de l rect. e P (, ) se el vector (,, c),. l (, c), P (,, ) P (, ), V El vector entonces: es prlelo l vector V P P (, ) V k,, eemplndo result: (, ) k(,, c), Por iguldd de vectores, se plnte lo siguiente:

3 ( ) ( ) ( ) k k kc Entonces tenemos: c Ecución de l rect definid P, por un punto (, ) un vector prlelo (,, c) En ocsiones nteriores se h menciondo que dos puntos definen un rect, oserve l figur: V P (,, ) l P (, ), P (, ), Ahor tenemos que, P (, ) Entonces, se tiene: P el vector directri serí:, c P P,,, Ecución de l rect definid por dos puntos Tmién se l llm ECUACIÓN CANÓNICA O ECUACIÓN IMÉTICA. 5

4 i considermos: Tenemos: c t t ct t Ecuciones Prámetrics De lo nterior: (,, ) ( ) t, t, ct (,, ) (,, ) t(,, c) V e puede epresr de l siguiente mner: V V t Ecución Vectoril Ejemplo Hllr ls Ecuciones prmétrics de l rect que contiene l punto (, ). es prlel l vector (,, ) P OLUCIÓN: De cuerdo lo definido: t t t ct t Ejercicios Propuestos... Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,, -). Grfíquel t esp. l : t t. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,, 5). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? Cuál serí l ecución del eje?. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,5, ). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? Cuál serí l ecución del eje?. Escri ecuciones prmétrics de rects prlels l eje. 6

5 5. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, 5) (,, ). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? 6. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,, ). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? 7. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,, ). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? 8. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene el punto (-, -6, ) es prlel l vector (,, -). Grfíquel t esp. l : 6 t t 9. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que ps por el origen es perpendiculr l rect cu ecución es: ( ). t esp. l : t 5t. PLANO.. DEFINICIÓN e P un punto de se n un vector de. Un Plno π se define como el conjunto de puntos P de tles que n es perpendiculr l vector V que se define entre P P. Es decir: π ( ) P,, / n V donde V P P P.. ECUACIÓN en n (,, c) P (, ),. Oserve l figur: 7

6 (, c) n, π (, ) P, V P (, ), Entonces n V (,, c) (,, ) Por tnto, tenemos: ( ) ( ) c( ) Ecución de un plno definid por UN PUNTO Y UN VECTO PEPENDICULA. i se simplific, tenemos: ( ) ( ) c( ) c ( c ) Considerndo d c, tenemos: c d ECUACIÓN GENEAL de un plno. 8

7 Ejemplo Hllr l ecución del plno que contiene los puntos P (,, ), (,, ) P (,,) OLUCIÓN: P Con los tres puntos ddos se formn dos vectores (no import el orden) pr de hí otener un vector perpendiculr l plno uscdo. V V n V P (,, ) V P (,, ) (,, ) P EE En este cso: V P P P P,,,, V (,, ) (,, ) ( ) ( ) Entonces i j k ( 6 6) i ( 6) j ( )k n V V 6 n { i 8{ j { 8 k c,, P Podemos tomr ( ) (,, ) P (puede ser culquier otro punto del plno) Finlmente, emplendo l ecución: c esult: 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo Demostrr que l ecución del plno que tiene intersección A, B, C, respectivmente con los ejes,, es. A B C OLUCIÓN: 9

8 i el plno tiene intersección A, B, C con los ejes coordendos entonces tenemos tres puntos que pertenecen l plno se puede determinr su ecución como en el ejemplo nterior. Oserve l figur: (,,) P B π P P V P ( A,,) P P V (, ) P,C En este cso tommos: V ( A,,) B V ( A,, C) Entonces: i j k n V V A B A C i tommos (,, ) P ( A,,) ( ) ( ) c( ) ( BC) i ( AC) j ( AB)k P reemplndo en l ecución esult: BC BC ABC AC AB BC AC AB ABC Dividiendo pr ABC BC AC AB ABC ABC ABC ABC ABC A B C ( A) AC( ) AB( ).. CONDICIONE EPECIALE. i el plno es PAALELO AL PLANO, entonces sólo tendrá intersección con el eje, su vector norml será de l form n (,, k). u ecución será de l form C. PO QUÉ?. Cuál es l ecución del plno? PEGUNTA: Cómo serán ls ecuciones de los plnos: prlelo l plno, prlelo l plno, prlelo l eje, prlelo l eje, prlelo l eje?.

9 Ejercicios Propuestos... Diuje los plnos cus ecuciones son: ) 6 d) g) ) 6 6 e) 6 c) 5 f). Encuentre l ecución del plno que contienen l punto (-5,7,-) que es prlelo l plno "" esp. 7. Encuentre l ecución del plno que contienen l punto (-5,7,-) que es perpendiculr l eje "" esp. 5. Encuentre l ecución del plno que contienen l punto (-5,7,-) que es prlelo tnto l eje "" como l de "" esp. 5. Encuentre l ecución del plno que contienen l punto (-5,7,-) que es prlelo l plno 7 esp Hllr l ecución del plno prlelo l plno tl que l sum de sus intersecciones con los ejes coordendos se igul 5. esp Hllr l ecución del plno que es prlelo l plno que intercept los ejes coordendos en los puntos A, B C, de tl mner que A B C. esp POICIONE ELATIVA.. ENTE UN PUNTO P Y UNA ECTA l... EL PUNTO PETENECE A LA ECTA: P l : l c P (, ), i un punto pertenece un rect entonces ls coordends del punto stisfcen l ecución de l rect, es decir c

10 ... EL PUNTO NO PETENECE A LA ECTA: P l P (, ), : l c i un punto no pertenece un rect entonces ls coordends del punto no stisfcen l ecución de l rect, es decir: o o c c... Distnci del punto l rect i escogemos un punto P culquier de l rect definimos un vector V entre este punto P el punto P. P (, ), V d h : l c θ (, ) P, L distnci entre el punto P l rect l, será l ltur del prlegrmo sustentdo por los vectores Entonces: Are V V. Oserve l figur nterior. V senθ

11 Oserve que h senθ entonces h V senθ V eemplndo result V h Finlmente: h d, V ( P l)... Ecución del plno que contiene l punto l rect. Un vector norml l plno será el resultnte del producto cru de V con (, ) P, V n V P (, ), π Como punto del plno tenemos pr escoger entre P culquier punto de l rect. Ejemplo. e P (,, ) se l :. Hllr l distnci de P l l ecución del plno que contiene P l. OLUCIÓN: Tommos como punto de l rect P (,,), entonces: V PP (, ( ), ) (,,) De l ecución de l rect, tenemos como informción (,, ), entonces: V i j k (,, 8)

12 V ( ) ( 8) 76 ( ) 7 Por lo tnto: V d( P, l) 7 7 Por otro ldo, un vector norml l plno serí: n V (,, 8) Escogiendo el punto P, tenemos: ( ) ( ) c( ) ( ) ( ) 8( ) 8 8 Por tnto, l ecución del plno serí: π :7 5.. POICIONE ELATIVA ENTE UN PUNTO P Y UN PLANO π... EL PUNTO PETENECE AL PLANO: P π. P (, ), π : c d En este cso ls coordends del punto deen stisfcer l ecución del plno, es decir: c d.... EL PUNTO NO PETENECE AL PLANO: P π. (, c) n, P (, ), d P (,, ) π : c d

13 En este cso ls coordends del punto NO stisfcen l ecución del plno, es decir: c d. V... Distnci del punto l plno. i tommos un punto P culquier del plno formmos el vector ( ) PP,,. Oserve l figur nterior. L distnci del punto l plno será l proección esclr de n, es decir: V sore d ( P, π ) V n n (,, ) (,, c) c Oserve que: Por lo tnto: c d c c c c c c d c ( P π ), c d Ejemplo P π :. Hllr l distnci entre P π. OLUCIÓN: e (,, ) Aplicndo l formul nterior ( P, ) () () () d π c c d ( ) 5

14 .. POICIONE ELATIVA ENTE DO ECTA l Y l.... ECTA COINCIDENTE l : c ( c),, l : c ( c ),, Dos rects son coincidentes si sólo si:. us vectores directrices son prlelos: // ;,. Todos los puntos que pertenecen un rect tmién pertenecen l otr rect; pr esto, strá que un punto de un rect stisfg l ecución de l otr rect. Ejemplo en l : Oserve que: 9 8 l : (,, ) (6,9, ) son prlelos, deido que: 6 9. El punto (,, ) de l stisfce l ecución de l rect l, deido que l reemplr ls coordends de este punto en l ecución de l, tenemos: Por tnto l l son coincidentes. 6

15 ... ECTA PAALELA: l //l l : c ( c),, l : c ( c ),, Dos rects son prlels si sólo si:. us vectores directrices son prlelos: // ;,. Ningún punto de un rect pertenece l otr rect; pr esto, strá que un punto de un rect NO stisfg l ecución de l otr rect. Ejemplo en l : l :. 6 9 ) Demuestre que son l l son rects prlels. ) Determine l distnci entre l l. c) Encuentre l ecución del plno que contiene l l. OLUCIÓN: ) Oserve que:. (,, ) (6,9, ) son prlelos, deido que 6 9. El punto (,, ) de l NO stisfce l ecución de l rect l, deido que l reemplr ls coordends de este punto en l ecución de l, tenemos: 6 9 Por tnto l l son prlels. ) L distnci entre ls dos rects prlels es igul l distnci entre un punto de un rect l otr rect. (,, ) P d l : l : 6 9 V (,,) (,, ) P ( 6,9, ) 7

16 d ( l, l ) d( P l ), V V i j k ( 7,7,7) V ( 7) ( ) 6 9 Por tnto: d ( l l ) d( P, l ), 7 d) Ls dos rects prlels definen un plno que contiene ms. n V (,,) P (,, ) V π l l ( 6,9, ) Un vector norml l plno serí: ( ) n V 7,7,7 Escogiendo el punto P, tenemos: c ( ) ( ) ( ) 7( ) 7( ) 7( ) Por tnto, l ecución del plno serí: π : 8

17 ... ECTA INTEECANTE. l l P (, ), Dos rects son intersecntes si sólo si:. us vectores directrices NO son prlelos;,. ólo un punto de un rect pertenece l otr rect; pr esto, deerá eistir sólo un punto cus coordends stisfg ls ecuciones de ms rects. Ejemplo en l : l :. ) Demuestre que son l l son rects intersecntes. ) Determine l medid del ángulo que formn ls rects. c) Determine, de eistir, l distnci entre l l. d) Encuentre, de eistir, l ecución del plno que contiene l l. OLUCIÓN: ) Oserve que:. (,,) (,, ) NO son prlelos, deido que. Deerá eistir un punto P (,, ) que stisfg ls ecuciones de ms rects, es decir: Encontremos el punto, pr lo cul: t k t k t k Igulndo ls dos primers ecuciones: t k t k esolviendo el sistem simultáneo, tenemos: 9

18 t k Entonces: ( ) () () Note que igul resultdo se otiene en l segund condición: ( ) () () Por tnto, ls rects se intersecn en sólo un punto. ) El ángulo de corte está determindo por el ángulo que formn los vectores directrices; es decir: θ rccos rccos (,,) (,, ) ( ) ( ) rccos θ rccos 9 66 c) ( l l ) d por ser rects intersecntes., d) Un vector norml l plno que definen ls rects intersecntes serí el resultnte del producto cru entre los vectores directrices de ls rects. n (,,) l l π (,, ) P (,, ) Entonces n ( 8,7,9) eemplndo, tenemos: 8 i j k ( ) ( ) c( ) ( ) 7( ) 9( ) Por tnto, l ecución del plno serí: π :

19 ... ECTA OBLICUA O ALABEADA. Dos rects son Olicus o Aleds si sólo si:. us vectores directrices NO son prlelos;,. Ningún punto de un rect pertenece l otr rect. l l En este cso no eistirá lgún plno que conteng ms rects. Ejemplo en l : l :. Demuestre que son l l son rects Olicus. OLUCIÓN: Oserve que:. (,,) (,, ) NO son prlelos, deido que:. Ahor nos qued demostrr que NO son intersersecntes. Es decir no dee eistir punto de intersección. Por contrdicción, supongmos que: t k t k t k Tomndo ls dos primers ecuciones: t k t k esult: t 7 5 k 5 eemplndo result: 7 9 ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) Por tnto, como los son distintos en ls rects, se conclue que son OBLICUA.

20 ... Distnci entre ects olicus. Definmos un vector V, entre un punto culquier de un rect con otro punto culquier de l otr rect, Oserve l figur: l } d V l L menor distnci d entre ls rects l l, está dd por l proección esclr del vector ms rects, que estrí dd por el vector V sore l dirección perpendiculr ; es decir: d V ( l l ), Ejemplo Hllr l distnci entre ls rects Olicus l :. l : OLUCIÓN: En este cso, un punto de l rect l serí (,, ) P un punto de l otr rect l serí P (,, ), entonces V PP (,, ). Los vectores directrices serín: (,,) (,, ) i j k ( 5,5,5), entonces:

21 Por tnto, (, ) d l l V (,,) ( 5,5,5) ( ) (, ) d l l (,, ) 5 (,,) ( ) 5.. POICIONE ELATIVA ENTE DO PLANO.... PLANO COINCIDENTE. Dos plnos son coincidentes si sólo si:. us vectores normles son prlelos;,. Todos los puntos que pertenecen un plno tmién pertenecen l otro plno. n n π : c d π : c d En este cso se cumple que: c c d d

22 Ejemplo Los plnos π : π : 6 son coincidentes deido que: 6... PLANO PAALELO: π //π Dos plnos son Prlelos si sólo si:. us vectores normles son prlelos;,. Todos los puntos que pertenecen un plno NO pertenecen l otro plno.. n π : c d n π : c d En este cso se cumple que: c c Ejemplo en π : π : 6 ) Demuestre que π π son plnos prlelos. ) Encuentre l distnci entre los plnos. OLUCIÓN: ) En este cso, por tnto los plnos son prlelos. 6 ) L distnci entre dos plnos prlelos es igul l distnci entre un punto de un plno con el otro plno. En este cso tomemos de π el punto P (,, ), entonces: ( P, ) () 6() ( ) d π c c d ( 6)

23 ... PLANO INTEECANTE Dos plnos son intersecntes si sólo si sus vectores normles NO son prlelos. π : c d n n π : c d En este cso se cumple que: c c c c Ejemplo en π : π : ) Demuestre que π π son plnos intersecntes. ) Encuentre l distnci entre los plnos. c) Determine l ecución de l rect de intersección. d) Hlle l medid del ángulo formdo por los plnos intersecntes. OLUCIÓN: ) En este cso, por tnto son plnos intersecntes. ) d ( π, π ) por ser plnos intersecntes. c) Primer Método: hllndo el conjunto solución del sistem simultáneo: F ( ) F 5 5 5

24 5 5 Hciendo t, entonces: t l : t 5t egundo Método: Un vector directri de l rect uscd estrí ddo por el vector resultnte del producto cru entre los vectores normles de los plnos, es decir: i j k n n (,, 5) Pr otener ls coordends de un punto P que pertenec mos plnos, strí con considerr un vlor pr un vrile en ls ecuciones de los plnos resolver el sistem simultáneo que resultnte. Por ejemplo, considerndo, tenemos: ( ) ( ) Entonces ( P, ),, Finlmente, l ecución de l rect serí: t l : t 5t d) L medid del ángulo que formn los plnos está ddo por el ángulo que formn sus vectores normles, es decir: (,, ) (,, ) n n θ rccos rccos rccos n n π 6

25 ..5 POICIONE ELATIVA ENTE UNA ECTA Y UN PLANO...5. ECTA PETENECIENTE A UN PLANO. Un rect pertenece un plno si sólo si todos los puntos de l rect pertenecen tmién l plno. n t l : t c t π : c d En este cso se cumple que:. Los vectores directrices de l rect los vectores normles del plno son OTOGONALE.. Un punto culquier de l rect stisfce l ecución del plno. Ejemplo t en π : l : t t Demuestre l rect l pertenece l plno π. OLUCIÓN:. Vemos si es que los vectores n (,, ) (,, ) son ortogonles. elindo el producto punto se otiene: n Entonces son i ortogonles. (,, ) (,, ). Vemos si es que el punto de l rect (,, ) P stisfce l ecución del plno : eemplndo se otiene: Entonces i stisfce. Por tnto l rect pertenece l plno. 7

26 ..5. ECTA PAALELA A UN PLANO. Un rect es prlel un plno si sólo si todos los puntos de l rect NO pertenecen l plno. n t l : t c t π : c d En este cso se cumple que:. Los vectores directrices de l rect los vectores normles del plno son OTOGONALE.. Un punto culquier de l rect No stisfce l ecución del plno. Ejemplo t en π : l : t t ) Demuestre l rect l es prlel l plno π. ) Hlle l distnci entre l rect el plno OLUCIÓN: ). Vemos si es que los vectores n (,, ) (,, ) son ortogonles. elindo el producto punto se otiene: n Entonces son i ortogonles. (,, ) (,, ). Vemos si es que el punto de l rect (,, ) plno : eemplndo se otiene: Entonces NO stisfce. Por tnto l rect es prlel l plno. P stisfce l ecución del c) L DITANCIA entre un rect prlel un plno es igul l distnci entre un punto culquier de ls rect el plno 8

27 (,, ) d P t l : t t π : Tomndo el punto P (,, ) ( P, ), entonces () () ( ) d π c c d..5. ECTA Y PLANO INTEECANTE. Un rect un plno son intersecntes si sólo si un punto de l rect pertenece l plno. n t l : t c t P π : c d En este cso se cumple que los vectores directrices de l rect los vectores normles del plno NO son OTOGONALE. 9

28 Ejemplo t en π : l : t t ) Demuestre que l rect l intersec l π en sólo un punto. ) Encuentre ls coordends del punto de intersección c) Determine l distnci entre l rect el plno d) Determine l medid del ángulo que formn l rect el plno. e) Hlle l ecución de l rect que es l proección de l rect l sore el plno π. OLUCIÓN: ) En este cso n (,, ) (,, ), entonces: (,, ) (,, ) n Por tnto, como no son ortogonles, l rect el plno son intersecntes. ) Ls coordends del punto de intersección se otienen hllndo el conjunto solución del sistem simultáneo que se form con ls ecuciones de l rect del plno. En este cso, tenemos: t t t Hllmos primero el vlor de t, reemplndo l segund, tercer curt ecución en l primer ecución: t t t t P,, Entonces ( ) c) ( l, π ) d Por intersecntes. d) El ángulo θ que form l rect el plno intersecntes está definido por el ángulo que form un vector directri de l rect un vector norml del plno. Oserve l figur: t l : t c t n ϕ θ L P π : c d

29 θ π ϕ donde n n rccos ϕ En este cso: ( ) ( ) rccos,,,, rccos rccos n n ϕ d) Un vector directri de l rect proección L, está ddo por: n n Por qué? Entonces: ( ),, k j i n ( ),, k j i n n Y tomndo el punto de intersección ( ),, P l ecución de l rect serí t t t L : Ejercicios Propuestos.. Clcule l distnci entre el punto de coordends (,,-) l rect de ecución:,, t t. esp. d. Determine si ls rects 5 : l : l se interceptn en un punto.. Hllr l distnci entre ls rects: : l : l esp. 5 d. Hllr l distnci entre ls rects: 5 : l 8 9 : l esp. d 5. Determine ls coordends del punto que está en l se de l perpendiculr trd desde P(-,-,) l rect esp. 7, 7, 7 7 P

30 6. Clcule l distnci del plno 6 l punto (,, -). esp. d 5 7. Hllr l distnci entre ls rects: l : l : esp. d 8. Hllr ls ecuciones de l rect que contiene el punto (,6,), intercept l eje es prlel l plno 5 6 t esp. l : 6t t t 9. Hllr l ecución del plno que contiene l rect l : t es perpendiculr l t plno esp. 5. Hllr l ecución del plno que contiene l rect perpendiculr l plno l : es esp Encuentre el punto que l rect: t, t, t, intercept l plno esp. P (,, ). L rect "l" tiene prmetrición: t, t, t. Hlle un ecución del plno que contiene l l punto (5,,). esp Hllr l ecución de l rect que es l proección de l rect sore el plno 5t esp. l : t 7t. Encuentre l ecución del plno que ps por el punto (,,) que intersec l plno en l mism rect que el plno 6 esp. 6 t t 5. Dds ls rects: l t l t t t ) Demostrr que no se intersecn ) Encontrr dos plnos prlelos que contengn cd un de ells por seprdo. esp. ) Hllr ls ecuciones de l rect que contiene l punto (,6,), intercept l eje es prlel l plno 5

31 esp. t l : t t 7. Demostrr que ls rects: l l 8 on prlels hllr l ecución del plno que ls contiene. 8. Hllr l distnci entre los plnos: esp. d 9. Encontrr l menor distnci entre el punto (,,) el plno determindo por (,,), (,-,), (-,,). esp. d. Encuentre l ecución del plno que contiene l punto (-,,6) tiene l mism tr en el plno XZ, que el plno 5 8. esp Hllr l ecución del plno que es perpendiculr los plnos 5, que ps por el punto (,,-). esp.. Hllr l ecución del plno que contiene ls rects: : l 5 l : 5 esp. 9 t. Hllr l ecución del plno que contiene l rect l : t es perpendiculr l t plno. esp e l rect l : el plno π : hllr el punto de intersección de l rect con el plno, sí como l ecución que determin l proección de l rect sore el plno. esp. P,, 5. Encontrr l ecución del plno que es perpendiculr l plno YZ contiene l punto (,,) demás que hg un ángulo de rcos(/) rd. Con el plno. esp. 6. El triángulo que tiene por vértice (,,), (,,), (,,) se lo proect sore el plno Z-. Clculr el áre de proección. esp. Are

32 . UPEFICIE.. UPEFICIE CILINDICA. e C un curv de un plno π se l un rect no prlel π. e define uperficie Cilíndric l conjunto de puntos que perteneces rects prlels l que intersecn C. A C se l denomin Curv Genertri (o Directri) l se l denomin ect Genertri. Ls superficies Cilíndrics que trtremos quí serán quells que tienen l Curv Genertri perteneciente los plnos coordendos ects Genertrices Prlels los ejes coordendos. Es decir, si tienen un de l form siguiente: f (, ) Curv Genertri perteneciente l plno, (, ) ects Genertrices prlels l eje. f Curv Genertri perteneciente l plno, ects Genertrices prlels l eje. f (, ) Curv Genertri perteneciente l plno, ects Genertrices prlels l eje. Ejemplo Grficr OLUCIÓN. e diuj primero l curv eje siguiendo est curv. en el plno luego se trn rects prlels l

33 Ejemplo Grficr ln OLUCIÓN. e diuj primero l curv eje siguiendo est curv. ln en el plno luego se trn rects prlels l ln Ejemplo Grficr sen OLUCIÓN. e diuj primero l curv sen en el plno luego se trn rects prlels l eje siguiendo est curv. 5

34 Ejemplo Grficr OLUCIÓN. e diuj primero l curv en el plno luego se trn rects prlels l eje siguiendo est curv. Ejercicios Propuestos.. Bosqueje l superficie cilíndric cu ecución se indic. ) d) f) e ) sen e) g) 9 c).. UPEFICIE DE EVOLUCIÓN Ls uperficies de evolución que trtremos quí son quells que se genern l girr 6º un curv perteneciente uno de los plnos coordendos lrededor de uno de los ejes coordendos. Por ejemplo supong que se tiene l curv f () (contenid en el plno ZY) l hcemos girr 6º lrededor del eje, entonces se form un superficie de revolución, oserve l figur: 6

35 r r L ecución de l superficie de revolución se l deduce de l siguiente mner L sección trnsversl es circulr, por tnto: ( ) ( ) ( f ( ) ) f ( ) r Como tmién se oserv que: ( ) ( ) ( ) r Entonces, igulndo result: [ f ( ) ] ECUACIÓN DE UNA UPEFICIE DE EVOLUCIÓN CON CUVA GENEATIZ f () (EN EL PLANO ) O TAMBIÉN f () (EN EL PLANO ), GIADA ALEDEDO DEL EJE. A, se le llm Binomio de Circulridd. En cmio, si l curv genertri nterior l hcemos girr lrededor del eje, otendrímos otr superficie de revolución, oserve l figur: 7

36 (,, ) r (, f ( ), ) r (,, ) f ( ) Aquí en cmio: Y tmién ( ) ( f ( ) ) ( ) f ( ) r ( ) ( ) ( ) r Entonces, igulndo result: [ f ( ) ] El Binomio de Circulridd seri ECUACIÓN DE UNA UPEFICIE DE EVOLUCIÓN CON CUVA GENEATIZ f () (EN EL PLANO ) O TAMBIÉN f () (EN EL PLANO ), GIADA ALEDEDO DEL EJE.. L curv nterior no puede ser gird lrededor del eje. PO QUÉ? L ecución de un superficie de revolución con curv genertri f () (en el plno ) o f () (en el plno ) gird lrededor del eje, serí: f () DEDUZCALA! [ ] 8

37 Ejemplo Encontrr l ecución de l superficie de revolución que se generr l girr lrededor del eje. OLUCIÓN. Primero grfiquemos l curv genertri en el plno formemos l superficie de revolución. Como el eje de rotción es el eje, el inomio de circulridd será: Curv Genertri. Por tnto, l ecución de est superficie será de l form: [ f ( ) ], donde f () es l ecución de l curv genertri; que en este cso seri: f ( ) Por tnto, l ecución de l superficie serí: Ejemplo Identificr grficr l superficie que tiene por ecución 9 9. OLUCIÓN. Primero identifiquemos el inomio de circulridd l ecución de l curv genertri 9 9 ( ) 9 Por tnto de cuerdo l form de l últim ecución se conclue que se trt de un superficie de revolución con curv genertri o tmién, gird lrededor del eje ( l vrile que no prece en el inomio de circulridd). 9

38 Ejercicios Propuestos.5. Hlle un ecución de l superficie de revolución que se gener l girr l curv pln dd, lrededor del eje ddo. Grfique. ) 6, lrededor del eje. ) sen, lrededor del eje. c), lrededor del eje. d), lrededor del eje. e) 6, lrededor del eje. f) e, lrededor del eje.. Encuentre el eje l curv genertri de cd un de dichs superficies de revolución. elice el gráfico correspondiente. ) ) c) e d) 6 5

39 .. UPEFICIE CUADICA. Ls uperficies Cuádrics o simplemente Cuádrics con eje centrl prlelo los ejes coordendos, tienen por ecución: A B C D E F G i l llevmos l form cnónic, completndo cudrdo, tendremos los siguientes lugres geométricos.... EFEA. L ecución cnónic de l esfer es de l form: ( h) ( k) ( l) r Donde, su centro es C ( h k, l) con r >, su rdio es r Ejemplo L ecución ( ) ( ) ( ) 9 esfer de centro C (,, ) rdio r, tiene como lugr geométrico un r C(,, ) Anlice el lugr geométrico, si < r si r 5

40 5... ELIPOIDE L ecución cnónic de un elipsoide es de l form: ( ) ( ) ( ) c l k h Donde, su centro es ( ) l k h C,, Ejemplo L ecución 9 represent un elipsoide con centro el origen. u tr (intersección) con el plno, se otiene hciendo, Entonces, result 9, l ecución de un elipse. Además tods ls secciones trnsversles son elipses. Por qué?... HIPEBOLOIDE DE UNA HOJA Un hiperoloide de un hoj con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( ) ( ) ( ) c l k h upong que h, k, l, se tiene c. 9 9

41 i (Tr ) (Elipses) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán elipses. Por qué? i ( Tr ) c (hipérols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán hipérols. Por qué? i (Tr ) c (hipérols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán hipérols. Por qué? c PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: c c 5

42 ... HIPEBOLOIDE DE DO HOJA Un hiperoloide de dos hojs con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) ( l) c upong que h, k, l, se tiene. c i (Tr ) (No tenemos lugr Geométrico) i i c, tenemos > c c (punto) < tenemos elipses. Por qué? i (Tr ) c (hipérols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán hipérols. Por qué? i (Tr ) c (hipérols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán hipérols. Por qué? c 5

43 PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de:...5 DOBLE CONO c c Un Dole Cono con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) ( l) c upong que h, k, l, se tiene c i (Tr ) (un punto) i tenemos elipses. i ( Tr ) c i tenemos hipérols i (Tr ) c i tenemos hipérols (dos rects) (dos rects). 55

44 PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: c c...6 PAABOLOIDE ELIPTICO Un Proloide Elíptico con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) upong que h, k, l i (Tr ) i >, tenemos elipses. (Con ± ( l), grfiquemos: (un punto) cuo cso se lo denomin Proloide Circulr). i <, no tenemos lugr geométrico. i (Tr ) tenemos tenemos circunferencis, en (práols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán práols. Por qué? i (Tr ) tenemos (práols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán práols. Por qué? 56

45 PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: l...7 PAABOLOIDE HIPEBÓLICO Un Proloide Hiperólico con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: Grfiquemos ( h) ( k). ± ( l) i (Tr ) tenemos i > o < tenemos hipérols. i (Tr ) tenemos ( rects) (práols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán práols. Por qué? i (Tr ) tenemos (práols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán práols. Por qué? 57

46 PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: l Ejemplo Grfic el lugr geométrico cu ecución es: OLUCIÓN: Trnsformemos l ecución dd un de ls forms descrits nteriormente: Despejndo ls vriles: Dividendo pr simplificndo: 58

47 De cuerdo l form de l últim ecución, se conclue que represent un PAABOLOIDE DE DO HOJA, con el eje como eje de simetrí (el término negtivo lo indic ) Ejercicios Propuestos.6 Dig el nomre de ls superficies cuádrics cus ecuciones se dn continución. Hg l gráfic en cd cso. ) 6 9 g) 5 6 ) h) 6 5 c) 6 9 i) d) 6 9 j) 5 6 e) k) 8 f) l) 5 59

48 .5 COODENADA CILÍNDICA. Un punto P en Coordends Cilíndrics está denotdo como ( r, θ, ) donde r θ son ls Coordends Polres. ( r,θ ) P, θ r Entonces ls trnsformciones serín: r cosθ rsenθ r θ rctn () Ejemplo. El cilindro que tiene por ecución en coordends rectngulres 9, su ecución en coordends cilíndrics será r 9 r 6

49 Ejemplo El plno que tiene por ecución en coordends rectngulres coordends cilíndrics será π θ, su ecución en π θ Ejemplo El Dole Cono Circulr que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends cilíndrics será r r 6

50 Ejemplo El Proloide Circulr que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends cilíndrics será r r.6 COODENADA EFÉICA. Un punto de, puede ser denotdo tmién como un vector que inici en el origen con: Mgnitud ρ, Angulo θ, que form su proección r en el plno con respecto l dirección positiv del eje, Angulo φ con respecto l dirección positiv del eje φ r P( ρ, θ, φ) θ ρ r ρ < θ π φ π 6

51 Oserve que: ρ θ rctg φ rccos ρ senφ cosθ ρ senφ cosθ ρ cosφ Ejemplo L Esfer que tiene por ecución en coordends rectngulres 9, su ecución en coordends esférics será ρ ρ Ejemplo El Cono que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends esférics será π φ π φ 6

52 Ejemplo Identificr grficr l superficie que tiene por ecución ρ OLUCIÓN: Utilindo ls ecuciones de trsformción: ρ cosφ ρ ρ ρ cosφ. 9 ( ) De l últim ecución se conclue que es un esfer de centro ( ),, rdio (,, ) r ρ cosφ Ejercicios propuestos.7 Hlle un ecución en coordends rectngulres diuje ls siguientes superficies. ) r f) ρ secφ k) r ) r g) r 5 l) r cosθ c) π θ h) r senθ m) ρ d) φ π i) r sen θ n) r e) ρ 5 j) ρ cosφ o) ρ cscφsecθ p) r ( cos θ sen θ) q) ρ csc φ 6

53 Misceláneos. Identifique Y GAFIQUE ls siguientes superficies. ) 8 k) ) 9 5 l) c) 5 m) d) n) 5 e) 5 o) ln f) p) g) q) sen 5 h) r) ln( ) i) 9 8 s) j) Encuentre l ecución generl de l esfer que es tngente l plno 8 que tiene el mismo centro que 6. esp. ( 6 ) ( ) ( ) 9. Hllr l menor distnci que h entre el plno, l esfer que tiene por ecución 6 esp. d. Diújese l región limitd por ls gráfics de ls ecuciones. ), ),,,, c),, d),, e),, f), 5. Encuentre ls coordends de los focos de l elipse que result de l intersección de con. 9 esp. (, 5,) (, 5,) 6. Encuentre ls coordends del foco de l práol que result de l intersección de con. 9 esp. (,, 5 ) 7. Pruee que l proección en el plno de l curv que es l intersección de ls superficies, es un elipse encuentre sus diámetros mor menor. 8. Diuje el triángulo en el plno que está rri del plno, dejo del plno, dentro del cilindro 8. Después encuentre el áre de este triángulo. esp. A 65

54 9. Encontrr los vlores de k pr los cules l intersección del plno k el hiperoloide elíptico de dos hojs es: ) Un elipse ) Un hipérol esp. ) k (, ) (, ) ) k (, ). Demostrr que l intersección del proloide hiperólico el plno c consiste de dos línes rects que se interceptn.. en P, Q los puntos de intersección del proloide hiperólico con l rect, hllr l proección del vector PQ sore el vector V î ˆ j kˆ esp. Pr o PQ (,,) V 66