INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA

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1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo rectángulo.. Hll el perímetro de los triángulos cuos vértices son: A(-4,-4), B(6,6) C(0,3) Sol A(-,), B(4,3) C(,-) Sol Prueb que los puntos (-,3),(1,),(4,1) son colineles, por culquier método encuentr l ecución de l rect.. Sol.+3-=0 4. Encuentr ls coordends del punto que divide l segmento de linel A(4-,3) B(1,4) en l rzón. Sol. P((,/3). Encuentr los puntos de trisección del segmento cuos etremos son los puntos A(-,) B(3,-6). Sol.P(4/3,-/3), Q(-1/3,4/3) 6. Encuentr el ángulo gudo entre ls rects: Sol.: Sol.:8.11. Hll el áre del triángulo o polígono cuos vértices son: A (,-4), B(3,6), C(-1,-) Sol. 13.u A (3,-1), B(,6), C(-,-8), D(-4,) Sol. 0u A(,1), B(3,6), C(1,4), D(-,-3) Sol. 31u 8. Escribe l ecución de l líne rect en su form generl que ps por los puntos C(,-3) D(4,). Sol. --16=0 9. Determin l ecución de l líne que ps por (-,3) es perpendiculr l líne -3+6=0. Sol. 3+=0 10. Dd l ecución generl de l rect, determinr l pendiente, ordend l origen, bscis l origen su gráfic. +4-0=0 Sol. m=-/4, b=, = =0 Sol.m= /, =, b= Encuentr l ecución de l rect que ps por el punto (4,) es prlel l rect -3+4=0. Sol. -3-=0 1. Encuentr l ecución de l rect que ps por el punto (4,-4) es perpendiculr l rect que ps por los puntos A(,3) B(6,-1). Sol. --8=0 13. Clcul l distnci del punto (,) l rect -4+3=0. Sol. d= = 1.11u

2 14. Clcul l distnci entre el punto A(-,1) l rect que ps por los puntos B(,4) C(,3). Sol. 4.4u 1. Encuentr l distnci entre ls rects prlels = =0 Sol. d= 8u + + =0 +4-3=0 Sol. d=1.6u II. CIRCUNFERENCIA. r Ecución de l circunferenci con centro en el origen. ( - h) +( k) =r Ecución de l circunferenci con centro en (h,k) Ecución Generl, con A = C A C h D E F 0 D A k E A r D E 4AF A 1. Hllr l ecución de l circunferenci, que cumple con ls condiciones señlds. Centro en el origen, rdio 8. Sol. Centro en (-, 3) rdio 4. Sol Centro en (-, 1) ps por el punto (4, 3) Sol Diámetro con etremos en (, 3) (4, -1) Sol. 3 1 e) Centro en (-4, 3) es tngente l eje. Sol f) Centro en (, ) tngente l rect = 0 Sol.. Hllr el centro el rdio de ls circunferencis siguientes reduciendo primero su form ordinri Sol. C(4, -), Sol. C(4, /), r Sol. C(/, -3/), r r 4 3. Encuentr el centro el rdio de l circunferenci Sol. Sol. r 6, C(1, -4) r 8, C(-3, ) 6. Determin l ecución generl de l circunferenci que ps por el punto (1, ) que es tngente l rect = 0 en el punto (3, 4). Sol

3 . Determin l ecución de l circunferenci que ps por el punto (, -1) que es concéntric l circunferenci = 0 Sol =0 8. Encuentr l ecución de l circunferenci de centro en (-, 4) ps por l intersección de ls rects = = 0 III. P A R Á B O L A. Sol = 0 Vértice en (h,k) ECUACION ORDINARIA k 4 p h h 4 p k TIPO FOCO DIRECTRIZ LADO RECTO Horizontl Verticl h p,k h,k p h p k p 4p 4p Ejercicios pr resolver. 1. Hllr l ecución de l prábol conociendo los siguientes dtos: Con vértice en el origen foco (0, -3/) Sol. Con vértice en el origen directriz = ¾ Sol. Con vértice en (-3, -3) directriz = 1 Sol. Con vértice (, -3) Foco (-1, -3) Sol. 1, De l ecución de l prábol, hll ls coordends del vértice, del foco l ecución de l directriz, trzr l gráfic Sol. V(0, 0), p =, F(0, ), direc. = - Sol. V(0, 0) F(6, 0), direc. = -6 Sol. V(1, -4) p = F(1, -) = -6 Sol. V(, ) F(/, ) = 1/ e) Sol. V(-4,) p = 1 F(-3, ) = - 3. Un rco prbólico tiene un ltur de 30 metros un luz (ncho) de 4 metros. Hllr l ltur del punto del rco situdo 8 metros del centro. Sol. 6.0m 4. Un rco prbólico tiene un ltur de 9 metros de bse 1 metros. Hllr l ecución l ltur de los puntos del rco situdos 4 metros del centro. Sol. = -4(-9) = m

4 . El cble de suspensión de un puente colgnte dquiere l form de un rco de prábol. Los pilres que lo soportn tiene un ltur de 30m están seprdos un distnci de 100m, quedndo el punto ms bjo del cble sobre l clzd del puente, Encontrr l ecución de l prábol clcul l ltur de un punto situdo m del centro del puente. Sol. =. m. L distnci entre dos soportes verticles de un puente colgnte es de 100m l flech del cble es de 1m.Clculr l ltur del cble 30m del centro del mismo. IV. E L I P S E. Sol. =.4m Ecución Vértices Focos Covertices h k b 1 V( h, k) F h c, k B h, k b h k b 1 V h, k F h, k B h b, k LR b e c Eje mor = Eje menor = b Ejercicios pr resolver. 1. Encontrr l ecución de l elipse, conociendo los siguientes dtos: Vértices,0, Focos 3,0 0, 6 Vértices Sol , ecentricidd /3 Sol. 1 C(0, 0), ps por (3, 3), un vértice en (0, ) Sol. Focos 4,0 /16, LR=18/ Sol e) F(, -1), F(10, -1) ecentricidd /3 Sol f) V(3, 1) V(3, ) L..R=/3 Sol

5 . Determine vértices, focos, ldo recto, ecentricidd centro de l elipse de l ecución ,0 Sol. V 0, Sol. V, 1, 3 Sol. V,0, F 0, 1 F,, LR =4/3, e = LR = 8/ / 3,, e = 1/ C(0,0),, V(-3, 3), F(0, 3), F(-, 3), LR = 3, e = 1/ C(0,0) Sol. V(-3, 6), V(-3, 0), F(-3, 4.3), F(-3,1.), LR = 4, e = 3 / 3, C(-3,3) 3. Un rco tiene form de semielipse con ncho de 10m, siendo su máim ltur de 4m.Encontrr l ltur de dos soportes situdos m del centro del rco. Sol. 30 m 4. El rco de un pso subterráneo es un semielipse de 90m de ncho 30m de ltur. Hllr el ncho situdo 10m de ltur. Obtener l ltur de un punto situdo 0m de l orill. Sol. 4.4m m. Un jrdinero dese trzr un elipse uddo con un lzo dos estcs. Ls estcs ls coloc en los focos de l elipse seprds m. De que longitud será el lzo pr que tdo en ls estcs se pued trzr un elipse de 0.6 de ecentricidd. Sol.11.m IV. HIPÉRBOLA ECUACIÓN ORDINARIA h k b 1 VÉRTICES FOCOS COVÉRTICES V h,k k h b b LR 1 V h,k F h c,k F h,k c B h,k b B h b,k e c / E.trns E.Conjug. b EJERCICIOS PARA RESOLVER 1. Hllr l ecución de l hipérbol en su form ordinri, que tiene su centro en el origen, de cuerdo los siguientes dtos: Vértices 4,0, Focos 6,0 Sol

6 3,0 Focos,0 Focos, ldo recto = Sol., ecentricidd = Sol. e) Vértices 0,, ldo recto =9 Sol. f) Vértices 3, 0, ecentricidd = 4/3 Sol Determinr ls coordends del centro, vértices, focos, longitud del ldo recto, l ecentricidd ls ecuciones de ls síntots de ls siguientes hipérbols , Sol. C (0,0), V(,0), F( 0 ), e= 13,, LR = 9, síntots 3 = Sol. C (0,0), V(0, ), F(0, 13 ), e= 13, LR 9, síntots Sol. C (0,0), V(0, ), F(0, 3 ), e=3/, LR=, síntots 0 3. Encontrr l ecución de l hipérbol con los siguientes dtos. V ( 3, 4 ), V ( 3, 0 ), F ( 3, ), F (3, -1 ). Sol. V (, 4 ), V ( 6, 4 ), ecentricidd = 3/. Sol. F ( 1, 6 ), F ( 1, 0 ), ecentricidd = 3/. Sol. V ( 3, 3 ), V ( 3, -3 ), LR = 8/3 Sol Dd l ecución de l hipérbol, encuentr ls coordends del centro, vértices, focos, l longitud de de ldo recto, l ecentricidd ls ecuciones de ls síntots Sol. C (,1), V (4,1), V (0,1), F (,1), F (-1,1), e= 3/, LR=, Sol. C (-1.3), V (-1,4.3), V (-1,1.), F ( -1, ), F (-1, 3- ), e= / 3, L.R= 8 3,

7 Sol. C (-,-1), F (1,-1), F (-,-1), V ( , -1), V (--,-1), e= 3 /, LR = 8 /, Sol. V (1,-1), V (-,-1), e= 10 / 3, +3+ = 0, -3-1 = 0 EJERCICIOS. 1. Determin l cónic que represent cd un de ls siguientes ecuciones =0 Sol.Prábol Sol.Elipse =0 Sol.Hipérbol =0 Sol.Circunferenci V. COORDENADAS POLARES. 1 r r1 rcos θ θ1 d r Distnci entre dos puntos. r Cosθ ; r Senθ Rectngulres polres. r ; θ rc.tn Polres rectngulres. 1 Áre r1 r Senθ θ1 Áre entre polo dos puntos. EJERCICIOS. 1. Hllr l distnci entre los puntos ddos en coordends polres. 6, 4 10, , 90 Sol..1, Sol , 60, Sol. 3.6

8 1, 4π / 3 3, π / 3 Sol. 4. Hllr el áre de los triángulos cuos vértices son el polo los pres de puntos del ejercicio nterior. Sol. 1.1u 389.1u 3 u 0 3. Trzr l gráfic de l ecución dd en coordends polres. 6 r senθ 4. Trnsformr ls ecuciones rectngulres polres. 3 r 1 cos θ r cos θ 3senθ r 1 senθ 3 6 Sol Sol. Sol. Elipse Sol. Prábol Sol. Circunferenci r Cos. Trnsformr ls ecuciones polres rectngulres e indic de que curv se trt. 4 r 3Cosθ r Cosθ r 3 Senθ r Senθ 4 6 θ 3Sen θ r 4Senθ Sol. 4 0 Circunferenci.

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