ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS"

Transcripción

1 ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS Chí, Octubre de 015 Señores Estudintes grdos Décimos Adjunto encontrrán ls definiciones y los ejercicios que deben relizr de los dos tems pendientes pr l evlución generl del curto periodo, todos los ejercicios deben ser elbordos lgunos en clse y los demás en hojs pr entregr si hy lgun pregunt o inquietud, se resuelve en clse. A continución prece l fech de entreg pr cd curso de cuerdo l horrio de clses sí: 1001, 100, 1004, 1006 (Nov-3-15) 1003 (Nov-5-15) Algunos de los dtos que precen en est presentción corresponden imágenes y conceptos de internet, los ejercicios son del libro de Sntilln grdo 10 Cordilmente, Rosrio Monstoque R Profesor de Mtemátics

2 Excentricidd: (e) en mtemátics, geometrí, stronomí y otrs ciencis excts, es un prámetro que determin el grdo de desvición de un sección cónic con respecto un circunferenci. Vlores de l excentricidd en secciones cónics: Circunferenci e = 0 Elipse 0 < e < 1 Prábol e = 1 Hipérbol e > 1

3 ELIPSE Un elipse es un lugr geométrico de los puntos (x, y) de un plno, que tienen l propiedd de que l sum de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos (F 1 y F ), es constnte e igul, siendo l longitud del eje myor AB de l elipse. 3

4 Prtes de L elipse centro vértice. v 3 vértice... F. F 1 V V foco. 1 V 1 V : eje myor V 3 v 4 : eje menor v 4 foco. eje focl

5 PARTES DE LA ELIPSE Eje myor = Eje menor = b Distnci focl = c F' P PF b c

6 Excentricidd e c b Ltus rectum Se denomin ltus Rectum de l Elipse l segmento de rect perpendiculr l semieje myor, psndo por uno de los focos y cuyos extremos están sobre l elipse. Anlíticmente el Ltus Rectum es: b Ecuciones de ls directrices pr cundo los focos están sobre el eje x x e 0 ; x 0 e Ecuciones de ls directrices pr cundo los focos están sobre el eje y y e 0 ; y 0 e 6

7 Elipse con centro (0,0) y eje myor sobre x Y. v F. F 1 V V 1 X. v 3 X Y b = 1

8 Elipse con centro (0,0) y eje myor sobre y Y. v 4 F 1... V V 1 X.. F v 3 X Y ---- b = 1

9 Elipse con eje focl prlelo l eje x y V 3. F.. F 1 V V 1 (h,k) V 4 x (x - h) (y - k) + b = 1

10 Elipses con eje focl prlelo l eje y V y F 1.. (h,k) V 3 V 4 F. x V 1 (x - h) (y - k) b + = 1

11 ELIPSES EJERCICIOS

12 Si ls coordends de los vértices de un elipse son V (3,0), V(-3,0), V(0,5), V(0,-5) grficr y determinr: 1.Centro.Longitud del semieje myor 3.Longitud del semieje menor 4.Coordends del foco

13 Luego de dibujr l elipse, ubicmos el centro que corresponde l punto medio entre los vértices myores y menores. Por lo tnto el centro es (0,0) L longitud del semieje myor se determin por l longitud del segmento que une el centro con un vértice myor, por lo tnto el semieje myor mide = 5 L longitud del semieje menor se determin por l longitud del segmento que une el centro con un vértice menor por lo tnto el semieje menor mide b= 3

14 Los focos deben ubicrse sobre el eje myor en este cso sobre el eje y entre el centro con un vértice menor. Como mide 5 y b mide 3, entonces clculmos el vlor de c medinte el teorem de Pitágors c = b Luego el resultdo de c es 4 L coordends del foco son F(0,4) y F(0,-4)

15 Ecución Cnónic de l elipse con eje myor sobre el eje x y centro (0,0) x + y b = 1 Ecución Cnónic de l elipse con eje myor sobre el eje y y centro (0,0) x b + y = 1

16 Ecución Cnónic de l elipse con centro en un punto (h,k) y eje myor prlelo l eje x es: (x;h) + (y;k) b = 1 Ecución Cnónic de l elipse con centro en un punto (h,k) y eje myor prlelo l eje y es: (x;h) b + (y;k) = 1

17 Ecución Generl de l elipse es: Ax + By + Cx + Dy + E = 0 pr A, B, C, D, E R Ejemplo hllr ls coordends del centro y de los focos de l elipse cuy ecución generl es: 9x + 4y 54x 40y = 0 PROCESO: Expresmos l ecución generl en form cnónic orgnizndo los trinomios y completndo cudrdo pr fctorizr 9(x 6x+ ) + 4(y 10y+ ) = 145 9(x 6x + 9) + 4(y 10y + 5 =

18 9(x 6x+ ) + 4(y 10y+ ) = 145 9(x 6x + 9) + 4(y 10y + 5 = (x 3) + 4(y 5) = 36 dividimos entre 36 9(x 3) 4(y 5) + = (x;3) 4 + (y;5) 9 = 1 Ls coordends del centro son (3,5) Como c = b c entonces c = 5, c = 5 Ls coordends del foco son: F(3, 5+ 5) y F(3, 5-5) Dibujr en el plno l elipse

19 Expresr en form cnónic cd un de ls ecuciones generles dibujndo y hllndo ls coordends del centro y de los focos de l elipse cuy ecución generl es: 1. 4y + x + 48y + 4x = 0. y + 11x + 36y + 44x = y + 4x 31y + 336x = 0 4. y + 3x 308y 51x + 4 = y + 3x 10y 64x 808 = y + 16x + 7y + 18x + 17 = y + 36x 60y + 16x + 34 = y + 14x y 5x = y + 16x + 11y 160x = y + 17x + 80y + 10x = 0

20 Dibujr y determinr, el centro, los vértices, los focos de cd un de ls siguientes elipses: (x:9) 1. 4 (x;7) (x;3) 4 (x:4) 6 (x;1) 10 + (y:1) 0 + (y;5) 9 + (y:6) 14 + (y:7) 5 + (y;5) 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = (y;8) 1 (x;9) x 8 + (x;9) 14 + y 10 = 1 + (y:8) 13 7 = 1 x + y = x y 81 = 1 = 1

21 Pr los siguientes ejercicios dibujr en el cuderno cd elipse y encontrr los, vértices, los focos, l ecución cnónic de cd un

22 1.

23 .

24 3.

25 4.

26 5.

27 6.

28 7.

29 8.

30 9.

31 10.

32 Hipérbol Un hipérbol es el lugr geométrico de los puntos (x, y) de un plno, tles que el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos (F 1 y F ), es constnte e igul l distnci entre los vértices, l cul es un constnte positiv. F P PF 1 3

33 ofocos: F y F ovértices: V y V oeje trnsverso: VV ocentro: C oeje conjugdo: BB B F V C V F B oldos Rectos: LR y L R. oasíntots

34 Prtes de l Hipérbol C: punto centrl de l hipérbol donde se cruzn ls síntots. Eje trnsversl: líne que une los puntos focles (F 1 y F ). : distnci del vértice l centro sobre el eje trnsversl. Eje conjugdo: líne perpendiculr l eje trnsversl de distnci b. b: punto de corte del eje conjugdo con l circunferenci de centro y rdio c. Directrices, D 1 y D : línes prlels l eje conjugdo. b c Ltus rectum: cuerd que ps por el foco en form prlel l directriz. 34

35 Hipérbol Por definición F P PF 1 x c ( y 0) x c ( y 0) 35

36 Hipérbol - Demostrción b y x b b y x b b c c y x c y c x cx y c x y c x y c x y c x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Dividiendo por Hciendo que Elevndo l cudrdo y reduciendo términos Elevndo l cudrdo y simplificndo PF P F 1 c b

37 HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE X B(0, b) F ( c, 0) V (, 0) V(, 0) F(c, 0) B (0, b)

38 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (0,0) y focos en el eje X x b y 1 Ecución generl de un hipérbol con centro en el origen y focos sobre los ejes de coordends Ax By 1 38

39 Ecución:, Centro: C(0, 0) Coordends de sus vértices: V(, 0) y V (-, 0) Coordends de los extremos del eje conjugdo: B(0, b) y B (0, -b) Coordends de sus focos: F(c, 0) y F (-c, 0) Longitud del eje trnsverso: VV = Longitud del eje conjugdo: BB =b Longitud de cd ldo recto: Excentricidd: Asíntots:

40 HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE Y F(0, c) V(0, ) B ( b, 0) B(b, 0) V (0, ) F (0, c)

41 Ecución:, Centro: C(0, 0) Coordends de sus vértices: V(0, ) y V (0, -) Coordends de los extremos del eje conjugdo: B(b, 0) y B (-b, 0) Coordends de sus focos: F(0, c) y F (0, -c) Longitud del eje trnsverso: VV = Longitud del eje conjugdo: BB =b Longitud de cd ldo recto: Excentricidd: Asíntots:

42 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (0,0) y focos en el eje Y y b x 1 Ecución generl de un hipérbol con centro en el origen y focos sobre los ejes de coordends Ax By 1 4

43 Hipérbol Ecuciones de ls síntots pr cundo el eje trnsversl es el eje x y cundo el eje trnsversl es el eje y b y x ; y x b Ecuciones de ls síntots de un hipérbol con centro en ls coordends (h,k) pr cundo el eje trnsversl es el eje x y cundo el eje trnsversl es el eje y b y k ; b x h y k x h 43

44 Hipérbol Excentricidd e c Ltus rectum b Ecuciones de ls directrices pr cundo los focos están sobre el eje x y cundo están sobre el eje y x ; e y e Ecuciones de ls síntots pr cundo el eje trnsversl es el eje x y cundo el eje trnsversl es el eje y b y x ; y x b 44

45 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (h,k) y eje focl prlelo l eje X Consideremos el centro de l hipérbol el pr ordendo C(h,k) x h y k b 1 Ecución Generl de l Hipérbol Ax By Cx Dy F 0

46 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (h,k) y eje focl prlelo l eje Y y k x h b 1 Ecución Generl de l Hipérbol Ay Bx Cx Dy F 0

47 Ecución Cnónic de l Hipérbol con centro (h,k) Si el centro de l hipérbol tiene coordends (h,k) y eje trnsversl prlelo l eje x x h y k b 1 Si el centro de l hipérbol tiene coordends (h,k) y eje trnsversl prlelo l eje y y k x h b 1 Ecución generl de un hipérbol con centro en ls coordends (h,k) y ejes prlelos los de ls coordends x y y, siendo A y B del mismo signo Ax By Dx Ey F 0 47

48 Dibujr y determinr, el centro, los vértices, los focos de cd un de ls siguientes elipses: (y;3) (x;1) (x;6) 4 (y:) 30 (x;9) 4 - (x:1) 16 (y:) 5 (y:7) 36 - (x;1) 8 - (y:6) 6 = 1 = 1 = 1 = 1 = (y;) 3 (x;) 19 (y;7) x 10 - (x;1) 10 - y 1 = 1 - (x:8) y 9 = y 16 - x 9 = 1 = 1 = 1

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS Colegio SSCC Concepción - Depto. de Mtemátics Eje Temático: SECCIONES CONICAS Unidd de Aprendizje: Ecución de l Elipse Cpciddes/Destrez/Hbiliddes: Resolver/Construir/ Decidir/Anlizr/ Identificr/ Verificr

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Elipse: lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. d(x,f) + d(x,f ) = k LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

Más detalles

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus

Más detalles

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte.

Más detalles

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. LA ELIPSE DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos y f.

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES 4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo SISTEMA DE COORDENADAS Demostrr que los puntos A ( 0,) B (,5) ; C ( 7,) D (, ) son los vértices de un cudrdo. Solución AB 9 6 5 5 BC 6 9 5 5 AD 9 6 5 5 CD

Más detalles

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio. Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece

Más detalles

GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina:

GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina: Elbor: Preprtori Págin 1 de 14 Ciclo escolr 014-015 Docente: Fernndo Vivr Mrtínez I) Producto Crtesino, Relciones y Funciones B determin: 1) Ddos los conjuntos A 0,1,,3 y 4,5,6,7 ) El Producto Crtesino

Más detalles

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN Si hor colocmos l elipse horizontl con centro en el origen, oservremos que no cmin l form ni lgun de sus crcterístics. Si tenímos como ecución

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

MATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad:

MATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad: MATEMÁTICA Unidd Geometrí nlític Objetivos de l unidd: Aplicrás correctmente l geometrí nlític: prábol, elipse e hipérbol l encontrr soluciones diverss problemátics del entorno. 55 Figurs cónics ests son

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen LA HIPÉRBOLA CONTENIDO. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Asíntots de l hipérol Ejemplo 3. Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen Ejemplo 4. Hipérols

Más detalles

Ejercicios de optimización

Ejercicios de optimización Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 6:CÓNICAS 1º BACHILLERATO ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN... 1.1. SUPERFICIE CÓNICA... 1.. CURVAS CÓNICAS... 5. CIRCUNFERENCIA... 6.1. ECUACIÓN COMPLETA DE UNA CIRCUNFERENCIA... 6.1.1.

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

TEMA 2. Geometría elemental y analítica

TEMA 2. Geometría elemental y analítica TEMA 2. Geometrí elementl y nlític En el presente tem nos ocupremos de l geometrí desde dos puntos de vist: geometrí elementl y geometrí nlític. Empezremos viendo los conceptos básicos de trigonometrí,

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

Introducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca

Introducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica I Contenido 1 Introducción 2 La Circunferencia 3 Parábola 4 Elipse 5 Hiperbola Objetivos Se persigue que el estudiante:

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas

UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas 009 UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas Se hace referencia a las definiciones, fórmulas y algunos ejemplos sobre los temas indicados Iván Moyota Ch.

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

UNIDAD 4 LA ELIPSE, LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS

UNIDAD 4 LA ELIPSE, LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS UNIDAD 4 LA ELIPSE, LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS PROPÓSITOS: Refirmr el método nlítico l obtener ls ecuciones de l elipse l circunferenci vnzr en el reconocimiento de forms estructurs,

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos

Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos olígonos Un polígono es l región del plno limitd por tres o más segmentos. lementos de un polígono Ldos: on los segmentos que lo limitn. Vértices: on los puntos donde concurren dos ldos. Ángulos interiores

Más detalles

Secciones cónicas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola.

Secciones cónicas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola. Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Secciones cónics Ls secciones cónics son curvs que pueden otenerse como l intersección de un cono circulr con un plno que no conteng l vértice

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

Funciones & Cónicas. José Alfredo Martínez Valdés

Funciones & Cónicas. José Alfredo Martínez Valdés Funciones & Cónics José Alfredo Mrtínez Vldés Funciones & Cónics José Alfredo Mrtínez Vldés TABLA DE CONTENIDO Pág. Función:... 7 Dominio y rngo de un función... 7 Iguldd de funciones... 8 Funciones pres

Más detalles

Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1

Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD onceptos generles de triángulos rogrm Entrenmiento Desfío GUIEN023MT22-16V1 Mtemátic En l figur, RQ = 24 cm, RS SQ y RM SN. Si M es el punto medio de SQ y N es el punto medio de RQ,

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL Mtemátics pendientes de 1º (º prcil) 1 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES º PARCIAL Fech tope pr entregrlos: 17 de bril de 015 Exmen el 3 de bril de 015

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0

1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0 Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a

Más detalles

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. La Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Características geométricas. a) Vértice. Es el

Más detalles

Universidad Nacional de La Plata

Universidad Nacional de La Plata Universidd Ncionl de L Plt Fcultd de Ciencis Nturles Museo Cátedr de Mtemátic Elementos de Mtemátic Asigntur: Mtemátic Contenidos de l Unidd Temátic nº Rect Cónics. Rect: Ecución vectoril demás forms de

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un

Más detalles

SOLUCIONARIO Poliedros

SOLUCIONARIO Poliedros SOLUCIONARIO Poliedros SGUICES06MT-A16V1 1 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Poliedros Ítem Alterntiv 1 D A Comprensión E B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C 11 E 1 D 1 A 1 C 15 E Comprensión 16 B Comprensión 17

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGIN 13 EJERCICIOS Operciones con ángulos y tiempos 1 Efectú ls siguientes operciones: ) 7 31' 15" 43 4' 57" b) 163 15' 43" 96 37' 51" c) (37 4' 19") 4 d) (143 11' 56") : 11 ) 7 31' 15" 43 4' 57"

Más detalles

CAPÍTULO 6: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO (II)

CAPÍTULO 6: RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO (II) CAPÍTULO 6: ELACIONES MÉTICAS EN EL TIÁNGULO (II) Dnte Guerrero-Chnduví Piur, 015 FACULTAD DE INGENIEÍA Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems CAPÍTULO 6: ELACIONES MÉTICAS EN EL TIÁNGULO (II)

Más detalles

Bloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas

Bloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas Bloque 2. Geometría 4. Iniciación a las Cónicas 1. La circunferencia Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Elevando al cuadrado

Más detalles

de Thales y Pitágoras

de Thales y Pitágoras 8 Teorems de Thles y Pitágors 8.1. Cuents y problem del dí 1. Reliz l siguiente operción: 874,53 + 3 607,8 + 875,084 2. Reliz l siguiente operción, obtén dos decimles en el cociente y hz l prueb de l división:

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Hipérbola con centro en el origen

Hipérbola con centro en el origen ENCUENTRO # 63 TEMA: Hipérbola. CONTENIDOS: 1. Hipérbola con centro en el origen.. Hipérbola concentro (h,k) Hipérbola con centro en el origen Definición 1. Es el lugar geométrico que describe un punto

Más detalles

SECCIONES CÓNICAS. 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar?

SECCIONES CÓNICAS. 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar? SECCIONES CÓNICAS 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar? 2. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO: es una ecuación de la siguiente forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey

Más detalles

Lugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz

Lugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz 1 Lugar Geométrico Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICA. Geometría Analítica

APUNTES DE MATEMÁTICA. Geometría Analítica . Plno Crtesino Rects.... Producto Crtesino... 3 3. Distnci... 3 4. Gráfics de línes rects... 4 5. Ecución de l rect... 6 6. Prlelismo perpendiculridd... 8 7. Sistems de ecuciones lineles... 9 8. Distnci

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Sugerencias para quien imparte el curso Consideramos conveniente realizar todo el proceso de obtención de la ecuación ordinaria de la elipse

Más detalles

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 1 1. Intervlos Ddos dos números reles y,

Más detalles

2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual

2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual MsMtes.com Integrles Selectividd CCNN. [ANDA] [JUN-A] De l función f:(-,+ ) se se que f (x ) = y que f() =. (x+) () Determinr f. () Hllr l primitiv de f cuy gráfic ps por el punto (,).. [ANDA] [JUN-B]

Más detalles

UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS

UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS Objetivos Geometría analítica Introducción L cónica sección cónica Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A B C D E F 4.1. Circunferencia Circunferencia es el conjunto

Más detalles

Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA APLICACIONES DE LA INTEGRAL Práctics Mtlb Práctic Objetivos Profundizr en l comprensión del concepto de integrción. Aplicr l integrl l cálculo de áres y volúmenes Comndos de Mtlb int Clcul de

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 3. Trigonometría I

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 3. Trigonometría I Evlución NMBRE PELLIDS CURS GRUP FECH CLIFICCIÓN 4 L solución de l ecución sen 0,5 es: ) 0 y 50 b) 50 y 0 c) 0 y 0 Si sen 0 0,4, entonces cos 0 será: ) 0,4 b) 0,94 c) 0,4 Un estc de longitud, clvd verticlmente

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Página 1. JTP Ing. Viviana CAPPELLO Tutores educación de distancia: Ing. Chong Arias Ing. Cappello LAS CÓNICAS.

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Página 1. JTP Ing. Viviana CAPPELLO Tutores educación de distancia: Ing. Chong Arias Ing. Cappello LAS CÓNICAS. TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin LAS CÓNICAS. SUPERFICIE CÓNICA: SU GENERACIÓN. Se denominn cónics ls línes plns que se otienen intersectndo jo distintos ángulos, un superficie cónic con un plno.

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Problemas de fases nacionales e internacionales

Problemas de fases nacionales e internacionales Problems de fses ncionles e interncionles 1.- (Chin 1993). Ddo el prlelogrmo ABCD, se considern dos puntos E, F sobre l digonl AC e interiores l prlelogrmo. Demostrr que si existe un circunferenci psndo

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

12. Los polígonos y la circunferencia

12. Los polígonos y la circunferencia l: ldo SLUINI 107 1. Los polígonos y l circunferenci 1. PLÍGNS PIENS Y LUL lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos:? l: ldo? 4. ivide un circunferenci de de rdio en seis prtes

Más detalles

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A Cálculo II Volúmenes de Sólidos M. en C. Ricrdo Romero Deprtmento de Ciencis Básics, UAM-A Grupo CTG87 Trimestre 11-P Grupo CTG87 Trimestre 11-P 1 / Progrm 1 Cálculo de volúmenes prtir de secciones trnsversles

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2 Royl Americn School Profesor An Mendiet Guí de Sustentción Mtemátic 1º medio A Formndo persons: Responsles respetuoss honests y leles 1) Represent en el plno crtesino los siguientes puntos: ) A(-1) d)

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS

COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS 01. Halla la ecuación de la circunferencia de centro ( 5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). 02. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:

Más detalles

BLOQUE III Geometría

BLOQUE III Geometría LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 1 TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 5.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de

Más detalles

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1 M A T E M Á T I C A S Números Reles Enteros Rcionles Positivos Negtivos Nturles (,,,4,5,6... α) Primos (,,5,7,,,7) Pres (... 4,-,0,,4,6,..., ) Impres ( -...,-,-,0,,,5,..., ) Dígitos ( 0,,,,4,5,6,7,8,9

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles