Hipérbola con centro en el origen

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1 ENCUENTRO # 63 TEMA: Hipérbola. CONTENIDOS: 1. Hipérbola con centro en el origen.. Hipérbola concentro (h,k) Hipérbola con centro en el origen Definición 1. Es el lugar geométrico que describe un punto del plano que se mueve de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es siempre constante. Gráfica PF 1 PF =a Elementos C : Centro V 1 y V : Vértices F 1 y F : Focos B 1 y B : Extremos V 1 V = a (eje transverso o real) F 1 F = c (eje focal) B 1 B = b (eje conjugado o imaginario) Condición: c = a + b ;c > b,c > a Excentricidad: e = c a (e > 1) LR = b (lado recto) a l 1 y l : Asíntotas Ejemplo 1.1. Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano, cuya diferencia de sus distancias a los puntos fijos (6,0) y ( 6,0), es igual a 10 unidades. Solución Se obtienen las distancias del punto P(x, y) a los puntos fijos (focos),

2 Y se aplica la definición de hipérbola, PF 1 = (x 6) + y y PF = (x+ 6) + y (x 6) + y (x+ 6) + y = 10 Se despeja un radical y se elevan ambos miembros de la igualdad al cuadrado, ( ) ( ) (x 6) + y = (x+ 6) + y + 10 (x 6) + y = (x+ 6) + y + 10 Al desarrollar se determina que: (x 6) + y = (x+ 6) + y + 0 (x+ 6) + y x 1x +36 +y = x + 1x +36 +y + 0 (x+ 6) + y x= 1x+ 0 (x+ 6) + y ( 1x 1x 100= 0 (x+ 6) + y 4x 100= 0 (x+ 6) + y ) ( 4) (6x+ 5) = ( 5 ) (x+ 6) + y 36x + 300x+ 65= 5 ( x + 1x+ 36+ y ) 36x + 300x+ 65= 5x + 300x y 36x +300x+ 65 5x 300x 900 5y = 0 9x 5y 75=0 Ejercicios propuestos 1. Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que la diferencia de sus distancias a los puntos ( 3,0) y (3,0), es siempre igual a 4.. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que la diferencia de sus distancias a los puntos ( 5,0) y (5,0), es siempre igual a Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que la diferencia de sus distancias a los puntos (0, 7) y (0,7), es siempre igual a Obtén la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que la diferencia de sus distancias a los puntos (0,4) y (0, 4), es siempre igual a Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que la diferencia de sus distancias a los puntos (7,0) y ( 7,0), es siempre igual a 4.

3 Elementos de la hipérbola Hipérbola horizontal centro en el origen Ecuación canónica Elementos x a y b = 1 Vértice: V (±a, 0) Focos: F (±c,0) Extremos conjugados: B(0, ±b) Ecuaciones de las asíntotas: l 1 : y = b a x l : y = b a x Hipérbola vertical centro en el origen Ecuación canónica Elementos y a x b = 1 Vértice: V (0, ±a) Focos: F (0,±c) Extremos conjugados: B(±b, 0) Ecuaciones de las asíntotas: l 1 : y = a b x l : y = a b x

4 Para las hipérbolas horizontales y verticales se tiene que: Condición: c = a + b ; c > b,c > a, excentricidad: e = c b (e > 1), lado recto: LR = a a. Eje transverso: a, eje conjugado: b, eje focal: c Dado la ecuación, obtener sus elementos obtener Ejemplo.1. Determina los elementos y traza la gráfica de la hipérbola, cuya ecuación es: 16x 9y 144=0 Solución Se transforma la ecuación a la forma canónica: 16x 9y 144=0 16x 9y = 144 Se divide entre el término independiente y se simplifica: 16x 144 9y 144 = x 9 y 16 = 1 La ecuación representa un hipérbola horizontal de la forma: x a y b = 1 De la cual se obtiene el semieje transverso a y el semieje conjugado b: a = 9 a= 3 y b = 16 b= 4 Se aplica la condición para encontrar el valor de c (distancia del centro al foco) c = a + b = 9+16= 5=5 Al sustituir a= 3,b= 4,c = 5, se obtiene: Ecuación canónica Elementos x a y b = 1 Vértice: V (±3, 0) Focos: F (±5,0) Extremos conjugados: B(0, ±4) Ecuaciones de las asíntotas: l 1 : y = 4 x 4x 3y = 0 3 l : y = 4 x 4x+ 3y = 0 3

5 Lado recto: LR = b a = (4) 3 = 3 3 Eje transverso: V 1 V = a= (3)=6 Eje focal: F 1 F = c = (5)=10 Eje conjugado: B 1 B = b= (4)=8 Excentricidad: e = c a = 5 3 Ejemplo.. Determina los elementos de hipérbola cuya ecuación es: 16x 5y + 400=0 Solución Se transforma la ecuación 16x 5y + 400=0 a su forma canónica: 16x 5y = x 400 5y 400 = x 5 + y 16 Se divide entre el término independiente = 1 Se simplifican las fracciones y 16 x = 1 Ecuación en forma canónica 5 Es una hipérbola vertical de la forma: y a x b = 1 De la cual a = 5 y b = 16, por tanto, a= 5 y b= 4. El valor de c es: c = a + b = 5+16= 41. Con los valores a= 5, b= 4 y c = 41, se determinan los elementos y la gráfica. Ecuación canónica Elementos x a y b = 1 Vértice: V (0, ±5) Focos: F (0,± 41) Extremos conjugados: B(±4, 0) Ecuaciones de las asíntotas: l 1 : y = 5 x 5x 4y = 0 4 l : y = 5 x 5x+ 4y = 0 4 Lado recto: LR = b a = (4) 5 = 3 5

6 Eje transverso: V 1 V = a= (5)=10 Eje focal: F 1 F = c = ( 41 ) = 41 Eje conjugado: B 1 B = b= (4)=8 Excentricidad: e = c a = 41 5 Ejercicios propuestos Determina los elementos de las siguientes hipérbolas: 1. x 81 y 9. x y 3. y 4 = 1 8 x 5 = x 5y 0= x 9y 144=0 6. 4y x 4=0 7. 5y 16x + 400=0 8. 5x 6y + 30=0 9. 1x 5y 60=0 Dados sus elementos, obtener la ecuación Ejemplo 3.1. Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (±8,0) y (±10;0), respectivamente? Solución Estamos en presencia de una hipérbola horizontal con centro en el origen porque los vértices y los focos se ubican sobre el eje x. En este caso el semieje transverso a= 8 y semieje focal c = 10. El valor de b es: b= c a = 10 8 = 36=6 Los valores de a= 8 y b= 6 se sustituyen en la ecuación: x a + y b = 1 Y se obtiene la ecuación de la hipérbola Ejemplo 3.. ( 3,0) y el lado recto. Solución x 64 + y 36 = 1 36x + 64y = 304 Determina la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, uno de sus focos, el punto De los elementos que se tiene resulta que:

7 c = 3 y b a = se despeja b de la fórmula del lado recto en términos de a: b = a Se sustituyen en la condición los valores de c y b, se simplifica y resuelve la ecuación. c = a + b ( 3 ) = a + a Por tanto a= 1=a + a a + a 1=0 (a+ 3 )(a )=0 a= 3 a= Se sustituye en la fórmula x a y b = 1 Ejercicios propuestos x ( ) y b = ( ) = 4 b= x = 1 () 8 y 4 = 1 x y 8=0 Determina la ecuación de la hipérbola que cumpla con las siguientes características: 1. V (0,±3) y F (0,±4). V (±4,0) y F (±5,0) 3. V (0,±6) y F (0,±10) 4. V (±,0) y F (± 3,0) 5. V 1 (3,0), V ( 3,0) y lado recto= F 1 (0, 41), F (0, 41) y lado recto= 5 7. Centro en el origen, vértice y foco en los puntos ( 3,0) y (4,0) respectivamente y eje conjugado sobre el eje de las ordenadas. 8. Centro en el origen, eje conjugado sobre el eje de las ordenadas, lado recto 3 y excentricidad 6 9. Extremos del eje conjugado B 1 (0,1), B (0, 1) y excentricidad e = 10 3

8 Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h,k) Elementos y ecuación Hipérbola horizontal Ecuación Ordinaria (x h) (y k) a b = 1 Elementos Vértices:V (h± a,k) Focos: F (h± c,k) Extremos del eje conjugado B(h,k± b) Ecuaciones de las asíntotas: l 1 : y k = b (x h) a l : y k = b a (x h) Hipérbola vertical Ecuación Ordinaria (y k) (x h) b a = 1 Elementos Vértices:V (h,k± a) Focos: F (h,k± c) Extremos del eje conjugado B(h± b,k) Ecuaciones de las asíntotas: l 1 : y k = a b (x h) l : y k = a (x h) b

9 Para hipérbolas horizontales o verticales se tiene que: Condición: c = a + b ;c > b,c > a, excentricidad: e = c b, (e > 1), lado recto: LR = a a Ecuación general dela hipérbola: Con A y C de signo contrario. Ax + B y + Dx+ E y+ F = 0 Dada la ecuación obtener sus elementos Ejemplo 3.3. Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es: 4y 9x + 8y 54x 113= 0. Solución 4y 9x + 8y 54x 113=0 4y + 8y 9x 54x= 113 4(y + y) 9(x + 6x)=113 Se factoriza los coeficientes de los términos cuadráticos 4(y + y+ (1) ) 9(x + 6x+ (3) )=113+4(1) 9(3 ) Se completa el trinomio cuadrado perfecto 4(y + y+ 1) 9(x + 6x+ 9)= (y+ 1) 9(x+ 3) = 36 Se dividen ambos miembros entre 36 para obtener la ecuación en su forma ordinaria. 4(y+ 1) 9(x+ 3) = 36 (y+ 1) (x+ 3) = Es una hipérbola vertical de elementos: Centro: ( 3, 1); a= 9=3 y b= 4= El valor de c es: c = a + b = 9+4= 13 Los elementos se obtienen al sustituir:

10 Vértices: V (h,k± a) V 1 ( 3, 1+3)=( 3,) V ( 3, 1 3)=( 3, 4) Focos:F (h,k± c) F 1 ( 3, 1+ 13)=( 3,.6) F ( 3, 1 13)=( 3, 4.6) Extremos del eje conjugado: B(h ± b, k) B 1 ( 3+, 1)=( 1, 1) B ( 3, 1)=( 5, 1) Lado recto: LR = b a = (4) 3 = 8 3 Eje transverso: V 1 V = a= (3)=6 Eje focal: F 1 F = c = 13 Eje conjugado: B 1 B = b= ()=4 Excentricidad: e = c a = 13 3 Asíntotas: l 1 : y k = a b (x h) l 1 : y+ 1= 3 (x+ 3) 3x y+ 7= 0 l : y k = a b (x h) l 1 : y+ 1= 3 (x+ 3) 3x+ y+ 11= 0 Ejemplo 3.4. Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es 5x 4y 150x 16y+109= 0 Solución Primero hay que determinar la ecuación ordinaria de esta hipérbola. 5x 4y 150x 16y+ 109= 0 5x 150x 4y 16y = 109 ordenar y agrupar las variables y transponer el termino independiente 5(x 6x) 4(y + 4y)= 109 Extraer factor común para cada variable 5(x 6x+ (3) ) 4(y + 4y+ () )= 109+5(3) 4() Completar cuadrados 5(x 6x+ 9) 4(y + 4y+ 4)= (x 3) 4(y+ ) = 100 5(x 3) 4(y+) = (x 3) 4 (y+) 5 = 1 En este caso la hipérbola es horizontal y sus elementos son: Centro: (3, ); a= 4=, b= 5=5 Factorizar los trinomios 100 se dividen ambos miembros por 100 El valor de c es: c = a + b = 5+4= 9 Los elementos se obtienen al sustituir:

11 Vértices: V (h± a,k) V 1 (3+, )=(5, ) V (3, )=(1, ) Focos:F (h± c,k) F 1 (3+ 9, )=(8.38, ) F (3 9, )=(.38, ) Extremos del eje conjugado: B(h, k ± b) B 1 (3, +5)=(3,3) B (3, 5)=(3, 7) Lado recto: LR = b a = (5) = 10 = 5 Eje transverso: V 1 V = a= ()=4 Eje focal: F 1 F = c = 9 Eje conjugado: B 1 B = b= (5)=10 Excentricidad: e = c a = 9 Asíntotas: l 1 : y k = b a (x h) l 1 : y+ = 5 (x 3) 5x y 19= 0 l : y k = b a (x h) l 1 : y+ = 5 (x 3) 5x+ y 11= 0 Ejercicios propuestos Determina los elementos de las siguientes hipérbolas: (x+3) 5 (y 4) 9 = 1 x 9 (y+) 4 = 1 y 4 (x+ 1) = 1 4. x 4y x+ 16y 7= 0 5. y 4x + y+ 8x 39= y 4x 0y 8x+ 36= 0

12 7. 16x 9y + 64x+ 18y 89= x 3y + 8x+ 30y 83= 0 Dados sus elementos obtener la ecuación Ejemplo 3.5. Determina la ecuación general de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (,3) y (6,3), un foco se localiza en el punto (7,3). Solución Si analizamos elementos que nos brinda el ejercicio V (,3), V 1 (6,3) y F (7,3) podemos concluir que es una hipérbola horizontal porque los vértices se desplazan en el eje x. También se puede deducir que el centro es C (,3) porque es el punto medio entre los vértices. Tenemos que a= 4 y c = 5, para determinar b se sustituyen los valores en la condición; obteniéndose: b= c a = (5) (4) = 5 16= 9=3 Se sustituyen los valores a,b y el centro C (,3) en la ecuación del tipo: (x ) (y 3) = Para[ obtener la ecuación ] general se debe desarrollar la expresión anterior: 114 (x ) (y 3) = (x ) 16(y 3) = 114 9(x 4x+ 4) 16(y 6y+ 9)=114 9x 36x y + 96y 96= 114 9x 36x y + 96y = 0 9x 16y 36x+ 96y 176= 0 (x h) (x k) a b = 1 Ejercicios Propuestos 1. Determina las ecuaciones de las hipérbolas que cumplan con las siguientes condiciones: (a) F 1 (5,1), F ( 5,1), V 1 (3,1), V ( 3,1) (b) F 1 (8,), F (,) y excentricidad e = 5 4 (c) F 1 (1,6), F (1,0), V 1 (1,5), V (1,1) (d) F 1 ( 3,3), F ( 9,3) y LR = 5. Longitud del lado recto igual a y extremos del eje conjugado, los puntos ( + 5, 3) t ( 5, 3)

13 3. Extremos del eje conjugado, los puntos ( 1+ 7) y ( 1 7,3), e = Centro en (1,3), eje transverso paralelo al eje X, excentricidad e = 5 4 y LR = 9 Ejercicios de entrenamiento 1. La ecuación de la Hipérbola que tiene centro en (, ), uno de sus vértices es el punto (0, ) y la longitud de su lado recto es 8, está dada por: (UNI-005-D) (x ) (y+ ) A) = (x+ ) (y ) B) = (x ) (y+ ) C) = D) y 16 x = 1 E)x y 15 = 1. La ecuación de la Hipérbola que tiene sus focos en (0,±4) y sus vértices son (0,±1) está dada por: (UNI-009-E) A)y x y = 1 B) x = 1 C)y x y = 1 D) x = 1 E)x y 15 = 1 3. La ecuación de la hipérbola con centro en el origen, un vértice en el punto (0,3), un foco en el punto (0,5) está dada por: (UNI-009-A) A) y 9 x 16 = 1 B) x (y 3) = C) y 16 x 9 = 1 D) y 9 x 5 = 1 (y 3) E) 5 x 16 = 1 4. El lugar geométrico correspondiente a la ecuación 9x 6x 4y 4y = 36 es: (UNI-013-D) A)Circunferencia B)Elipse C)Hipérbola D)Parábola E)Vacío 5. La ecuación de la hipérbola con centro en el origen, el eje transverso sobre el eje Y, y que pasa por los puntos (4,6) y (1, 3) es: (UNI-013-E) A)4x 9 = 36 B)9y 5x = 36 C)5y 9x = 36 D)36x 4y = 36 E)9y 4x = 36

14 6. La excentricidad de la hipérbola y 4x = 4 (UNI-015-B) A) 3 B) 3 C) 5 D) 5 E)1 7. La ecuación de la hipérbola que tiene vértices en (0,±6) que tiene como asíntotas las rectas y = ± 1 3 x, está dada por: (UNI-015-C) A)9x y = 36 B)y x = 36 C)9y x = 34 D)9x y = 34 E)9y + x = La excentricidad de la hipérbola 3y 4x = 1 (UNI-016-D) A) + 3 B) 7 C) 3 D) 3 E) 7