UNIDAD 4 LA ELIPSE, LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS

Transcripción

1 UNIDAD 4 LA ELIPSE, LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS PROPÓSITOS: Refirmr el método nlítico l obtener ls ecuciones de l elipse l circunferenci vnzr en el reconocimiento de forms estructurs, en l formulción de conjeturs en l resolución nlític de problems de corte euclidino. INTRODUCCIÓN. En est siguiente unidd se trtn tres de ls curvs llmds cónics. El origen del nombre ls curvs se remontn l civilizción grieg lrededor del siglo III. C. Fue Apolonio de Perg (6 00.C. strónomo tlentoso) quien escribió sobre un grn vriedd de tems mtemáticos, su fm esencilmente se debe sus escritos sobre ls secciones cónics en donde el método utilizdo está mucho más próimo los métodos de l geometrí nlític ctul que los métodos purmente geométricos de su époc. Los griegos obtuvieron ls curvs l cortr conos (de rcill) con cuchillos, los nombres elipse e hipérbol los utilizó Apolonio, fue Arquímedes (87 1. C) el que utilizó el de prábol. Los nombres fueron utilizdos nteriormente por los pitgóricos (siglo VI.C.) l resolver ecuciones cudrátics por el uso de áres. Circunferenci Elipse Hipérbol Prábol 9

2 SECCIÓN 1. LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Se pretende que reconozcs l elipse como lugr geométrico, que prtir de su trzo determines lguns de sus propieddes sí como sus elementos de mor importnci. Eisten vrios métodos pr trzr un elipse, entre ellos est el llmdo método del jrdinero que consiste en lo siguiente: ACTIVIDAD 1. En un crtulin, crtón o culquier mteril donde pueds insertr un pr de chinches, tchuels o clvos, colóclos un distnci de 10 15cms. sujet en ellos un cordón de más de 15cms. de lrgo. Después con l punt de un lápiz mnteniendo el cordón tenso, podrás trzr un figur como l que se muestr. P P clvo 1 clvo P Te podrás dr cuent que: 1) Pr culquier punto P en l curv, l sum de distncis de P cd un de los clvos es igul :? ) Trz vrios csos cercndo o lejndo los clvos : siempre se obtiene un elipse? qué curv se form si los clvos coinciden? qué curv se form cundo lejs los clvos l máimo? L respuest del inciso (1) nos permite observr l propiedd que cumplen todos los puntos de l elipse. L elipse es el conjunto de puntos, tles que l sum de ls distncis de un punto cd uno de los puntos fijos es constnte, cu longitud es l del cordón. Actividd de investigción: Eistirá lgún método de trzr elipses con regl compás? Cuál será el método más sencillo de trzr elipse? Si colocmos l figur nterior en un plno crtesino se podrán determinr ls prtes o elementos de l elipse: 93

3 L ubicción más sencill es l siguiente: se trz el eje de bsciss sobre los puntos fijos el eje de ordends se trz perpendiculrmente l eje de bsciss por el punto medio entre los puntos fijos. Observ que l figur sí trzd qued simétric con respecto de los dos ejes. B P P A F F A P B Lee con cuiddo complet ls proposiciones: Los puntos fijos se denominn focos se les socirán ls coordends F(c, 0) F (-c, 0). L distnci entre los focos es. El punto medio entre los focos es el centro de l elipse, en este cso el centro tiene coordends. Los puntos de intersección de l elipse con los ejes de coordends se denominn, vértices de l elipse: En ls elipses, los vértices que están sobre el mismo eje que los focos se les denomin vértices del eje mor tienen socidos ls coordends: A(, 0) A (-, 0). De mner que l longitud del eje mor será. Los vértices que no estén en el mismo eje que los focos serán los vértices del eje menor sus coordends socids serán B(0, b) B(0, -b). De mner que l longitud del eje menor será. Not: Pr que eist l elipse es necesrio que c < o tmbién que c <. De mner que ls coordends de los focos deben ser menores que ls de los vértices del eje mor. Un cuestión importnte es l ecentricidd, l cul est dd por l rzón c, por l not nterior sbemos que 0 < c < dividiendo cd prte entre se obtiene 0 < c <, de mner que c 0< <1. L ecentricidd, se denot por e = c su vlor que está entre cero uno nos d informción sobre l redondez o estirmiento de l curv. 94

4 e csi 0 e csi 1 Otro elemento de l elipse es el siguiente: Un segmento que une dos puntos culesquier de l elipse se denomin cuerd. Ls cuerds que psn por los focos son perpendiculres l eje mor se b denominn ldos rectos de l elipse miden lr = Eisten situciones que se socin elipses como son: L órbit de l tierr de los plnets en generl son trectoris elíptics donde uno de sus focos es l posición del Sol. Tmbién l lun tiene un órbit elíptic lrededor de l tierr. El comet Hle tiene un órbit elíptic donde uno de los focos es el Sol. Alguns veces se usn engrnes elípticos, con centros de rotción en los focos. Ls rects que unen los focos con culquier punto de l elipse, formn ángulos igules con l rect tngente l elipse en dicho punto. Por lo que si se colocrá un fuente de luz o de sonido en uno de los focos está se reflejrí en el otro foco. Un de ls cámrs del Cpitolio de Wshington, tiene un bóved de form elipsoide l cul se le llm bóved de los murmullos, pues lo que se dice, unque se en voz bj, en uno de los focos, será escuchdo en el otro foco. ACTIVIDAD. Contest ls siguientes pregunts. 1) Cuál es l form de l elipse si F F se lejn del centro O están más cerc de A A? Trz un dibujo. ) Cuál es l form de l elipse si F F coinciden respectivmente con A A? Trz un dibujo. 3) Cuál es l form de l elipse si F F están más cer del centro O? Trz un dibujo. 4) Cuál es l form de l elipse si F F coinciden con el centro O? Trz un dibujo. 95

5 5) En l siguiente elipse hz que P coincid con B, como B es un punto de l elipse, cumple con: B P FB +F B = A F O F B A Con bse en los triángulos F OB BOF, complet ls respuests: ) Los ldos OF OF son cd uno mide b) OB es ldo de los dos triángulos su medid es c) Los ángulos F OB BOF son d) De mner que los triángulos son congruentes por el criterio e) Puedes concluir que es igul: c + b =? El resultdo del inciso (e) es mu importnte, por que relcion los vlores de ls coordends de los focos con los vlores de ls coordends de los vértices de los ejes mor menor. SECCIÓN. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA ELIPSE. Se mostrrá un método sencillo pr obtener l ecución crtesin de l elipse que tiene centro en O(0, 0), eje mor sobre eje X eje menor sobre eje Y. Según l propiedd de los puntos de l elipse, se cumple que l sum de ls distncis de sus puntos cd uno de los focos es constnte e igul. B P(, ) A F (-c, 0) F(c, 0) O B A 1) Escribiendo ls distncis: d(p, F) + d(p, F ') = ( c) + + ( + c) + = ) Otr mner conveniente es: ( + c) + = ( c) + 3) Elevndo l cudrdo mbos miembros desrrollndo se obtiene: 96

6 + c + c + = 4 4 ( c) + + c + c + 4) Al simplificr términos semejntes se obtiene: 4c = 4 4 ( c) + 5) Dividiendo entre (4) socindo como: c = ( c) + 6) Elevndo l cudrdo mbos miembros, desrrollndo simplificndo: c + 4 = + c + 7) Escribiendo como: c = c 4 8) Multiplicndo por (- 1) mbos miembros: c + = 4 c 9) Fctorizndo en mbos miembros: ( c ) + = ( c ) 10) Por el resultdo de l Actividd, ( c = b ) entonces l sustituir en l epresión nterior se obtiene: b + = b 11) Al dividir mbos miembros entre b, se obtiene: b L cul es llmd ecución de l elipse en form ordinri. Tomndo en cuent l ecución del inciso (11), complet ls proposiciones siguientes: Ls coordends del centro de l elipse son: Los vértices del eje mor está sobre el eje: sus coordends son:. Los vértices del eje menor está sobre el eje: sus coordends son:. Ls coordends de los focos son: ACTIVIDAD 3. De mner similr se determin l ecución crtesin de l elipse que tiene centro en O(0, 0), eje mor sobre eje Y eje menor sobre eje X. F B A(0,) P(,) F (0,-c) B(b,0) b 97

7 Como resumen escribimos que; l ecución crtesin de un elipse de centro el origen cuos ejes coinciden con los ejes coordendos. Primer cso: Focos sobre el eje X: longitud entre los focos c, longitud del eje mor l longitud del eje menor b. >c >b relcionds por : =b +c ecución: b ldo recto (lr) B P(,) b lr = c e= A F F(c,0) B (0,-b) A(,0) No se colocron tods ls coordends de los puntos pr que el dibujo fuer entendible Segundo cso:: Focos sobre el eje Y: longitud entre los focos c, longitud del eje mor l longitud del eje menor b. >c >b relcionds por : =b +c A(0,) ecución: b ldo recto (lr) F B P(,) B(b,0) b c lr = e = A F (0,-c) SECCIÓN 3. APLICACIONES DE LA ELIPSE En est sección se resolverán problems diversos de elipse con centro en el origen de coordends. En geometrí nlític h dos problems fundmentles: El primero: Conocid un ecución interpretrl geométricmente, es decir construir su gráfic correspondiente. El segundo: Conocid l figur geométric, o l condición que deben cumplir los puntos de l mism, determinr su ecución 98

8 Pr hcer el estudio más sencillo conviene nlizr los dos problems por seprdo. Comenzremos con problems del primer tipo: conocid un ecución trzr su gráfic. Ejemplo 1. Conocids ls ecuciones de lguns elipses con centro en el origen, trzr sus gráfics, dndo sus dtos. 5 9 Como l vrible est sobre el mor vlor (5), l elipse que represent es del primer tipo (horizontl) con focos sobre el eje X. Pr determinr los elementos, de l elipse se hcen ls comprciones: = 5 = ± 5 vértices del eje mor son A(± 5, 0). b = 9 b = ± 3 vértices del eje menor son B(0, ± 3) Por l relción = b + c, obtenemos que - b = c, de mner c = 5 9 = 16 c = ± 4 focos son F(± 4, 0) b 9 18 Longitud del ldo recto es: lr = = = 5 5 L ecentricidd es: e= c 4 = = F(3, F(-4,0) F'(-4,0) F(4,0)

9 ACTIVIDAD 4. Llen los espcios en blnco: 4 9 Como el vrible est sobre el mor vlor (9) entonces l elipse está en posición verticl, los focos están en el eje Y. Comprndo l ecución con ls fórmuls del segundo cso, se tiene: = = vértices eje mor. A(, ) b = b = vértices eje menor B(, ) Por l relción = b + c, obtenemos que - b = c de mner c = = c = focos F(, ) b Longitud del ldo recto es: lr = = = L ecentricidd es: c e= = = Ubic los vértices focos, sobre los focos trz un segmento perpendiculr l eje Y, que teng un mgnitud igul l del ldo recto. Trz l elipse que ps por los vértices por los etremos del ldo recto. ACTIVIDAD 5. Llen los espcios en blnco: No siempre se d l ecución en form simplificd como es el siguiente cso: = 34 Este tipo de problems se resuelve dividiendo tod l ecución entre el término independiente pr obtener l iguldd con 1, en este cso dividimos entre 34 obteniéndose: = = + = Ahor l ecución est simplificd observmos que es como en el ejemplo 1. L ecución es de un elipse horizontl con focos en el eje X. = = vértices eje mor A(, ) b = b = vértices eje menor B(, ) Por l relción = b + c, obtenemos que - b = c de mner c = = c = focos F(, ) b Longitud del ldo recto es: lr = = = = 100

10 L ecentricidd es: c e= = = Ubic los vértices focos, sobre los focos trz un segmento perpendiculr l eje X, que teng un mgnitud igul l del ldo recto. Trz l elipse que ps por los vértices por los etremos del ldo recto. ACTIVIDAD 6. Llen los espcios en blnco: Un problem de otro tipo: = 0. El término independiente, por el que vmos dividir, no es el cero verdd?. Acomodndo l ecución se tiene: 3 + = 4 de mner que dividiremos l ecución entre = = L ecución es de un elipse verticl con focos en el eje Y. = = vértices eje mor A(, ). b = b = vértices eje menor B(, ). Por l relción = b + c, obtenemos que - b = c de mner que c = = c = focos F(, ). b Longitud del ldo recto es: lr = = = L ecentricidd es: c e= = = Ubic los vértices focos, sobre los focos trz un segmento perpendiculr l eje Y, que teng un mgnitud igul l del ldo recto. Trz l elipse que ps por los vértices por los etremos del ldo recto. EJERCICIOS 1. Determinr los elementos de ls siguientes elipses (centro, ejes, vértices, focos, ldo recto ecentricidd). Trzr l grfic correspondiente. 1) 3) ) 4 9 4) ) = 36 6) 4 + = 16 7) = 144 8) + 4 =

11 Ahor se trtrá el problem inverso: conocidos lgunos dtos de elipses que tienen el centro en el origen, hllr ls ecuciones los elementos fltntes. Ejemplo. Ls condiciones de l elipse son: = 8, b = 3 eje focl sobre eje X. Solución: Como el eje focl está en el eje, entonces l elipse es verticl tiene vértices en A(± 8, 0) B(0, ± 3). El vlor de c se determin por l relción = b + c de mner que: c= - b c= 64-9= 55, los focos están en, F(± 55, 0) L ecución, el ldo recto su ecentricidd son: =1 lr = = e= = Ejemplo 3. Ls condiciones son: = 11, c = 5 eje mor sobre el eje Y. Solución: Los focos los vértices están en F(0, ± 5) A(0, ± 11) El vlor de b se determin por l relción = b + c de mner que: b= - c = 11 5 = 96, luego los vértices están en B(± 96, 0) L ecución, el ldo recto su ecentricidd son: =1 lr = = e= = ACTIVIDAD 7. Complet el nálisis o ls operciones: Determinr l ecución de l elipse cundo b = 3, su ldo recto 3, el eje mor sobre el eje Y. Solución: te conviene hcer un pequeñ gráfic de los dtos pr precir l posición de l elipse. De cuerdo los dtos l elipse estrá en posición b Con l fórmul del ldo recto, tienes que: lr = = =3 hciendo operciones obtienes que =, se conocen b luego l ecución result ser: ACTIVIDAD 8. Complet el nálisis o ls operciones: Determinr l ecución de l elipse cundo ls condiciones de l elipse son: un foco es (5, 0) e = 3. 10

12 Primero tienes que c = 5 por el dto del foco F(5, 0) demás está en el eje X, de mner que l elipse est en posición: c 5 Por l fórmul de l ecentricidd se sigue que: e= = = hciendo 3 operciones obtienes que el vlor de =, tienes c de mner que pr encontrr el vlor de b se us l relción = b + c hciendo operciones encuentrs que b = L ecución result ser: EJERCICIOS. Conocids ls siguientes condiciones, escribe un ecución de l elipse que teng centro C(0, 0) trzr l gráfic. 1) = 6, b = 4, focos sobre eje Y. ) = 6, c = 4, focos sobre eje X. 3) = 6, ldo recto = 3, focos sobre eje Y. 4) b = 4, ldo recto = 4, focos sobre eje X. 5) = 9, b = 5, vértices del eje mor sobre eje X. 6) b = 3, c = 4, vértices del eje mor sobre eje Y. 7) Vértices A( ± 5, 0) focos F( ± 4, 0). 8) Un foco F(0, ± 3) b = 4. Problems diversos de elipse con centro en C(h, k) Primer cso: Centro en C(h, k) focos sobre eje prlelo l eje X. >c =b +c (-h) (-k) + =1 b b lr = c e= ldo recto (lr) B M(,) A F F(h+c,k) B (h,k-b) fig. 4 C(h,k) A(h+,k) Segundo cso: Centro C(h, k) focos sobre eje prlelo l eje Y. 103

13 >c =b +c A(h,k+) M(,) (-h) (-k) b ldo recto (lr) B F B(h+b,k) b lr = c e= C(h,k) fig. 5 F (h,k-c) A Se hbrá observdo que ls fórmuls de ldo recto, ecentricidd, l relción entre los elementos no cmbin sólo cmbin ls fórmuls de l elipse, los vértices los focos. Ejemplo 4. Conocid l ecución de un elipse: 4( - 3) + ( + 5) = 4, determinr todos sus dtos pr trzr su gráfic. En éste cso, se divide l ecución entre 4 pr tener l iguldd uno. 4(-3) +(+5) =4 (-3) (+5) 4 + = (-3) (+5) + =1 A(3,-3) 1 4 El centro es: C(h, k) = C(3, -5) El vlor de b se determinn fácilmente: = 4 =± 4 =± b =1 b=± 1 b=± 1 B(4,-5) De mner que el vlor de c: =b +c 4= 1+ c c=± 3 Los focos vértices se determinn prtir de ls coordends del centro: (1) F(3, -5 ± 3 ), A(3, -5 ± ), B(3 ± 1, -5), lr = = 1, e = =. 104

14 Ejemplo 5. Un cso en el que se requiere de vris cuestiones lgebrics es cundo se d l ecución de l elipse en form generl. Lo que se debe hcer es psr está ecución su form cnónic o estándr = 0 16( 4) + 7( + 6) = -15 se fctorizó el coeficiente de los términos cudráticos. 16( ) ( ) = se completron los trinomios cudrdos perfectos sumndo en mbos miembros l mism cntidd. 16( 4 + 4) + 7( ) = (4) + 7(9) 16( ) + 7( + 3) = 11 Se fctorizron los trinomios cudrdos perfectos. 16( - ) + 7( + 3) = 11 Se dividió l epresión entre el término independiente ( ) 7( + 3) 11 + = ( ) ( + 3) Se simplificron los numerdores denomindores ( ) ( + 3) 7 16 L ecución represent un elipse verticl con centro en C(, -3). El vlor de b se determinn fácilmente: =16 =± 4 b =7 b=± 7 De mner que el vlor de c: =b +c 16= 7 + c c=± 3 Los elementos son: F(, -3 ± 3 ), A(, -3 ± 4 ), B( ± 7, -3), lr = ( 7 ) = 7, e = =. ACTIVIDAD 9. Complet el nálisis o ls operciones, pr determinr los elementos de l elipse trzr su gráfic: = 0 4( - ) + 5( - 8) = -64 se fctorizó el coeficiente de los términos cudráticos. 105

15 completr los trinomios cudrdos perfectos 4( - + ) + 5( = ) El resultdo simplificdo es: 4( - + ) + 5( ) = ( ) + 5( ) fctorizndo los trinomios cudrdos perfectos: 4( - ) + 5( - ) = 0 dividiendo l epresión entre el término independiente: 4( - ) + 5( - ) = 0 0 se obtiene l ecución de l elipse en su form cnónic: ( 1) ( 4) 5 4 L ecución represent un elipse horizontl con centro en C(, ). El vlor de b se determinn fácilmente: = =± b = b=± De mner que el vlor de c = Los elementos son: F(, ), A(, ), B(, ), lr = ( ) =, e = EJERCICIOS 3. 1) Determinr todos los dtos de l elipse trzr l gráfic: = 0 ) Dr l ecución de l elipse cuos vértices son los puntos (-6, 8) (6, 8), los focos son los puntos (-, 8) (, 8). 3) Determinr l ecución de l elipse trzr l gráfic cundo: F(3, 5), F (-3, 5), longitud del eje menor es 8. 4) Hllr l ecución del lugr geométrico de un punto que se mueve de tl mner que l sum de ls distncis los puntos F(, -3) F (-, -3) es siempre 6. 5) Determinr todos los dtos de l elipse trzr l gráfic: /16 = 0 6) Determinr todos los dtos de l elipse trzr l gráfic: = 0 7) Determinr todos los dtos de l elipse trzr l gráfic: = 0 106

16 8) Dr l ecución de l elipse que tiene e = 1/ los vértices del eje mor están en (-3, 4) (5, 4) SECCIÓN 4. LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO. En est sección se pretende que reconozcs l circunferenci como el lugr geométrico que se encuentr con mor frecuenci en nuestro entorno, obtener el lugr geométrico de l circunferenci como cso límite de l elipse, identificr los elementos que determinn l circunferenci, sí como definirl como un lugr geométrico. L circunferenci es un figur geométric que l igul que otrs está presente en nuestro entorno, es mu probble que en este momento pueds observr lguns como es: en ls moneds, en l bse de lgunos vsos, ls tps de ls botells, en los nillos etc. ACTIVIDAD 10. Construe eplic cómo dibujs un circunferenci de rdio 3cm. CIRCUNFERENCIA COMO CASO LÍMITE DE LA ELIPSE. ACTIVIDAD 11. Dibuj en un mismo plno crtesino elipses con centro en el origen, que tengn l mism mgnitud del eje mor (tu escógel), pero con diferente ecentricidd: 1) e = 0.75, ) e = 0.5, 3) e = 0.5 4) e = Qué cso se proim más un circunferenci? Con tus compñeros coment tus observciones. 1) Tomndo l longitud que elegiste pr el eje mor: ) cuánto mide el semieje mor? b) De cuerdo con l longitud de tu semieje mor tomndo e = 0.75, cuánto vle c? c) Considerndo el vlor de c, cuál es l longitud del semieje menor b? ) Considerndo l longitud del semieje mor e = 0.5, determin el vlor de: c b. 3) Determin el vlor de c b pr e = ) Clcul los vlores de c b cundo e = 0.1. Eplic l relción que eiste entre b cundo e se proim 0. Tomndo en cuent l Actividd 10 tus conclusiones de l Actividd 11, se puede firmr lo siguiente: L circunferenci es considerd como un cso especil de l elipse en donde l ecentricidd es cero por consecuenci los ejes tienen l mism longitud. Qué nombre reciben los semiejes en un circunferenci? 107

17 Definición: Un circunferenci es el conjunto de puntos que equidistn de un punto fijo llmdo centro. L distnci que eiste entre el centro culquier punto de l circunferenci se llm rdio. SECCIÓN 5. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA. El propósito de est sección es obtener l ecución de l circunferenci en su form ordinri, con centro en el origen fuer de él. Así como l ecución de l circunferenci en su form generl, trnsitr de l form ordinri l generl vicevers, utilizndo el método de completr cudrdos. Además determinr el centro el rdio, prtir de su ecución utilizrlos pr grficr circunferencis. Deducción de l ecución ordinri de l circunferenci prtir de l ecución ordinri de l elipse. ( h ) ( k) Sbemos que l ecución ordinri de l elipse es: b Donde C(h, k) son ls coordends del centro de l elipse ls longitudes de los semiejes l cudrdo son:, b. En l circunferenci el eje mor el eje menor son igules, es decir = b. Entonces se tiene: ( h ) ( k) h + ( k) = Multiplicndo por, l ecución nterior se obtiene ( ) que es l ecución Ordinri de l Circunferenci con centro C(h, k) rdio. ACTIVIDAD 1. Construe un circunferenci con centro en el origen culquier rdio. ) Obtén su ecución. b) Comprueb, con l menos tres puntos de l circunferenci, que estos stisfcen l ecución que plnteste en (). c) Qué relción eiste entre los puntos de l circunferenci el centro? ACTIVIDAD 13. Construe un circunferenci con centro fuer del origen culquier rdio. ) Determin su ecución b) Comprueb con l menos tres puntos de l circunferenci que se stisfce l ecución que plnteste en (). ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA. ACTIVIDAD 14. En l ecución h + ( k) =, se tienen binomios l cudrdo complet el desrrollo de estos: ( ) 108

18 h = Escribiendo los términos de mner ordend; es decir primero los términos cudráticos, después los lineles en seguid ls constntes e igulndo cero se tiene: + h + = 0 Pr simplificr l ecución se tomn los cmbios siguientes: D = h, E = k, F = h + k, entonces l ecución se trnsform en: + + D+ E+ F = 0 l llmd Ecución Generl de l Circunferenci. Ejemplo 6. Psr l ecución de l circunferenci form ordinri l form generl (+ 9) = 3 ( ) de i) El desrrollo de los binomios: ( ) = = 17 (17) + (17) hor el segundo binomio: ( + 9) = ii) Escribiendo los términos en orden e igulndo con cero se obtiene l ecución en form generl: = 0 ACTIVIDAD 15. El problem inverso. Dd l ecución de l circunferenci en form generl: + + D+ E+ F = 0 determinr l ecución ordinri. i) Complet en los espcios l cntidd que debe sumrse en mbos miembros pr completr el trinomio cudrdo perfecto pr pr. + D + D + D+ + + E+ + F= 0+ + Fctorizndo los trinomios cudrdos perfectos (ríz 1ro, signo do, ríz 3ro) psndo F l segundo miembro se tiene: D E D E = + F ii) Simplificndo el segundo miembro, l ecución qued de l form: D E D E + 4F = 4 iii) L ecución est epresd en form ordinri. 109

19 Determin ls coordends del centro el rdio: Centro C(, ) rdio r = Ejemplo 7. Obtén l ecución en su form ordinri de l circunferenci: = 0 Completndo el trinomio cudrdo perfecto pr pr se tiene: = Fctorizndo el primer miembro simplificndo el segundo: = 16 que corresponde l ecución ordinri. ( ) ( ) L ventj de est ecución es que se preci fácilmente el centro el rdio. SECCIÓN 6. APLICACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. En est sección se pretende, que plicndo los conocimientos dquiridos se resuelvn problems de diferente índole. EJERCICIOS 4. En ls siguientes ecuciones identific cules representn un circunferenci o un elipse en cso que se un elipse, indic cuál de los ejes de coordends es prlelo su eje mor. En el cso de ser circunferenci, determin su centro su rdio. 1) ( + 1 ) ( + 1 ) ) ) ( ) ) ( ) ( + 3 ) 5) Determin el centro, el rdio l gráfic de ls siguientes circunferencis: ) = 16 b) = 0 ( ) ( ) 6) Determin l ecución ordinri generl de l circunferenci que tiene centro C(3, - 4) rdio r = 70. 7) Determin l ecución ordinri generl de l circunferenci de centro C(, 7) rdio r = 5. 8) Dr l ecución de l circunferenci, en su form generl, que tiene centro en C(-1, 3) ps por el punto R(, -4). ACTIVIDAD 16. Ecución de l circunferenci que ps por tres puntos que no están en un mism líne. Trz un dibujo pr contestr ls siguientes pregunts: 110

20 Cuánts circunferencis pueden psr por un solo punto? Cuánts circunferencis pueden psr por dos puntos? Cuánts circunferencis pueden psr por tres puntos? Cómo considers l proposición: Por tres puntos -que no estén en un mism líne- ps un sol circunferenci, verdder o fls? Ddos los puntos A(4, 5), B(3, -) C(1, -4) determinremos l ecución de l circunferenci que ps por ellos. Por hipótesis los puntos pertenecen un circunferenci, entonces stisfcen l ecución de l circunferenci: + + D+ E+ F = 0 Sustituendo ls coordends del punto A(4, 5) en l ecución se tiene: ( 4) + (5) + D(4) + E(5) + F = 0, simplificndo obtenemos: 4D + 5E + F = ) Estblece ls ecuciones correspondientes pr los puntos B C. ) Con ls tres ecuciones que se obtuvieron, se form un sistem de ecuciones lineles que l resolverlo se obtienen los vlores de ls literles D, E F. 4D + 5E + F = 41 3D E + F = 13, resuelve el sistem por el método de eliminción. D 4E+ F= 17 Los vlores que obtuviste fueron: D =, E = F =. Al sustituir esos vlores, l ecución de l circunferenci que ps por los puntos A, B C es: = 0 ACTIVIDAD 17. Determinr l ecución de l circunferenci circunscrit l triángulo cuos ldos son prtes de ls rects: ) - = -5 b) = 59 c) = 47 1) Debemos obtener ls coordends de los vértices del triángulo, pr ello se tomn ls ecuciones de dos en dos se resuelven pr estblecer los puntos de intersección de ls rects. R S = = 59 = T = = =

21 Solución: R(, ) S(, ) T(, ) Los vértices pertenecen un circunferenci por lo tnto stisfcen l ecución de l circunferenci: + + D+ E+ F =0 ) Estblece ls ecuciones correspondientes pr los vértices. Pr el punto R: Pr el punto S: Pr el punto T: 3) Se resuelve el sistem resultnte. 4) L ecución resultnte es: = ACTIVIDAD 18. Determinr l ecución de l rect tngente l circunferenci: ( 3) + ( 5) = 36 en el punto R(3, 11). c R ) Cuál es el centro de l circunferenci? b) Obtén l pendiente de l rect que ps por el centro C el punto R; m = c) Determin l pendiente de l perpendiculr; m = Por el dibujo te drás cuent que l pendiente perpendiculr es l pendiente de l rect tngente l circunferenci. d) Determin l ecución de l rect tngente. Recuerd: L rect tngente culquier circunferenci, es perpendiculr l rect que une el punto de l circunferenci con el centro. ACTIVIDAD

22 Determinr l ecución de l circunferenci con centro C(- 4, ) es tngente l rect = 0. Recuerd que siempre eiste un rdio de l circunferenci que es perpendiculr l rect tngente, por lo tnto se debes clculr l distnci de C(- 4, ) l rect = 0 pr obtener el rdio. Recuerd que l fórmul pr clculr l distnci de un punto un rect es: d(p,l) = A( ) + B( ) + C 0 0 A + B donde ( 0, 0) son ls coordends del punto conocido. 1) Clcul l distnci del centro C de l circunferenci l rect: d = ) Como se conoce el centro el rdio de l circunferenci, se puede determinr l ecución: ACTIVIDAD 0. L figur siguiente muestr un impulsor de bnd pole dibujdo en un sistem de coordends. Si el rdio de l pole mor es de 4.cm. el rdio de l pole menor es de.1cm. determin l ecución de l circunferenci de cd pole circulr. 6cm. 10cm, ) Cuáles son ls coordends del centro de l pole mor? b) L ecución de l pole circulr mor qued de l form c) Cuáles son ls coordends del centro de l pole menor? (Sugerenci: utiliz el teorem de Pitágors pr obtener l bscis) d) L pole circulr menor tiene como ecución ACTIVIDAD 1. Se requiere construir un pozo de tl mner que se encuentre l mism distnci de tres css loclizds en los puntos A(-1, 1), B(3, 5) C(5, -3). En qué punto debe construirse el pozo? L figur siguiente muestr como están colocds ls css, los segmentos de rect que ls unen ls meditrices de los ldos AB BC. 113

23 6 B 4 A = C + = 4-6 1) En qué punto deberá construirse el pozo? Pr determinr el centro de l circunferenci que ps por ls tres css se deberá obtener el punto de intersección de dos de ls meditrices del triángulo ABC. Pr ello deberás obtener l ecución de ls meditrices. (Recuerd; que l meditriz de un segmento es l rect perpendiculr que ps por su punto medio). ) Cuál es el vlor de l pendiente de l rect que ps por AB? 3) Cuál es el vlor de l pendiente de l meditriz de AB? 4) Clcul el punto medio de AB. 5) Obtén l ecución de l meditriz del ldo AB. 6) Determin l pendiente de l rect que ps por BC. 7) Cuál es l pendiente de l meditriz de BC? 8) Qué coordends tiene el punto medio de BC? 9) Obtén l ecución de l meditriz del ldo BC. 10) Escribe ls ecuciones de ls meditrices resuelve el sistem de ecuciones pr obtener el punto de intersección e indic que en l circunferenci. 11) Cuáles son ls coordends del punto donde debe construirse el pozo? EJERCICIOS 5. 1) Determinr l ecución de l circunferenci con centro en (3, - 1) rdio 5 114

24 ) Obtén el centro el rdio de l circunferenci = 0 3) Obtén el centro el rdio de l circunferenci = 0 4) El centro el rdio de l circunferenci + = 36 son: 5) Obtener l ecución generl de un circunferenci con centro en (1, -) con rdio igul 4. 6) Determinr l ecución de l circunferenci con centro en (-, 1) es tngente l eje de ls ordends. 7) Un estción de rdio está ubicd en un mp en ls coordends (50, 35). el máimo lcnce de su emisión es de 15 kilómetros. Determin l ecución que represente ls coordends de todos los puntos de máimo lcnce de l estción. 8) Determinr l ecución de l circunferenci que ps por los puntos (5,3), (6,) (3, -1). EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Determinr los elementos (ejes, vértices, focos, ldo recto ecentricidd) trzr l gráfic de ls elipses siguientes. ) = 1 b) = 0.. Conocids ls siguientes condiciones, escribir un ecución de l elipse que teng centro C(0, 0) trzr l gráfic. ) Un etremo del eje menor est en (0, 5) su ldo recto = 6. b) Un foco est en (6, 0) l longitud del eje mor = Conocids ls siguientes condiciones, escribir un ecución de l elipse que teng centro C(h, k) trzr l gráfic. ) Dr l ecución de l elipse que tiene focos en (, -) (, 10) su ecentricidd = 3/4. b) Dr l ecución de l elipse que tiene centro en (-4, 5) un etremo del eje mor en (-4, 13) l longitud del ldo recto = Dr l ecución de l circunferenci, en su form ordinri, que tiene por etremos de un diámetro los puntos: A(7, -3) B(-5, 1). 5. Dr l ecución de l circunferenci, en su form generl, que tiene centro en C (-8, 8) es tngente los ejes de coordends. 6. Obtén l ecución de l circunferenci cuo centro se encuentr en C (-1, 3) es tngente l rect = Se dese trzr un pist circulr en un mp. Ls condiciones dds es que l pist teng centro en ls coordends C(5, 1) que pse por un punto A de coordends (-, 8). ) Encuentr l ecución que describe todos los puntos de l pist. 115

25 b) Encuentr l ordend del punto sobre l pist que tiene como bscis 6. c) Reliz l gráfic de l ecución. BIBLIOGRAFÍA 1) Torres, Crlos. Geometrí Anlític. Editoril Sntilln, Méico, ) Swokowski, Ert. Álgebr Trigonometrí con Geometrí Anlític, Grupo Editoril Iberoméric, Méico ) Kindle, Joseph H. Geometrí Anlític, Mc Grw Hill. Méico ) Hernández. Fernndo, Geometrí Anlític pr Principintes. Colegio de Ciencis Humniddes Plntel Oriente. Méico ) Rodríguez. Frncisco J. Introducción l Geometrí Anlític. Colegio de Ciencis Humniddes Plntel Oriente. Méico. 116