2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

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1 . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto de intersección entre rects. Encuentre ángulo de intersección entre rects. 37

2 .. ECUACIONES DE LA RECTA EN Trtremos hor de definir ecuciones de l rect, prtiendo de un nálisis vectoril. R.. Ecución de un rect definid por dos puntos Es obvio que dos puntos definen un rect, observe l figur Llmemos S PP ( x x ) vector directriz de l rect l., Se el vector v PP ( x x, ), definido entre el punto ( x, ) un punto P ( x, ) culquier de l rect. Observe que entonces v k S pr k R Por iguldd de vectores: Finlmente:. Por consiguiente: ( x x ) ( ), k x x, ( x x, ) ( k( x x ), k( )) x x k k x x x x ( x x ) ( ) P S v son prlelos, Ecución de un rect definid por dos puntos P ( x ) P ( x ),, 38

3 ... Ecución de un rect definid por un punto su pendiente Tomndo l ecución nterior en l form ( xx ) x x L medid de l inclinción de l rect se l llm "Pendiente", se l denot como m se l define como m x x ( x ). Entonces, tenemos: m x Ecución de un rect definid por un punto P ( x ) su pendiente m,..3. Ecución de un rect definid por un punto un vector prlelo. Considerndo el vector directriz S ( x x ) (, ) vector prlelo l rect, tenemos: x x s x s, s x s como un Ecución de un rect definid por un punto P ( x ) un vector prlelo S (, ), s x s...4. Ecuciones Prmétrics de un rect x x Considerndo s x s t tenemos Por tnto otr form de l ecución de un rect, serí: x x + sxt + s t ; t R x x t sx. t s Ecuciones Prmétrics. 39

4 ..5. Ecución Vectoril de un rect. De lo nterior tenemos l ( x, ) ( x, ) ( s s )t ( x ) V, considerndo : + el vector posición de un punto de l rect, V ( x ) posición de un punto de l rect S (, ) tenemos: s x s x,, el vector un vector prlelo l rect; V V + S t Ecución Vectoril de un rect...6. Ecución de l rect definid por un punto un vector norml Ahor supong que se tiene un vector n (, b) perpendiculr l rect El vector n (, b) el vector V P P ( x x ) por tnto n V., Reemplzndo tenemos ( b) ( x x, ) Y resolviendo result:, ( x x ) + b( ) son ortogonles, Ecución de l rect definid por un punto ( x ) ( b) n, P un vector norml, 4

5 ..7. Ecución generl de un rect En l últim ecución resolviendo, result: x x x + b + + b b ( x b ) Hciendo c x b result: x + b + c Ecución generl de un rect Ejemplo Hllr l ecución generl de l rect que contiene los puntos (,3) (, ) SOLUCIÓN: x x Utilizndo x x los puntos ddos P (,3) (, ) ( ) ( ) 3 x 3 Reemplzndo tenemos: Resolviendo despejndo tenemos: x x 3 9 5x P (No import el orden) Ejemplo Hllr l ecución generl ecuciones prmétrics de l rect que contiene l 7,3 es prlel l rect que tiene por ecución 3 x + + punto ( ) SOLUCIÓN: L rect dd tiene vector norml ( 3, ) n. Como l rect buscd es prlel est rect entonces un vector norml serí el mismo. Emplemos l form de l ecución de l rect definid por un punto un vector norml ( x x ) + b( ) reemplzndo tenemos: 3( x 7) + ( 3) 3x + 3 3x + 4 En l últim ecución, despejndo tenemos 3x+ 4. Un prmetrizción serí x t 4 3t 4

6 Ejemplo 3 Hllr l ecución generl de l rect que contiene l punto (, ) perpendiculr l rect que tiene por ecución 5 x + 3 SOLUCIÓN: L rect dd tiene vector norml ( 5,3) n es. Como l rect buscd es perpendiculr est rect entonces un vector directriz serí el mismo. Es decir ( 5,3) Emplemos l form de l ecución de l rect definid por un punto un vector prlelo Reemplzndo resolviendo, tenemos: x x s x s ( ) ( ) x 5 3 x x x 5 + S Ejemplo 4 Demuestre que l ecución de l rect que contiene los puntos ( A,) (, B) x + A B SOLUCIÓN: Emplendo l form de l ecución de l rect definid por dos puntos: x x x x Reemplzndo P ( A, ) P (, B), tenemos: x A A B x A A B x + A B x + l. q. q. d. A B es 4

7 .. POSICIONES RELATIVAS... Entre un punto un rect... Un punto P pertenece l rect l P de coordends ( ) x pertenece l rect l con ecución Un punto, x + b + c si sólo si ls coordends del punto stisfcen l ecución de l rect, es decir x + b + c.... El punto P no pertenece l rect l. P de coordends ( ) x no pertenece l rect l con Un punto, ecución x + b + c si sólo si ls coordends del punto no stisfcen l ecución de l rect, es decir x + b + c. En este cso podemos determinr l formul de l distnci entre el punto l rect. Observe l figur: 43

8 L distnci del punto P l rect será l proección esclr de n. El vector c x b V está definido entre los puntos ( x, ) (despejndo de l ecución de l rect). Es decir, Ahor, x V PP x d( P, l) Pr o c x b,. n V V n n P ( x ) c + x x x, + b + b V sobre P, donde (, b) ( x x) c + x + + b b + b Por tnto: d( P, l) x + b + b + c x x + b + b + c + x Ejemplo Hllr l distnci entre el punto (,) l rect que tiene por ecución 3 x + + SOLUCIÓN: Emplendo l formul d( P, l) x + b + c tenemos: + b 3() + () + d ( P, l)

9 .. POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS... Rects coincidentes Se l un rect con ecución x + b + c se l un rect con ecución x + b + c. Entonces l l son coincidentes si sólo si: b b c c Ejemplo Ls rects con ecuciones x x son COINCIDENTES debido que 3. 3 Dos rects l son prlels si sólo si:... Rects prlels l con ecuciones x + b + c x + b + c b b Ejemplo Ls rects con ecuciones x x son PARALELAS debido 6 3 que....3 Rects intersecntes Dos rects l son intersecntes si sólo si: l con ecuciones x + b + c x + b + c b b Ejemplo Ls rects con ecuciones x + 3 x son INTERSECANTES 3 debido que. 45

10 Cundo ls rects son intersecntes podemos hllr el punto de intersección el ángulo entre ells. Pr encontrr el punto bstrá con resolver el sistem simultáneo: x x + b + c + b + c El ángulo de intersección entre ls rects será el mismo que el de los vectores normles o el de los vectores directrices. Es decir: n n S S θ r cos r cos n n s S Ejercicio resuelto Hllr el ángulo de intersección entre ls rects cus ecuciones son l : ( x, ) (, ) + t(, 3) l : ( x, ) (, ) + t( 3, ). SOLUCIÓN: En este cso los vectores directrices son S (, 3) S ( 3 ) S S (, 3) ( 3, ) 3 θ r cos Hemos obtenido el ángulo mor. El ángulo menor serí 6 π Porqué? r cos, por tnto 5 π r cos s S ( )( ) 6 46

11 Ejercicios Propuestos.. Determine l ecución generl de l rect que contiene l punto P(3,) que es prlel l vector v 3 i j Resp. x Determine l ecución de l rect que contiene l punto (-,) es prlel l vector, 3. Resp. + 3 x Determine l ecución de l rect que contiene l punto P(,) que es prlel l rect dd por: x 3 + t t Resp. x Determine l ecución generl de l rect que contiene l punto P(,) que es prlel l rect cus ecuciones prmétrics son x 3 + t t, t IR Resp. x Determine l ecución generl de l rect que es prlel l vector ( 3, 4) v que contiene l punto que está ddo por l intersección de ls rects que tienen por ecución x + x 4 Resp. 8 x Determine l ecución generl de l rect que es perpendiculr l rect con ecución 4 x +, que contiene l punto de intersección de ls rects con ecuciones x x Sen ls rects l : x+ 3 l :5x b 7 determine los vlores de b - Resp. x Si su punto de intersección es (,3) Resp. 3 b 4 P, 8. Determine l distnci de punto ( ),3 P l rect de ecución + x 4 Resp Determine l distnci entre ls rects l : x l : 6x Resp. 3 x + 3t. Determine l menor distnci entre ls rects que tienen por ecución x t Resp. d. Determine el vlor de k pr que l distnci de l rect con ecución kx l punto (-,) se ± 37 igul. Resp. 3. Determine l medid del ángulo formdo por ls rects cus ecuciones prmétrics son: x t π x t 4 t. Resp Determine l ecución de l rect de pendiente que form con los ejes coordendos, en el primer 4 cudrnte, un triángulo cu áre tiene un vlor de 4u. Resp. 3 x Determine l ecución de l rect que equidist de ls rects cus ecuciones son: x + + x +. Resp. x Encontrr el vlor de k pr que ls rects que tienen por ecuciones 3 kx x 4, sen perpendiculres. Resp. 47

12 6. Encontrr el vlor de k pr que l rect que tiene por ecución 3 x k 8 forme un ángulo de medid 45 con l rect de ecución x Resp. 7, -9/7 7. Determine l ecución de l rect cuo punto más cercno l origen es (3,4). Resp. 3 x Determine todos los posibles vlores de k pr que l rect con ecución x + + k forme con los ejes coordendos un triángulo cu áre tiene un vlor de 6u. Resp. ± 8 9. Determine l ecución de l rect l. EAF 4 DBC Resp. x

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