TEMA 11: PROBLEMAS MÉTRICOS

Transcripción

1 Alonso Fernánde Glián TEMA PROBLEMAS MÉTRICOS Finlmente vmos ocprnos de clclr ánglos distncis entre rects plnos de resolver problems relciondos con estos conceptos.. ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS Vemos cómo clclr ánglos en el espcio. Pr ello recordemos qe el ánglo qe formn dos vectores v viene ddo por v cos v Ánglo entre dos rects. Dos rects secntes r s determinn ctro ánglos igles dos dos Al hblr del ánglo qe formn r s nos referimos l menor de estos ánglos (qe será n ánglo gdo o recto) qe coincide con el ánglo qe formn ss vectores directores v pero tomndo el vlor bsolto pr segrrnos de qe el ánglo no es obtso cos v v Ejemplo Clcl el ánglo qe formn ls sigientes rects secntes 4 r s 4 Los vectores directores de r s son respectivmente ( ) v ( 4 ). El coseno del ánglo qe formn ls rects es por tnto v ( ) ( 4 ) 4 4 cos 9 v ( ) ( 4 ) 4 Por tnto el ánglo qe formn ls rects es rccos9 7º 7º Ánglo entre dos plnos. Al hblr del ánglo qe formn dos plnos nos referimos l menor ánglo qe formn sends rects contenids en respectivmente. Es fácil ver qe este ánglo coincide con el ánglo qe formn ss respectivos vectores normles n n cos n n n n (tommos el vlor bsolto pr segrr qe el ánglo no es obtso) - -

2 Mtemátics II Ejemplo Clcl el ánglo qe formn los sigientes plnos Obvimente los plnos no son ni coincidentes ni prlelos por lo qe son secntes. Ss vectores normles son respectivmente n ( ) n ( ). Así n n ( ) ( ) cos n n ( ) ( ) 4 7 Por lo tnto el ánglo qe formn los plnos es rccos 9º 9º (los plnos son perpendiclres) Ánglo entre n rect n plno. Al hblr del ánglo qe formn n rect r n plno nos referimos l menor ánglo qe form r con n rect contenid en. Se este ánglo se s complementrio 9 º. Es fácil ver qe coincide con el ánglo qe formn el vector director de r el vector norml n. cos n n (de nevo se tom el vlor bsolto pr segrr qe no es obtso). Como son complementrios cos sen. Así n sen n Ejemplo Clcl el ánglo qe formn l rect r el plno r Se compreb qe l rect el plno son secntes. Lo primero qe debemos hcer es encontrr n vector director de r. Pr ello escribimos s ección en form prmétric r El vector director de r es ( ). El vector norml es n ( ). Así n ( ) ( ) 4 4 sen n ( ) ( ) Por tnto el ánglo qe formn l rect el plno es rcsen º º - -

3 Tem Problems métricos. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO Vemos hor cómo clclr l distnci de n pnto n plno sí como otrs distncis qe se clcln prtir de ést. Distnci de n pnto n plno. L distnci del pnto P ) l plno ( b c d es igl l distnci de P l proección de P sobre. Si A ( ) es n pnto del plno n ( b c) n vector norml l distnci viene dd por d P n AP n O en coordends d P b b c c d Demostrción L distnci de P viene dd por dp PP. Según l figr tenemos cos PP AP d P PP AP cos Por otro ldo es el ánglo qe formn AP n. Así cos AP n AP n Con esto obtenemos l fórml qe bscábmos d P PP AP cos AP AP n AP n AP n n Desrrollemos l epresión nterior pr obtener l epresión nlític d AP n n ( ) ( ) b ( ) c P b c b c b b c c (*) b b c En el pso (*) hemos sdo qe como A pertenece ss coordends stisfcen l ección del plno A b c d b c d c d Ejemplo Clclr l distnci del pnto P ( ) l plno. ( ) d P.l. ( ) - -

4 Mtemátics II Distnci de n rect n plno. Llmmos distnci de l rect r l plno l menor distnci de n pnto de r. Evidentemente si l rect el plno son secntes l distnci es nl; si l rect es prlel l plno bstrá clclr l distnci de clqier pnto de l rect l plno. Ejemplo Clclr l distnci de l rect r l plno. r Se compreb qe l rect es prlel l plno (por ejemplo viendo qe el vector director de r es perpendiclr l vector norml de ). Elijmos n pnto de l rect por ejemplo P ( ). Ahor ( ) 4 d r dp.l. ( ) 4 7 Distnci entre plnos prlelos. L distnci entre dos plnos prlelos coincide con l distnci de clqier pnto de no de ellos l otro. Ejemplo Clcl l distnci entre los sigientes plnos 8 Obvimente los plnos son prlelos. Tomemos n pnto de por ejemplo P ( ). ( ) 8 4 d dp.l. ( ) 4 7 * Eiste n fórml qe nos d directmente l distnci entre plnos prlelos. Pr encontrrl recordemos qe dos plnos prlelos siempre se peden epresr con los mismos coeficientes pr. b c d b c d Así si P ) es n pnto de l distnci entre los plnos es ( d dp b b c Como P ss coordends stisfcen l ección de. Es decir b c d. Así b c d podemos conclir qe l distnci entre es d d d b c c d - 4 -

5 Tem Problems métricos. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA Vemos cómo clclr l distnci de n pnto n rect l distnci entre dos rects. Distnci de n pnto n rect. L distnci del pnto P l rect r es igl l distnci de P l proección de P sobre r. Si A es n pnto de l rect n vector director so l distnci viene dd por d P r AP Demostrción L distnci de P r viene dd por dp r PP. Según l figr tenemos sen PP AP d P r PP AP sen Por otro ldo es el ánglo qe formn AP. Así AP AP sen AP sen Finlmente tenemos por tnto AP AP dp r AP sen Ejemplo Clclr l distnci del pnto P ( ) l rect r. 4 7 Debemos encontrr n pnto n vector director de l rect. Pr ello podemos por ejemplo escribir l rect en form prmétric... r Así l rect r ps por A ( ) tiene vector director ( ). Pr clclr l distnci de P r debemos conocer el vector AP i j k AP ( ) AP ( 4 9) Ahor d P r AP ( 4 9) ( ) ( 4) 9.l. - -

6 Mtemátics II Distnci entre rects prlels. Obvimente l distnci entre dos rects prlels se obtiene clclndo l distnci de n pnto clqier de n de ells l otr. Ejemplo Clclr l distnci entre ls sigientes rects r s L rect r ps por el pnto A ( ) tiene vector director ( ). L rect s ps por el pnto B ( ) tmbién tiene vector director ( ). Obvimente se trt de rects prlels l distnci entre ells coincidirá con l distnci de B r i j k AB ( ) AB () Así d AB () ( ) r s db r 94.l. Distnci entre rects qe se crn. Pr clclr l distnci mínim entre rects qe se crn podemos clclr l distnci de n de ells l plno prlelo ell qe contiene l otr d r s ds dp Ejemplo Clclr l distnci entre ls sigientes rects 4 r s Se compreb qe ls rects se crn. L distnci de r s coincidirá con l distnci de n pnto de s por ejemplo P ( 4) l plno prlelo s qe contiene r. Clclemos l ección de... Ahor d r s ds dp.l. * Alterntivmente se compreb qe si r ps por A tiene vector director s ps por B tiene vector director v l distnci entre ells se pede clclr con l sigiente epresión d r s det v AB v - -

7 Tem Problems métricos ALGUNOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Vemos cómo resolver lgnos problems geométricos sles. Simetrís. Pr clclr el simétrico de n pnto P respecto de n plno se sigen los sigientes psos º) Se clcl l rect r perpendiclr l plno qe ps por el pnto P. º) Se clcl el pnto Q intersección de l rect r con el plno. º) Se clcl el pnto P de mner qe Q se el pnto medio de P P. Proección ortogonl. L proección ortogonl de n rect sobre n plno se clcl hciendo l intersección del plno con otro plno perpendiclr l ddo qe contiene l rect. Ejemplo Clcl l proección ortogonl de l rect r sobre el plno. El plno perpendiclr qe contiene r es 8 Por lo tnto l rect bscd es 8 r Ejemplo Clclr el simétrico del pnto ) ( P respecto del plno. (i) L rect r qe ps por P es perpendiclr tendrá ) ( n como vector director. S ección es por tnto r r (ii) Clclmos el pnto Q intersección de r ) ( Q (iii) Clclmos ) ( P de mner qe Q se el pnto medio entre P P 4 7 Solción El pnto bscdo es ) 4 (7 P.

8 Mtemátics II Cálclo de l perpendiclr común dos rects qe se crn. Dds dos rects qe se crn r s se denomin perpendiclr común l rect t qe es perpendiclr mbs Spongmos qe r s están dds por los sigientes pntos vectores directores ) ( ) ( A r ) ( ) ( v v v v b b b B s Se v w. En l figr observmos qe l perpendiclr común pede epresrse como l intersección de los sigientes plnos El plno qe contiene r w. El plno qe contiene s w. Ejemplo Clclr l perpendiclr común ls sigientes rects. r s (Se compreb qe ls rects se crn) Pr clclr l perpendiclr común debemos clclr los plnos pr ello necesitmos conocer el vector v w. ) ( k j i v w (i) El plno tiene ección 74 (ii) El plno tiene ección Por tnto l perpendiclr común r s es l rect de ección implícit 74 t

9 Tem Problems métricos.7 CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES Finlmente pr conclir con los problems métricos recordmos cómo sr el prodcto vectoril el prodcto mito pr clclr áres volúmenes. Cálclo de áres. Recordmos qe el áre del prlelogrmo qe tiene por ldos los vectores v viene ddo por A v prlelogr mo Así el áre del triánglo qe tiene como ldos los vectores v es A triánglo v Ejemplo Clclr el áre del triánglo de vértices A ( ) B ( ) C ( ). Tl triánglo tendrá como dos de ss ldos los vectores AB ( ) AC ( ). i j k Así AB AC ( ) A triánglo AB AC ( ).s. Cálclo de volúmenes. El volmen del prlelepípedo qe tiene por ldos los vectores v w es V prlelepí pedo v w Así el volmen del tetredro qe tiene como ldos los vectores v w es V tetredro v w Ejemplo Clclr el áre del tetredro de vértices A ( ) B ( ) C ( ) D ( ). Tl tetredro tendrá como tres de ss ldos los vectores AB ( ) AC ( ) AD ( ). Así AC AD V tetredro AB AC AD AB.v

10 - - Mtemátics II

11 Tem Problems métricos EJERCICIOS DEL TEMA Ánglos. Clcl el ánglo qe formn ls sigientes rects 7 r s. Clcl el ánglo qe formn ls rects. Dds ls rects () Compreb qe son secntes. (b) Clcl el ánglo qe formn. r r r s 4 4. Clcl el ánglo qe formn los plnos.. Determin el vlor de k R pr qe los plnos k 7 sen perpendiclres.. Clcl el ánglo formdo por el plno l rect Distncis r Clcl l distnci del pnto P l plno. 8. Clcl l distnci entre los plnos Consideremos el plno k l rect r r. () Clcl el vlor del prámetro k R pr qe el plno l rect r sen prlelos. (b) Pr el vlor de k obtenido clcl l distnci de l rect r l plno.. Clcl l distnci del pnto P l rect. Clcl l distnci del pnto P l rect r. r. - -

12 Mtemátics II Simetrís. Encentr el pnto simétrico de. Encentr el pnto simétrico de P respecto del plno 4. P respecto del plno. 4. Encentr el pnto simétrico de 7 P respecto de l rect 4 r. Cálclo de l perpendiclr común. Clcl l perpendiclr común de ls sigientes rects qe se crn r 9 8 s. Compreb qe ls sigientes rects se crn. Despés encentr s perpendiclr común r s 7. Compreb qe ls sigientes rects se cortn en n pnto. Despés encentr l perpendiclr común ls rects Áres volúmenes r s 8. Compreb qe los pntos A B el áre de dicho triánglo. C formn n triánglo clcl 9. Clcl el áre del triánglo qe tiene por vértices son los pntos de intersección del plno con los ejes de coordends.. Clcl el volmen del tetredro determindo por los pntos A C D. B. Clcl el volmen del tetredro limitdo por el plno los ejes de coordends.. Ddos los pntos de coordends A B C k () Clcl el áre del triánglo de vértices A B C. D donde k R. (b) Determin pr qé vlores del prámetro k el tetredro de vértices A B C D tiene n volmen de. - -

13 Tem Problems métricos Vrios. Hll el pnto del plno C. qe eqidist de los pntos A B 4. Demestr qe ls rects r r se crn. Despés A se po en ls rects r r. encentr l rect s qe ps por el pnto Selección de Ejercicios de PAEG Reserv I. - Jnio. - Septiembre. - Reserv II

14 Mtemátics II Jnio. - Septiembre. - Septiembre. 4- Jnio. - Jnio. - Septiembre