Integración múltiple de Riemann 34 TEMA 5 - INTEGRACIÓN MÚLTIPLE DE RIEMANN

Transcripción

1 nterción múltiple de Riemnn 4 TEMA 5 - NTEGRACÓN MÚLTPLE E REMANN Rectánlos prticiones en rectánlos en R einición Siendo dos interlos clesqier de R se denomin rectánlo de ldos prlelos los ejes coordendos l dominio de R ormdo por el prodcto crtesino de los dos interlos : R / { } NOTA: Pesto qe los rectánlos de ldos prlelos los ejes coordendos serán los únicos qe tiliremos los desinremos simplemente como rectánlos einición enominremos medid del rectánlo l representremos por µ l áre de dicho rectánlo: µ einición do n rectánlo se denomin prtición P de en srectánlos tod diisión de en rectánlos R R R NP de menor medid tl qe todos los rectánlos en los qe se sdiide tenn interiores disjntos l nión de todos los rectánlos de l sdiisión se ectmente el rectánlo einición Se denominrá tmño de n prtición P del rectánlo l medid del mor de los rectánlos qe l ormn einiciones ds dos prticiones P P de n mismo rectánlo se dice qe P es más in qe P si el tmño de P es menor qe el tmño de P ds dos prticiones P P de n mismo rectánlo se dice qe P es posterior P si P es más in qe P demás todo rectánlo de l prtición P está inclido en n rectánlo de l prtición P nterl dole de Riemnn de n nción cotd sore n rectánlo

2 nterción múltiple de Riemnn 5 Se n rectánlo de R se P n prtición de en NP rectánlos se n nción deinid cotd en En cd rectánlo R de P se escoe n pnto ritrrio t NP desinremos por t l conjnto de pntos sí selecciondos: t{t t NP } einición Se denomin sm de Riemnn de l nción respecto l prtición P del rectánlo pr el conjnto de pntos t l lor: N P S P t µ R donde R NP son los rectánlos qe ormn l prtición P es n pnto interior clqier de R NOTAS: º L sm de Riemnn SPt depende de cles sen los pntos considerdos en cd rectánlo de l prtición Est dependenci será menor cnto más in se l prtición P º L sm de Riemnn es n proimción del olmen qe encierr l spericie entre ell l porción de plno XY limitd por el rectánlo considerndo como olmen positio el encerrdo cndo >0 como olmen netio el qe se encierr cndo <0 einición Se dice qe l nción es interle en el sentido de Riemnn sore el rectánlo si eiste n número A eriicndo qe pr clqier lor ε >0 tn ε peqeño como se desee se pede encontrr n prtición P tl qe pr tod ε prtición P más in qe P se eriic S P t A < ε sen cles sen los pntos qe interienen en l deinición de SPt El lor A límite de ls sms de Riemnn pr prticiones sicientemente ins se le denomin interl dole de Riemnn de sore el rectánlo se le represent por: A dd NOTAS: º Si cd rectánlo enérico R de n prtición sicientemente in P se consider qe tiene ldos de lonitd se tiene qe: A dd lim 0 0

3 nterción múltiple de Riemnn 6 º Pesto qe proim el olmen qe encierr l spericie entre ell l porción de plno XY dd por el rectánlo R l interl dole de Riemnn dd represent el olmen qe se encierr entre l spericie de ección el dominio del plno coordendo XY ddo por el rectánlo considerndo como olmen positio el encerrdo jo l spericie cndo >0 como olmen netio el encerrdo sore l spericie cndo <0 Teorem de Fini pr elción de interles sore rectánlos Siendo n nción contin sore : dd d d d d nterl dole de Riemnn de n nción cotd sore n dominio clqier de R Se n nción deinid cotd sore n dominio de R Se n rectánlo de R qe incl Sore se deine l nción: si 0 si einición Se dice qe es interle en el sentido de Riemnn sore el dominio si eiste dd El lor de l interl de Riemnn de sore el dominio se deine como: dd dd NOTA: El lor de dd represent el olmen encerrdo entre l spericie l porción de plno dd por el dominio siempre con el conenio de qe será olmen positio el encerrdo jo l porción de spericie en qe >0 será olmen netio el encerrdo sore l porción de spericie en qe <0 4 Propieddes de l interl dole de Riemnn Propiedd linelidd Si son dos nciones interles en el dominio α β son dos números reles clesqier se eriic:

4 nterción múltiple de Riemnn 7 α + β dd α dd + β dd Propiedd Si son dos nciones interles sore tles qe: entonces se eriic qe: dd dd Propiedd áre de n dominio plno El áre de n dominio plno es il l interl dole de Riemnn sore de l nción nidd: Áre dd Propiedd cots de l interl Si m M son respectimente n cot inerior n cot sperior de l nción en el dominio se eriic qe: m Áre dd M Áre Propiedd ditiidd sore dominios Si es interle sore el dominio se consider sdiidido en dos dominios tles qe s interior se disjnto s nión se el propio dominio entonces es interle tnto sore como sore se eriic: dd dd dd + Teorem del lor medio Si es contin cotd en n dominio cerrdo cotdo entonces eiste l menos n pnto de tl qe: dd Are Teorem de Leese Tod nción deinid cotd sore el dominio cotdo qe se discontin lo smo en n sconjnto de áre nl de es interle sore iceers Teorem de Fini pr el clclo de l interl dole Si es n dominio deinido como: / { ϕ ϕ }

5 nterción múltiple de Riemnn 8 entonces pr tod nción contin sore : d d dd ϕ ϕ Análomente si el dominio se deine medinte: { } / ψ ψ entonces pr tod nción contin sore : d d dd ψ ψ 5 Cmio de riles en l interl dole einición Se denomin nción de cmio de rile tod plicción: : R R eriicndo ls condiciones: es n plicción no no; C e C ; 0 J do el cmio de rile: qe permite trnsormr de orm iníoc el dominio del plno UV en el dominio del plno XY siendo n nción deinid sore se eriic entonces qe: dd J dd donde: J 6 Prlelepípedos prticiones en prlelepípedos en R

6 nterción múltiple de Riemnn 9 einición Siendo tres interlos de R se denomin prlelepípedo de crs prlels los plnos coordendos l dominio de R ormdo por el prodcto crtesino de los tres interlos : R / { } NOTA: Pesto qe los prlelepípedos de crs prlels los plnos coordendos serán los únicos qe tiliremos los desinremos simplemente como prlelepípedos einición enominremos medid del prlelepípedo l representremos por µ l olmen de dicho prlelepípedo: µ einición do n prlelepípedo se denomin prtición P de en sprlelepípedos tod diisión de en prlelepípedos R R R NP de menor medid tl qe todos los prlelepípedos en los qe se sdiide tenn interiores disjntos l nión de todos los prlelepípedos de l sdiisión se ectmente el prlelepípedo einición Se denominrá tmño de n prtición P del prlelepípedo l medid del mor de los prlelepípedos qe l ormn einición ds dos prticiones P P de n mismo prlelepípedo se dice qe P es más in qe P si el tmño de P es menor qe el tmño de P ds dos prticiones P P de n mismo prlelepípedo se dice qe P es posterior P si P es más in qe P demás todo prlelepípedo de l prtición P está inclido en n prlelepípedo de l prtición P 7 nterl triple de Riemnn de n nción cotd sore n prlelepípedo Se n prlelepípedo de R se P n prtición de en NP prlelepípedos se n nción deinid cotd en En cd prlelepípedo R de P se

7 nterción múltiple de Riemnn 40 escoe n pnto ritrrio t NP desinremos por t l conjnto de pntos sí selecciondos: t{t t NP } einición Se denomin sm de Riemnn de l nción respecto l prtición P del prlelepípedo pr el conjnto de pntos t l lor: N P S P t µ R donde R NP son los prlelepípedos qe ormn l prtición P es n pnto interior clqier de R NOTA: L sm de Riemnn SPt depende de cles sen los pntos considerdos en cd prlelepípedo de l prtición Est dependenci será menor cnto más in se l prtición P einición Se dice qe l nción es interle en el sentido de Riemnn sore el prlelepípedo si eiste n número A eriicndo qe pr clqier lor ε >0 ε tn peqeño como se desee se pede encontrr n prtición P tl qe pr tod ε prtición P más in qe P se eriic S P t A < ε sen cles sen los pntos qe interienen en l deinición de SPt El lor A límite de ls sms de Riemnn pr prticiones sicientemente ins se denomin interl triple de Riemnn de sore el prlelepípedo se represent por: A ddd NOTA: Si cd prlelepípedo enérico R de n prtición sicientemente in P se consider qe tiene ldos de lonitd se tiene qe: A ddd lim N P donde son los máimos lores qe tomn todos los prlelepípedos de l prtición e pr Teorem de Fini pr elción de interles sore prlelepípedos Siendo n nción contin sore :

8 nterción múltiple de Riemnn 4 d d d d d d ddd d d d d d d d d d d d d 8 nterl triple de Riemnn de n nción cotd sore n dominio clqier de R Se n nción deinid cotd en n dominio de R Se n prlelepípedo de R qe incl Sore se deine l nción: si si 0 einición Se dice qe es interle en el sentido de Riemnn sore el dominio si eiste ddd El lor de l interl de Riemnn de sore el dominio se deine como: ddd ddd 9 Propieddes de l interl triple de Riemnn Propiedd linelidd Si son dos nciones interles en el dominio α β son dos números reles clesqier se eriic: + + ddd ddd ddd β α β α Propiedd Si son dos nciones interles sore tles qe: entonces se eriic qe: ddd ddd Propiedd olmen de n dominio de R

9 nterción múltiple de Riemnn 4 El olmen de n dominio de R es il l interl triple de Riemnn sore de l nción nidd: Volmen ddd Propiedd cots de l interl Si m M son respectimente n cot inerior n cot sperior de l nción en el dominio se eriic qe: mvolmen ddd M Volmen Propiedd ditiidd sore dominios Si es interle sore el dominio se consider sdiidido en dos dominios tles qe s interior se disjnto s nión se el propio dominio entonces es interle tnto sore como sore se eriic: ddd ddd ddd + Teorem del lor medio Si es contin cotd en n dominio cerrdo cotdo entonces eiste l menos n pnto de tl qe: ddd Volmen Teorem de Leese Tod nción deinid cotd sore el dominio cotdo qe se discontin lo smo en n sconjnto de olmen nlo de es interle sore iceers Teorem de Fini pr el clclo de l interl triple Si es n dominio deinido como: R / Ω { ϕ ϕ } entonces pr tod nción contin sore : ϕ ddd Ω d dd ϕ Análomente si el dominio se deine medinte: R / Ω φ φ { } entonces pr tod nción contin sore : φ ddd Ω d dd φ Análomente si el dominio se deine medinte:

10 nterción múltiple de Riemnn 4 { } / R ψ ψ Ω entonces pr tod nción contin sore : Ω dd d ddd ψ ψ 0 Cmio de riles en l interl triple einición Se denomin nción de cmio de rile tod plicción: : R R eriicndo ls condiciones: es n plicción no no; C C C ; 0 J do el cmio de rile: qe permite trnsormr de orm no no el dominio de UVW en el dominio de XYZ siendo n nción deinid sore se eriic entonces qe: ddd J ddd donde: J

11 nterción múltiple de Riemnn 44 + Cmios coordends esérics cilíndrics Cmio coordends esérics Siendo ls coordends crtesins pede considerrse el cmio coordends esérics siiente: ρcos θ sen ϕ ρsen θ sen ϕ ρcos ϕ donde ρ > 0 0 θ < Π 0 < ϕ < Π ϕ ρ θ El jcoino de este cmio de riles reslt ser: J ρ θ ϕ ρ sen ϕ Cmio coordends cilíndrics Siendo ls coordends crtesins pede considerrse el cmio coordends cilíndrics siiente: donde ρ > 0 0 θ < Π R ρcos θ ρsen θ

12 nterción múltiple de Riemnn 45 θ ρ El jcoino de este cmio de riles reslt ser: J ρ θ ρ Biliorí TM Apóstol 99 Clcls ed Reerté Vol J de Bros 995 Cálclo ininitesiml de ris riles ed McGr-Hill M Krsno A Kiselio G Mreno E Shiin 994 Crso de mtemátics speriores pr inenieros ed Mir Vol