ESPACIO VECTORIAL. 1. VECTORES EN EL ESPACIO Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Transcripción

1 ESPACIO VECTORIAL. Vetores en el espo. Estrtr de espo etorl. Dependen e ndependen lnel. ses. Prodto eslr 5. Prodto etorl. Prodto mxto. VECTORES EN EL ESPACIO Un etor fo AB es n segmento orentdo qe del pnto A (orgen) l pnto B (extremo). ELEMENTOS DE UN VECTOR Dreón de n etor: es l dreón de l ret qe ontene l etor. Sentdo de n etor: El sentdo del etor AB es el qe desde el orgen A l extremo B (h el pnto l qe se drge). Módlo de n etor AB es l longtd del segmento AB se represent por AB. El módlo de n etor es n número sempre posto o ero. VECTORES LIBRES Defnmos n relón de eqpolen entre etores de form qe dos etores son eqpolentes s tenen gl módlo dreones prlels y el msmo sentdo. Un etor lre es n representnte de d onnto de etores eqpolentes. Se rterz porqe lo pedes dr en lqer prte del plno. CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Vetores en el espo

2 COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE: Pr expresr n etor lre tlzmos s representnte en el orgen de form qe ls oordends del etor son ls oordends del pnto fnl el pnto nl será ( ) COORDENADAS DE UN VECTOR DADO POR DOS PUNTOS S ls oordends de los pntos extremos son A( ) y B( ) Ls oordends del etor AB son ls oordends del extremo B menos ls oordends del orgen A AB VECTOR DE POSICIÓN El etor qe ne el orgen de oordends O on n pnto A se llm etor de posón del pnto A. Un pnto y s etor de posón tenen ls msms oordends. Ls oordends de n etor ddo por dos pntos A y B se peden expresr de l form AB CÁLCULO DEL MÓDULO DE UN VECTOR S ( ) : ( ) En el so de n etor ddo por dos pntos AB DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS L dstn entre dos pntos A y B es gl l módlo del etor qe tene de extremos dhos pntos. Eemplo: Hllr l dstn entre los pntos A( ) y B( ). d( A B) 9 AB VECTOR NORMAL O UNITARIO Un etor norml es n etor ntro es der de módlo l ndd. L normlzón de n etor onsste en sorle otro etor ntro de l msm dreón y sentdo qe el etor ddo ddendo d omponente del etor por s módlo. : El etor ntro sodo 5 5 pero de módlo. es n etor on l msm dreón y sentdo qe 5 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Vetores en el espo

3 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Vetores en el espo. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL SUMA DE VECTORES Pr smr dos etores se smn ss omponentes. PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES (GRUPO CONMUTATIVO). ASOCIATIVA. CONMUTATIVA. ELEMENTO NEUTRO o o. ELEMENTO OPUESTO o PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL (ESCALAR) POR UN VECTOR Se mltpln ls omponentes del etor por dho número : 9 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR. ASOCIATIVA. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE VECTORES. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LOS ESCALARES. ELEMENTO NEUTRO V TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES COMBINACIÓN LINEAL Un omnón lnel de dos o más etores es el etor qe se otene l smr esos etores mltpldos por eslres: VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES Vros etores lres del espo se de qe son lnelmente dependentes s hy n omnón lnel de ellos qe es gl l etor ero sn qe sen ero todos los oefentes de l omnón lnel. o S pr qe est gldd se mpl todos los oefentes tenen qe ser ero (solón trl) entones los etores son lnelmente ndependentes. PROPIEDADES

4 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Vetores en el espo. S ros etores son lnelmente dependentes entones l menos no de ellos se pede expresr omo omnón lnel de los demás. Tmén se mple el reproo: s n etor es omnón lnel de otros entones todos los etores son lnelmente dependentes.. Dos etores del espo son lnelmente dependentes s y sólo s son prlelos y por tnto proporonles: S no son proporonles entones los etores son lnelmente ndependentes.. Tres etores del espo son lnelmente dependentes s y sólo s están en n msmo plno (son oplnros). S son lnelmente dependentes l menos no de ellos se pede expresr omo omnón lnel de los otros dos por tnto el determnnte qe formn ss oordends es nlo: S el determnnte es dstnto de ero entones los etores son lnelmente ndependentes. Determnr los lores de pr los qe son lnelmente dependentes los etores y. Los etores son lnelmente dependentes s el determnnte de l mtrz qe formn es nlo es der qe el rngo de l mtrz es menor qe Los etores son lnelmente dependentes s = - o = BASE ORTONORMAL Un se es ortonorml s los etores de l se son perpendlres entre sí y demás tenen módlo. BASE CANÓNICA: y x z

5 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Vetores en el espo 5 Clqer etor se pede expresr en l se nón de l form. PRODUCTO ESCALAR El prodto eslr de dos etores es n número rel qe reslt l mltplr el prodto de ss módlos por el oseno del ánglo qe formn. os EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR S expresmos ls oordends de los etores en l se nón y podemos otener l expresón Y qe osº osº osº osº osº os9º Hllr el prodto eslr de dos etores ys oordends en n se ortonorml son: ( / ) y ( ). ( / ) ( ) = + (/) ( ) + = + = 5 ÁNGULO DE DOS VECTORES os os Determnr el ánglo qe formn los etores y 79'9º 9 os 8 9 VECTORES ORTOGONALES Dos etores son ortogonles s formn n ánglo de 9º os9º = por tnto s prodto eslr es. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR. CONMUTATIVA. ASOCIATIVA. DISTRIBUTIVA. El prodto eslr de n etor no nlo por sí msmo sempre es posto.

6 5. PRODUCTO VECTORIAL El prodto etorl de dos etores es otro etor y dreón es perpendlr los dos etores y s sentdo serí gl l ne de n sorhos l grr de h. S módlo es gl sen El prodto etorl se pede expresr mednte n determnnte: A A A A A A S Cllr el prodto etorl de los etores y 5 5 ÁREA DEL PARALELOGRAMO Geométrmente el módlo del prodto etorl de dos etores onde on el áre del prlelogrmo qe tene por ldos esos etores: A h sen Ddos los etores y por ldos dhos etores hllr el áre del prlelogrmo qe tene CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Vetores en el espo

7 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Vetores en el espo A ÁREA DE UN TRIÁNGULO Determnr el áre del tránglo yos értes son los pntos A( ) B( 5) y C( ). ) ( AB ) ( AC 7 7 A AC AB AC AB PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL. ANTICONMUTATIVA. HOMOGÉNEA. DISTRIBUTIVA. El prodto etorl de dos etores prlelos en gl l etor nlo. (tendrímos n determnnte on dos fls proporonles). PRODUCTO MIXTO El prodto mxto de los etores y es gl l prodto eslr del prmer etor por el prodto etorl de los otros dos. El prodto mxto se represent por [ ] =.( x ) El prodto mxto de tres etores es gl l determnnte qe tene por fls ls oordends de dhos etores: [ ] =.( x ) =

8 S Cllr el prodto mxto de los etores 5 y [ ] = VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO El lor solto del prodto mxto represent el olmen del prlelepípedo ys rsts son tres etores on orgen en n msmo érte. Hllr el olmen del prlelepípedo formdo por los etores 5 y [ ] = 5 9 V 9 VOLUMEN DE UN TETRAEDRO El olmen de n tetredro es gl / del prodto mxto en lor solto. Otener el olmen del tetredro yos értes son los pntos A( ) B( ) C( ) y D( 7). AB () AC ( ) AD d ( ) A D C B [ ] = 5 V 5 5 PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO. El prodto mxto no rí s se permtn rlrmente ss ftores pero m de sgno s éstos se trsponen. [ ] = [ ] = [ ] [ ] = - [ ] = - [ ]. S tres etores son lnelmente dependentes es der s son oplnros prodto mxto le. CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Vetores en el espo 8