TEMA 4. VECTORES EN EL ESPACIO

Transcripción

1 TEMA 4. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. En coordenadas: Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido, es decir, si tienen las mismas componentes. El conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se llama vector libre. Un vector libre puede representarse por uno cualquiera de los vectores fijos que lo definen, en general el que tiene origen en O(0,0,0). A partir de ahora cuando se diga vector de origen en el punto y extremo en el punto. se entenderá que se refiere al vector OPERACIONES CON VECTORES. El producto de número real k por un vector es otro vector que tiene la misma dirección que, el mismo sentido que si k>0 y sentido opuesto si k<0 y cuyo módulo es igual al valor absoluto de k por el módulo de. En coordenadas: Para sumar dos vectores se hace coincidir el origen del segundo vector con el extremo del primero, y el vector suma se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del segundo. En coordenadas: Propiedades: Suma: Asociativa: Conmutativa: Existencia de elemento neutro: el vector Existencia de opuesto : el opuesto de es

2 Producto por un número: Asociativa: Distributiva respecto de la suma de vectores: Distributiva respecto de la suma de números: Existencia de elemento neutro: Todas estas propiedades le confieren al conjunto de los vectores estructura de espacio vectorial. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. Dado un vector, se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existen números reales de modo que. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente dependiente si uno cualquiera de ellos puede escribirse como combinación lineal de los demás. En caso contrario se dice que son linealmente independientes. Dos vectores alineados o paralelos son linealmente dependientes. Dos vectores no alineados son linealmente independientes. Tres vectores coplanarios son linealmente dependientes. Tres vectores no coplanarios son linealmente independientes. Una base está formada por un conjunto de vectores linealmente independientes y tales que cualquier otro vector puede escribirse con combinación lineal de ellos. Tres vectores no coplanarios cualesquiera forman una base del conjunto de vectores del espacio. Si los tres vectores son perpendiculares se dice que forman una base ortogonal, y si además sus módulos son iguales a 1, se dice que la base es ortonormal.

3 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. Dados dos vectores y, se define el producto escalar como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, es decir: El resultado de multiplicar escalarmente dos vectores es un número real. En coordenadas: Si y, entonces: Ángulo entre dos vectores: Despejando en la definición de producto escalar se halla el coseno del ángulo que forman: Vector unitario. Un vector unitario es un vector de módulo 1. Para hallar un vector unitario paralelo a entre su módulo, es decir, el vector unitario y paralelo a, se dividen las componentes de es Proyección de un vector sobre otro La longitud de la proyección de sobre es el número Si el ángulo que forman y es menor que 90, entonces p>0 Si el ángulo que forman y es mayor que 90, entonces p<0 Las coordenadas del vector proyección son Propiedades del producto escalar. Si entonces.

4 PRODUCTO VECTORIAL. Dados dos vectores y, se define el producto vectorial como un nuevo vector caracterizado por: Módulo: Dirección perpendicular a los vectores y. Sentido, el resultante de aplicar la regla del sacacorchos. Si puede ocurrir que uno de los dos vectores sea nulo, o que, con lo que el ángulo que forman es de 0 o 180, es decir, tienen la misma dirección (son linealmente dependientes). Expresión analítica: Si y, entonces: Interpretación geométrica: Consideremos los vectores y y el paralelogramo que determinan: El área de dicho paralelogramo es. Además., de donde, Es decir, el módulo del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo que determinan dichos vectores Propiedades del producto vectorial:

5 PRODUCTO MIXTO DE VECTORES. Se define el producto mixto de tres vectores, y y se denota por al número real obtenido del producto escalar del primero por el producto vectorial de los otros dos. Expresión analítica: = Interpretación geométrica. Consideremos los vectores, y y el paralelepípedo que determinan: Su volumen es. Además, de donde De donde resulta que el producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo definido por ellos. Propiedades del producto mixto. Si, y son linealmente dependientes entonces

6 PAEU 1. Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores y (septiembre 2011) 2. Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1 que sea perpendicular a los vectores y, siendo P(1,3,1), Q(2,0,1) y R(1,1,0). (septiembre 2014) 3. Puede haber dos vectores y de R³ tales que 2? (junio 2015) 4. Calcular un vector de módulo 4 que tenga la misma dirección, pero distinto sentido, que el vector (junio 2016)