Tema 13: Espacio vectorial
|
|
- Luz Pérez Ríos
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema 1: Espacio vectorial 1. Vectores en el espacio Un vector fijo del espacio es un segmento AB ordenado donde A y B son puntos del espacio. Lo representaremos por AB, siendo A el origen y B el extremo. Al igual que en el plano, un vector del espacio AB se caracteriza por su: - módulo: longitud del segmento AB. Lo expresamos AB. - dirección: la de la recta que lo contiene. - sentido: el del origen hacia el extremo. Se dice que dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Vector libre v es el conjunto de vectores equipolentes a uno dado. Llamaremos V al conjunto de los vectores libres del espacio.. Operaciones con vectores.1 Producto por número real Sea k R y u V. Definimos el producto k u como el vector libre que tiene por módulo k veces el de u, dirección la del vector u y, sentido el de u si k > 0 o contrario a u si k < 0. k u V..1.1 Propiedades del producto por números reales α, β R, u, v V, se cumple: P1] Distributiva respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u + α v P] Distributiva respecto de la suma de escalares: (α + β) u = α u +β u P] Asociativa: (α β) u = α (β u ) P4] 1 u = u.. Suma de vectores libres Gráficamente, para sumar dos vectores libres u y v, hacemos coincidir el extremo del primero con el origen del segundo. El vector suma se obtiene uniendo el origen de u con el extremo de v. También podemos utilizar la regla del paralelogramo: 1
2 ..1 Propiedades de la suma de vectores libres u, v, w V, se cumple: S1] Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w ) S] Conmutativa: u + v = v + u S] Elemento neutro: 0 V tal que 0 + u = u + 0 = u S4] Elemento opuesto: u V ( u ) V tal que u + ( u ) = 0. El espacio vectorial de los vectores libres del espacio V Con las propiedades descritas en los apartados anteriores, se dice que el conjunto V de los vectores libres del espacio tiene estructura de espacio vectorial..1 Combinaciones lineales, vectores linealmente dependientes e independientes. Base - Se dice que un vector u es combinación lineal de un conjunto de vectores {u 1, u, u n } si existen números reales α 1, α, α n tales que u = α 1 u 1 + α u + + α n u n. - Se dice que un conjunto de vectores {u 1, u, u n } es linealmente dependiente (L.D) si, al menos, uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás; en caso contrario, se dice que son linealmente independientes (L.I). - Un conjunto de vectores {u 1, u, u n } es un sistema de generadores si cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de ellos. - Base de un espacio vectorial es cualquier conjunto de vectores que sea linealmente independiente y sistema de generadores. La dimensión de un espacio vectorial es el cardinal de cualquiera de sus bases. En el espacio tridimensional V, el número máximo de vectores linealmente independientes es tres. Así, tres vectores L.I constituyen una base y su dimensión es. Al igual que en el plano, la base canónica del espacio es la formada por los vectores B = {i, j, k } siendo i = (1, 0, 0}, j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1): = 1 0 rg ( 0 1 0) = son linealmente independientes.. Componentes de un vector en una base Un vector v V se puede expresar en función de los vectores de una base B = {u 1, u, u }: v = x u 1 + y u + z u Se llaman componentes del vector v en la base B = {u 1, u, u } a la terna (x, y, z) y lo escribiremos v(x, y, z) en B. Estas componentes son únicas en dicha base.
3 Ejemplo 1 Comprueba que el conjunto de vectores B = {u 1 = (1, 1, 0), u = (0, 1, ), u = (1, 1, )} forman una base del espacio R y halla las componentes del vector u = (4,, 4) en dicha base Como 0 1 = 6 0, rg ( 0 1 ) =. El conjunto de vectores B es linealmente independientes, al tratarse de tres vectores del espacio, forman base. Expresamos el vector u = (4,, 4) como combinación lineal de los de la base: (4,, 4) = α (1, 1, 0) + β (0, 1, ) + γ (1, 1, ) (4,, 4) = (α, α, 0) + (0, β, β) + (γ, γ, γ) (4,, 4) = (α + γ, α + β + γ, β + γ ) obteniendo el sistema: α + γ = 4 { α + β + γ = cuya única solución es α = ; β = 1; γ = 1 β + γ = 4 Así, u = (, 1, 1) en la base B. Ejemplo Dados los vectores u 1 = (, 0, ), u = (1, 1, 0), u = (0,, ) y u 4 = (4,, ) deduce cuántos vectores independientes hay y di si generan R Calculemos el rango de la matriz de componentes de los vectores A = ( 0 1 ) 0 Como 1 0, tenemos que rg(a) 0 1 Orlamos con tercera fila y tercera y cuarta columna: Como 0 1 = 0 y 0 1 = 0 se tiene que rg(a) = 0 0 Solo hay dos vectores linealmente independientes y, por tanto, no generan R 4. Producto escalar de dos vectores en el espacio V Sean u, v vectores libres del espacio. Definimos su producto escalar u v como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman: u v = u v cos (u, v ) Nota: El ángulo de dos vectores es el menor de los ángulos que forman al hacer coincidir sus orígenes. 4.1 Consecuencias de la definición - Si u = 0 o v = 0, entonces u v = 0 - Si (u, v ) = 90º, entonces u v = 0 - u u = u u cos(u, u ) = u cos(0º) = u y, por tanto, u = u u Un vector se denomina unitario si su módulo es la unidad. Una base se llama ortogonal si sus vectores son perpendiculares dos a dos. Una base se llama ortonormal si es ortogonal y de vectores unitarios. (La base canónica) 4. Propiedades del producto escalar u, v, w V, k R 1) Conmutativa: u v = v u
4 ) Asociativa mixta: k (u v) = (k u ) v ) Distributiva respecto de la suma de vectores: u (v + w ) = u v + u w 4) u u 0 5) u u = 0 u = 0 4. Interpretación geométrica del producto escalar Sean u, v dos vectores no nulos, u = OA y v = OB Sea A la proyección de A sobre la semirrecta OB. u v = u v cos(u, v ) = u v = u v cos α En el triángulo OA A se tiene que cos α = OA de donde OA OA = OA cos α = v cos α Por tanto, u v = u OA El producto escalar de dos vectores no nulos u y v es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. 4.4 Expresión analítica del producto escalar Sea B = {e 1, e, e } una base cualquiera del espacio y u y v dos vectores del mismo. Supongamos que u = (u 1, u, u ) y v = (v 1, v, v ) en dicha base. u = u 1 e 1 + u e + u e y v = v 1 e 1 + v e + v e u v = (u 1 e 1 + u e + u e ) (v 1 e 1 + v e + v e ) = = u 1 v 1 (e 1 e 1 ) + u 1 v (e 1 e ) + u 1 v (e 1 e ) + u v 1 (e e 1 ) + u v (e e ) + u v (e e ) + +u v 1 (e e 1 ) + u v (e e ) + u v (e e ) expresión que, en notación matricial, se puede escribir: e 1 e 1 e 1 e e 1 e u v = (u 1, u, u ) ( e e 1 e e e e ) ( v ) e e 1 e e e e v e 1 e 1 e 1 e e 1 e ( e e 1 e e e e ) es la matriz del producto escalar. e e 1 e e e e Si elegimos una base adecuada, la expresión anterior queda más reducida. Así, si la base B = {e 1, e, e } es ortogonal, los productos e i e j = 0 para i j y e i e i = e i : u v = u 1 v 1 e 1 + u v e + u v e Si la base B = {e 1, e, e } es ortonormal, e 1 = e = e = 1, con lo que u v = u 1 v 1 + u v + u v que es la expresión del producto escalar en base ortonormal. La base canónica B del espacio es la formada por los vectores B = {i, j, k } siendo i = (1, 0, 0}, j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) La matriz identidad ( 0 1 0) es la matriz del producto escalar en dicha base Salvo que se diga lo contrario, trabajaremos en base ortonormal porque simplifica notablemente los cálculos. v 1 4
5 Ejemplo Calcula el producto escalar de los vectores u = (, 1, ) y v = ( 1, 1, 5) expresados en una base ortonormal. u v = u 1 v 1 + u v + u v = ( 1) + ( 1) = Ángulo de dos vectores Sean u = (u 1, u, u ) y v = (v 1, v, v ) vectores del espacio en base ortonormal. Vimos que u = u u = u 1 + u + u De la expresión del producto escalar de dos vectores u y v, u v = u v cos(u, v ), tenemos cos(u u 1 v 1 + u v + u v, v ) = u v u v = u 1 + u + u v 1 + v + v expresión que nos proporciona el valor del coseno del ángulo que forman u y v. Ejemplo 4 Calcula el ángulo que determinan los vectores u = (, 1, ) y v = (0,, 1) cos(u u v, v ) = u v = = 4 5 0, Ahora necesitamos saber qué ángulo tiene por coseno ese valor, para lo cual utilizamos arccoseno del valor y obtenemos (u, v ) 16,6 5. Producto vectorial de dos vectores en el espacio V Sean u, v vectores libres del espacio V y B = {i, j, k } la base ortonormal canónica del espacio. Definimos la ley de composición interna, denominada producto vectorial: : VxV V (u, v) u v que asocia a cada par de vectores (u, v) de componentes u = (u 1, u, u ) y v = (v 1, v, v ) el vector u v = ( u u v v ), u u 1 v v, u 1 u 1 v 1 v. El vector u v lo podemos escribir simbólicamente mediante el determinante i j k u u u v = u 1 u u = v v i + u u 1 v v j + u 1 u 1 v 1 v k v 1 v v 5.1 Interpretación geométrica del producto vectorial Vamos a calcular el módulo del vector u v: u v = (u v ) (u v ) = u u v v + u u 1 v v + u 1 u 1 v 1 v = = (u v u v ) + (u v 1 u 1 v ) + (u 1 v u v 1 ) = = u v + u v u v u v + u v 1 + u 1 v u v 1 u 1 v + u 1 v + u v 1 u 1 v u v 1 Sumando y restando u 1 v 1 + u v + u v obtenemos u v = (u 1 + u + u ) (v 1 + v + v ) (u 1 v 1 + u v + u v ) = u v (u v) = u v u v cos (u, v ) = Por tanto u v (1 cos (u, v )) = u v sen (u, v ) 5
6 u v = u v sen(u, v ) Representamos por OA y OB los vectores u y v respectivamente. Formamos el paralelogramo OACB de altura h. Se tiene que h = v sen(u, v ) Ponemos valor absoluto en seno porque el ángulo podría ser obtuso en cuyo caso el seno sería negativo. Por tanto, u v = u h que es el área del paralelogramo OACB, es decir, geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. 5. Propiedades del producto vectorial Las siguientes propiedades son consecuencia de las propiedades de los determinantes. α R, u, v, w V 1) Anticonmutativa: u v = v u. ) (αu ) v = u (αv) = α(u v) ) Distributiva: u (v + w ) = u v + u w 4) El producto vectorial u v es un vector ortogonal a u y a v Demostración u (u v) = u 1 u u v v + u u u 1 v v 1 + u u 1 u Análogamente v (u (u v)) = 0 5) u v = 0 u y v son linealmente dependientes. Demostración u 1 u u v 1 v = u 1 u u u v = 0 u u v v = 0, u u 1 v v 1 = 0, u 1 u v 1 v = 0 Por tanto, rg ( u 1 u u v 1 v v ) = 1 y u y v son linealmente dependientes. v 1 v v = 0 Como consecuencia de lo expuesto anteriormente, el producto vectorial de dos vectores u y v es un vector w = u v que tiene por: - módulo: u v = u v sen(u, v ). - dirección: perpendicular común a u y v. - sentido: el de avance del sacacorchos que gira de u hacia v. Ejemplo 5 Calcula el área del paralelogramo que determinan los vectores u = ( 4, 0, 5) y v = ( 4,, 0) El área del paralelogramo es el valor del módulo del producto vectorial entre los vectores dados. 6
7 Calculamos el producto vectorial de los vectores u = ( 4, 0, 5) y v = ( 4,, 0): u v = i j k = 15i 0j 1k 4 0 Área del paralelogramo A = ( 15) + ( 0) + ( 1) = 765 u 6. Producto mixto Sean u, v, w V. Definimos producto mixto de los vectores u, v, w, y lo representamos por [u, v, w ], como el producto escalar del primer vector por el vectorial de los otros dos, esto es [u, v, w ] = u (v w ) 6.1 Interpretación geométrica del producto mixto u (v w ) = u v w cos(u, v w Sean OA, OB y OC representantes de los vectores u, v y w respectivamente. Sea h la altura del paralelepípedo cuyas aristas, que concurren en el vértice origen O, son los tres vectores dados. En el triángulo OAD se tiene cos(u, h v w ) = de donde h = u cos(u, v w u ) ) = h v w = volumen del paralelepípedo igualdad que nos dice que el valor absoluto del producto mixto, u (v w ), es igual al volumen del paralelepípedo cuyas aristas, que concurren en el vértice origen O, son los tres vectores dados. 6. Expresión analítica del producto mixto Sean u, v vectores libres del espacio V y B = {i, j, k } la base ortonormal canónica del espacio. u = (u 1, u, u ) y v = (v 1, v, v ). [u, v, w ] = u (v w ) = (u 1, u, u ) ( v v w w, v v 1 w w, v 1 v 1 w 1 w ) = = u 1 v v w w + u v v 1 w w + u v u 1 v 1 u u 1 w 1 w = v 1 v v w 1 w w u 1 u u [u, v, w ] = v 1 v v w 1 w w 6. Propiedades del producto mixto Las siguientes propiedades son consecuencia de las propiedades de los determinantes. 1) El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores pero cambia de signo si éstos se trasponen. [u, v, w ] = [v, w, u ] = [w, u, v] ; [u, v, w ] = [v, u, w ] = [u, w, v] = [w, v, u ] ) [αu, v, w ] = [u, αv, w ] = [u, v, αw ] = α [u, v, w ] ) [u, v, w + w ] = [u, v, w ] + [u, v, w ] 4) [u, v, w ] = 0 u, v, w son linealmente dependientes. 7
8 Ejemplo 6 Calcula el volumen del paralelepípedo definido por los vectores u = (, 1, 5) y v = (4,, 1) y w = (1, 0, 1). 1 5 C C [u, v, w ] = 4 1 = 4 = V paralelepípedo = [u, v, w ] = 19 u Ejemplo 7 Calcula el volumen del tetraedro definido por los vectores u = (, 1, 5) y v = (4,, 1) y w = (1, 0, 1). 1 5 C C [u, v, w ] = 4 1 = 4 = V Tetraedro = 1 6 V paralelepípedo = 1 6 [u, v, w ] = 19 6 u 7. Sistema de referencia cartesiano en el espacio Consideremos un punto origen O en el espacio y una base B = {u 1, u, u }, Al conjunto R = {O; B} lo llamaremos sistema de referencia cartesiano del espacio. Para cualquier punto P se tiene el vector de posición: OP = x u 1 + y u + z u Llamaremos coordenadas del punto P en la referencia R a las componentes del vector OP en la base B y lo escribiremos P(x, y, z). Un vector PQ con origen en el punto P(x, y, z) y extremo en el punto Q(x, y z ) tendrá de componentes PQ (x x, y y, z z) al ser OP + PQ = OQ, de donde PQ = OQ OP. Ejemplo 8 Dados los puntos del espacio P(, 1, ), Q( 1, 1, 5)y R(0,, ) determina las componentes de los vectores PQ, QR y RP. PQ = (,, ) ; QR = (1, 1, 8) ; RP = (,, 6) En el siguiente tema nos ocuparemos de la geometría afín, el espacio afín asociado a un espacio vectorial. En él se consideran los puntos del espacio R y los vectores del espacio vectorial V. A cada punto A y a cada vector v se le hace corresponder un único punto A tal que AA = v. Se determinan las ecuaciones de la recta y del plano en el espacio así como las posiciones relativas. 8
EL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO
EL ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO PRODUCTO ESCALAR Sean dos vectores del espacio V 3. Llamamos producto escalar de dichos vectores, y se denota, al número real que se obtiene al multiplicar sus módulos por
Más detallesen el espacio queda caracterizado por un par de puntos A y B, o bien por su módulo, dirección y sentido junto con el origen, siendo:
TEMA 10: VECTORES EN EL ESPACIO. 10.1 Vectores fijos y libres en el espacio vectorial. 10. Operaciones con vectores libres. Bases del espacio vectorial. 10.3 Producto escalar. Módulo y ángulo de vectores.
Más detallesTEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO DEF.- Se llama vector fijo de extremos A y B al segmento orientado AB, y se representa por Todo vector fijo queda caracterizado por { Dos vectores fijos se dice que son equivalentes,
Más detallesTEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO 1.- INTRODUCCIÓN Un vector fijo AB del espacio (también lo era en el plano) es un segmento orientado que tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B. Estos
Más detallesRESUMEN DE VECTORES. representa por AB El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.
RESUMEN DE VECTORES Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). ELEMENTOS DE UN VECTOR: Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección
Más detallesRESUMEN DE VECTORES. Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). ELEMENTOS DE UN VECTOR:
RESUMEN DE VECTORES Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Componentes de un vector Si las coordenadas de los puntos A y B son ELEMENTOS DE UN VECTOR:
Más detallesVECTORES. A cada clase de vectores equipolentes se denomina vector libre.!
VECTORES Vectores libres del plano Definiciones Sean A y B dos puntos del plano de la geometría elemental. Se llama vector AB al par ordenado A, B. El punto A se denomina origen y al punto B extremo. (
Más detallesV E C T O R E S L I B R E S E N E L P L A N O
V E C T O R E S L I B R E S E N E L P L A N O 1. V E C T O R E S F I J O S Y V E C T O R E S L I B R E S E N E L P L A N O Existen magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, que no quedan
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Luisa Martín Horcajo U.P.M. Definición: Vector libre. Operaciones Un vector fijo es una segmento orientado, que queda caracterizado por su origen A y su extremo B y se representa por
Más detalles1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3.
. Producto escalar. Propiedades... Norma de un vector. Espacio normado...ortogonalidad. Ángulos..3.Producto escalar en V..4.Producto escalar en V 3.. Producto vectorial de dos vectores de V 3...Expresión
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detallesGeometría Analítica Espacios Vectoriales VECTORES EN EL PLANO
VECTORES EN EL PLANO 1 ESPACIO VECTORIAL Un vector fijo es una pareja ordenada de puntos en el plano (origen y extremo) Si A y B son dichos puntos, representaremos el vector por AB Gráficamente, lo representamos
Más detallesUnidad 4: VECTORES EN EL ESPACIO
Unidad 4: VECTORES EN EL ESPACIO 4.1.- OPERACIONES CON VECTORES Las características de los vectores en el espacio, así como sus operaciones, son idénticas a las de los vectores del plano, que ya conoces
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado
Más detallesVectores. 2)Coordenadas y base Combinación lineal Vectores linealmente dependiente Bases. Bases canónica
Vectores 1) Vectores en R 2 Vector fijo en el plano Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo) Vectores equipolentes Vector libres Propiedad fundamental de los vectores
Más detalles1º Bachillerato Matemáticas I Tema 5: Vectores Ana Pascua García
Página 1 de 13 Introducción Vectores: Algo más que números En este tema estudiaremos qué son los vectores en el plano real, R, sus propiedades, y a utilizarlos para entre otras cosas resolver problemas
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
UNIDAD VECTORES EN EL ESPACIO Página 13 Problema 1 Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo α: cm Área = 8 sen α = 40 sen α cm α 8 cm Halla el área de este triángulo en función del ángulo
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesPara poder desarrollar este tema, vamos a exponer inicialmente la teoría Recordaremos el Producto Escalar, Vectorial y Mixto. u, v, w V.
1. Introducción. 1.1. Producto Escalar. 1.. Norma de un Vector. 1.3. Ángulos. 1.4. Ortogonalidad. 1.5. Particularización del Producto Escalar a V 3. 1.6. Producto Vectorial de dos Vectores de V 3. 1.7.
Más detallesVectores. en el plano
7 Vectores 5 en el plano LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Los vectores nos dan información en situaciones como el sentido de avance de una barca o la dirección de un trayecto en bicicleta. INICIO
Más detallesI.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1
PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número
Más detallesProblemas métricos. Ángulo entre rectas y planos
Problemas métricos Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo que determinan entre sí sus vectores directores. Dos rectas son perpendiculares
Más detallesUNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES
UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES Introducción. Vectores. Adición de vectores. Propiedades. Multiplicación de un vector por un escalar. Propiedades. Módulo o norma de un vector. Vector unitario o versor.
Más detallesVECTORES DEL ESPACIO EUCLIDEO.
VECTORES DEL ESPACIO EUCLIDEO. VECTORES. VECTOR LIBRE. Se llama vector fijo, al par ordenado (A,B), siendo A y B dos puntos del espacio formado por todos los puntos geométricos. Origen del vector será
Más detallesUNIDAD 1: ELEMENTOS ALGEBRAICOS 1B : VECTORES
UNIDAD 1: ELEMENTOS ALGEBRAICOS 1B : VECTORES Conceptos A partir de la identificación de puntos de la recta con números reales, se puede avanzar relacionando puntos del plano y del espacio con pares o
Más detallesVECTORES : Las Cantidades Vectoriales cantidades escalares
VECTORES En física hay dos tipos de cantidades: Las Cantidades Vectoriales son aquellas que tiene tanto magnitud como dirección y sentido sobre la dirección), mientras que las cantidades escalares son
Más detalles3.1 El espacio afín R n
3. Geometría analítica 3.1 El espacio afín R n Consideremos el conjunto R n, formado por las listas ordenadas (x 1,...,x n ) de números reales. Convengamos en llamar puntos a los elementos de R n. Pero
Más detallesEL ESPACIO AFÍN. se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes
VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. Sea E el espacio ordinario. EL ESPACIO AFÍN Llamaremos vector fijo a cualquier segmento orientado dado por dos puntos A y B del espacio E. Al punto A lo llamamos origen del
Más detallesResuelve. Unidad 4. Vectores en el espacio. BACHILLERATO Matemáticas II. Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo.
Resuelve Página Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo. Expresa la diagonal de un ortoedro en función de sus dimensiones, a, b y c. c b a c c b b a Diagonal = a + b + c. Calcula el volumen
Más detallesR 3 = { ( x, y, z ) / x R, y R, z R }
El conjunto R 3 Es un conjunto de ternas ordenadas de números reales R 3 = { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primera componente Segunda componente Tercera componente Igualdad de ternas: (x, y, z) = (x',
Más detallesTEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
Alonso Fernández Galián Tema 6: Geometría analítica en el plano TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO La geometría analítica es el estudio de objetos geométricos (rectas, circunferencias, ) por medio
Más detallesTEMA 11: VECTORES EN EL ESPACIO
Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica TEMA : VECTORES EN EL ESPACIO. VECTORES EN EL ESPACIO OPERACIONES CON VECTORES. BASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL ESPACIO. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Más detallesUn vector es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos:
El conjunto R 3 : Conjunto formado por todas las ternas de números reales. Un vector es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos: - Módulo: Es la longitud del vector. - Dirección: es
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (PRODUCTOS ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. número real
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (PRODUCTOS ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El producto escalar de dos vectores v y u es un número real, que se obtiene multiplicando los módulos
Más detallesa) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes. 1 2 = 3 x = 1, y = 2 3 No tiene solución, luego no se puede.
Ejercicios y problemas propuestos Página Para practicar Dependencia e independencia lineal. Base y coordenadas Dados estos vectores: u(,, ), v (,, ), w (,, ), z (,, ) a) Cuántos de ellos son linealmente
Más detallesProducto escalar. Bases ortonormales. Producto vectorial y producto mixto.
Capítulo Producto escalar. Bases ortonormales. Producto vectorial y producto mixto. DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR Dados dos vectores x = (x 1 x 2...x n ) e y = (y 1 y 2...y n ) de R n definimos su producto
Más detallesTema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto)
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Vectores 75 Espacios vectoriales Tema 4 Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Definición de espacio vectorial Un
Más detalles6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.
6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. Introducción Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS
VECTORES EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología Profesor: Jorge Escribano Colegio Inmaculada Niña Granada www.coleinmaculadanina.org
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.
Más detallesTema 2: Álgebra vectorial
Tema 2: Álgebra vectorial FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores
Más detalles1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.
CAPÍTULO 1 El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,B,C... 1.1. El espacio vectorial de los vectores Definición 1.1 Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e B del espacio
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.. ESPACIOS VECTORIALES VECTOR FIJO Segmento orientado. Queda determinado por Origen A(a, a, a ); extremo B(b, b, b ) Módulo: Longitud del AB ( b a) ( b a) ( b a) segmento AB Características:
Más detalles1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.
CAPÍTULO 1 El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,,C... 1.1. El espacio vectorial de los vectores Definición 1.1 Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e del espacio
Más detallesEL ESPACIO AFÍN EUCLIDEO
EL ESPACIO AFÍN EUCLIDEO DEFINICIÓN: Dado el Espacio Afín donde es el espacio ordinario, es el espacio de los vectores libres y f es la aplicación que a cada par de puntos (A,B) asocia el vector libre.
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones MATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos Vectores Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b
Más detallesDado un vector fijo, existen infinitos vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido
1. VECTORES. DEFINICIONES. OPERACIONES Un vector fijo AB queda determinado por dos puntos, el origen A y el extremo B Se llama módulo del vector AB a la distancia que hay entre A y B. Se designa por AB
Más detallesCÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B
ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS CÁLCULO II VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B b) A B + C c) 4A 3B d) 4(A + B) 5C e) 1 2 (A B) + 1 4 C 2. Sean
Más detallesVECTORES 1.2 CONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES. En este capítulo estudiaremos los vectores y su álgebra.
CAPITULO I CALCULO II VECTORES 1.1 INTRODUCCIÓN Los vectores son un auxiliar utilísimo para la geometría del espacio. En esta unidad partiendo de lo que ya se sabe de vectores en el plano, se contemplan
Más detallesAPUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL
Vectores y escalares. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que
Más detallesÁLGEBRA VECTORIAL MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES:
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES: Una magnitud es escalar cuando el conjunto de sus valores se puede poner en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales o una parte del
Más detallesALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA
Diplomatura en Ciencia y Tecnología ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA SEGUNDO CUATRIMESTRE DE 2009 Profesora Mariana Suarez PRACTICA N 7: SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL. VECTORES. PRACTICA 7: Sistema coordenado
Más detalles1.1 Definición de Vectores en R^2 y R^3 y su generalización. Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud.
1.1 Definición de Vectores en R^2 y R^3 y su generalización. Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra vectores se refiere a los elementos de cualquier
Más detallesProducto Escalar. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Producto Escalar 1 / 31
Producto Escalar AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Producto Escalar 1 / 31 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber usar el producto escalar. Calcular
Más detallesTEMA 5. VECTORES. Dados dos puntos del plano y.
TEMA 5. VECTORES. Dados dos puntos del plano y. Se define el vector de origen A y extremo B como el segmento orientado caracterizado por su módulo (su longitud), dirección (la de la recta que lo contiene)
Más detallesel blog de mate de aida MI: repaso de vectores pág. 1 VECTORES
el blog de mate de aida MI: repaso de vectores pág. VECTORES.- LOS EJES CARTESIANOS Y EL ORIGEN El eje horizontal se llama eje de abscisas el eje vertical se llama eje de ordenadas. El punto de corte de
Más detallesTEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a b b) a b c)
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesCÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por:
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores A y, y escribimos A, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A yson (LI), entonces el vector A se caracteriza por:
Más detallesTEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b b) a b
Más detallesEspacios vectoriales. Vectores del espacio.
Espacios vectoriales. Vectores del espacio. Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla: a) el área de una de las bases; b) el volumen del
Más detallesProblemas resueltos del libro de texto. Tema 8. Geometría Analítica.
Problemas resueltos del libro de texto Tema 8 Geometría Analítica Combinación lineal de vectores 9- Es evidente que sí es combinación lineal de estos dos vectores, ya que -4 y permiten escribir z como
Más detallesVECTORES. Vector fijo : es un segmento cuyos extremos se dan en cierto orden. Se simbolizan de la siguiente forma : AB
VECTORES Vector fijo : es un segmento cuyos extremos se dan en cierto orden. Se simbolizan de la siguiente forma : B Características de un vector fijo :. 1º Módulo : es la longitud del segmento B. Se simboliza
Más detallesVerifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.
Álgebra Geometría Analítica Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Prof. Gisela Saslavs Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..
Más detalles190. Dado el paralelepípedo OADBFCEG en el espacio afín ordinario, se considera el sistema de referencia afín R = ( O, OA, OB, OC ).
Hoja de Problemas Geometría VIII 90. Dado el paralelepípedo OADBFCEG en el espacio afín ordinario, se considera el sistema de referencia afín R O, Sean: OA, OB, OC ). OG la recta determinada por los puntos
Más detallesTema 2: Vectores libres
Tema 2: Vectores libres FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores
Más detallesVectores en el espacio
Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detallesEl espacio euclídeo El espacio vectorial R n. Definición. Conjunto de todas las n-uplas de números reales:
Lección 1 El espacio euclídeo 1.1. El espacio vectorial R n Definición. Conjunto de todas las n-uplas de números reales: R n = {(x 1,x 2,...,x n ) : x 1,x 2,...,x n R} Nos interesan los casos n = 2 y n
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesGeometría analítica del plano
8 Geometría analítica del plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer los elementos de un vector identificando cuando dos vectores son equipolentes. Hacer operaciones con vectores libres tanto
Más detallesTEMA 1 Álgebra de matrices 4 sesiones. TEMA 2 Determinantes 4 sesiones. TEMA 3 Sistemas de ecuaciones 4 sesiones
1.1. MATEMÁTICAS II TEMPORALIZACIÓN Y SECUENCIACIÓN: TEMA 1 Álgebra de matrices 4 sesiones TEMA 2 Determinantes 4 sesiones TEMA 3 Sistemas de ecuaciones 4 sesiones TEMA 4 Vectores en el espacio 4 sesiones
Más detallesCapítulo 8: Vectores
Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no
Más detallesPrograma de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago
Guía de vectores. Vectores En matemática, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesVerifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.
Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..
Más detallesProblemas de vectores
Problemas de vectores 1.- Expresa el vector mm = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0, 1, 1). 2.- Siendo uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0,
Más detallesUNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI CAPITULO 2 VECTORES
CAPITULO 2 VECTORES 2.1 Escalares y Vectores Una cantidad física que pueda ser completamente descrita por un número real, en términos de alguna unidad de medida de ella, se denomina una cantidad física
Más detallesel blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. 1
el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. VECTORES.- LOS EJES CARTESIANOS Y EL ORIGEN El eje horizontal se llama eje de abscisas y el eje vertical se llama eje de ordenadas. El punto de
Más detallesTIPOS DE MAGNITUDES. Las magnitudes físicas se pueden clasificar en:
TIPOS DE MAGNITUDES Una magnitud física es cualquier propiedad física susceptible de ser medida. Ejemplos: el tiempo (t), la velocidad ( ), la masa (m), la temperatura (T), el campo eléctrico ( ). Las
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesEspacio métrico 2º Bachillerato
Espacio métrico 2º Bachillerato Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM) Ángulo entre dos rectas El ángulo de dos rectas
Más detallesOPERACIONES GEOMÉTRICAS CON VECTORES
GUÍA DE APRENDIZAJE Introducción al álgebra vectorial www.fisic.ch Profesor: David Valenzuela Z Magnitudes escalares y vectoriales La gran variedad de cosas medibles (magnitudes) se pueden clasificar en
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio
Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 Geometría del plano y del espacio José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es
Más detallesGUÍA DE APRENDIZAJE Introducción al álgebra vectorial
Liceo Juan XXIII V.A Departamento de ciencias Física Prof. David Valenzuela GUÍA DE APRENDIZAJE Introducción al álgebra vectorial www.fisic.jimdo.com Tercero medio diferenciado Magnitudes escalares y vectoriales
Más detallesTEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera
TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesPuntos y Vectores. 16 de Marzo de 2012
Geometría en Puntos y Vectores Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa 16 de Marzo de 2012 Introducción En Geometría analítica plana las relaciones y las propiedades geométricas se expresan
Más detallesVECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector
VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema
Más detallesvv = ( vi+ v j+ vk)( v i+ v j+ v k) = v v + v v + vv
CÁLCULO VECTORIAL. INTRODUCCIÓN Cálculo de las componentes de un ector Dado un ector cuyo origen es el punto A ( x A,y A,z A ) y su extremo el punto B A ( x B,y B,z B ), las componentes del ector se calculan
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II LOGSE Antonio López García Juan Fernández Maese Angeles Juárez Martín GEOMETRÍA GEOMETRÍA Índice Temático.- VECTORES... 5..- VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES...
Más detallesEXAMEN JUNIO PP 1A SEMANA
EXAMEN JUNIO PP A SEMANA XAVI AZNAR Ejercicio. Defina semejanza, razón de semejanza y movimento asociado a una semejanza. Ejercicio. En el espacio vectorial V 3 (R) sea q la forma cuadrática cuya expresión
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero
Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE
Más detallesVectores en. Definición: Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales, esto es: llamado vector con componentes
Vectores en Definición: Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales, esto es: llamado vector con componentes Interpretación geométrica: Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremos
Más detallesMATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales
Más detallesEn física en realidad existen muchas otras situaciones que no se pueden describir simplemente
VECTORES El concepto de vector fue formulado matemáticamente a fines del siglo XIX por los matemáticos Grasmann (1809-1877) y Hamilton (1805-1865). Esta noción se confirmó lentamente, cuando matemáticos
Más detallesCALCULO VECTORIAL.CONCEPTOS BÁSICOS.
CALCULO VECTORIAL.CONCEPTOS BÁSICOS. 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Magnitud física es todo aquello que se puede medir. Magnitudes escalares Son aquellas que están perfectamente definidas por un
Más detallesGeometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO.
TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO. 6.1. Introducción al plano vectorial. 6.. Operaciones con vectores. 6.3. Dependencia e independencia lineal. Base. 6.4. Producto escalar: Definición, propiedades.
Más detalles