En física en realidad existen muchas otras situaciones que no se pueden describir simplemente
|
|
- José Ángel Peña Salas
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 VECTORES El concepto de vector fue formulado matemáticamente a fines del siglo XIX por los matemáticos Grasmann ( ) y Hamilton ( ). Esta noción se confirmó lentamente, cuando matemáticos y físicos, estudiando problemas muy diversos observaron propiedades y características comunes. En la actualidad los vectores se utilizan para representar y comprender numerosos fenómenos, se emplean en, por ejemplo, en planificaciones económicas, en la teoría utilizada para la obtención de un electrocardiograma, para cuantificar el efecto del viento en la ruta de un avión. Magnitudes escalares y vectoriales Existen situaciones que las podemos describir a través de un número y de una unidad correspondiente, ejemplos,, Este tipo de magnitudes se llaman Magnitudes escalares En física en realidad existen muchas otras situaciones que no se pueden describir simplemente con una magnitud escalar. Por ejemplo, si un barco navega hacia el noroeste, a, y hay viento del sur, a, estas velocidades nos están indicando una dirección, un sentido y la intensidad de cada una. Las magnitudes que quedan determinadas por su dirección, sentido e intensidad se denominan magnitudes vectoriales y se representan mediante vectores. Los vectores son el modelo matemático adecuado para representar desplazamientos y velocidades. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración, las fuerzas, el campo eléctrico. Vamos a estudiar las características de los vectores a partir del siguiente ejemplo: En un instante dado, en la pantalla de un radar se detectaron las posiciones de seis aviones: A, B, C, D, E y F, que siguen rutas rectilíneas 1
2 Un minuto después las posiciones son La superposición de ambas pantallas nos permite observar los desplazamientos de todos los aviones (señalados con letras minúsculas) Cómo podemos caracterizar el desplazamiento de cada uno de los aviones? 2
3 Debemos tener en cuenta: La dirección determinada por la inclinación o pendiente de la recta sobre la cual se encuentran las flechas. Por ejemplo, los desplazamientos v y r tienen la misma dirección, porque los aviones B y F se desplazaron en forma paralela. En cambio, los desplazamientos u y w tienen distinta dirección. El sentido. En una misma dirección hay dos sentidos posibles. Por ejemplo, los desplazamientos v y r tienen el mismo sentido y los desplazamientos s y r (o v y s) tienen sentidos opuestos, pero la misma dirección. El módulo relacionado con la longitud de la flecha, de acuerdo a la escala elegida. En este ejemplo todos los desplazamientos tienen distintos módulos, porque los aviones recorrieron distintas distancias. Los vectores y sus características: dirección, sentido y módulo. Un vector se representa con un segmento de recta orientado. Es decir, un segmento en el que se distingue un sentido (por eso se representa por una flecha). Esta representación permte reconocer el origen y el extremo del vector: B A A es el origen, B es el extremo del vector Entonces, dados dos puntos sobre una recta, C y D, podemos representar: El segmento CD, que tiene extremos C y D C D El vector, que tiene origen en C y extremo en D El vector, que tiene origen en D y extremo en C C C D D Un vector puede indicarse con las letras correspondientes a su origen y extremos, en ese orden vector, o también con una única letra minúscula, vector o simplemente 3
4 Cuando los vectores están ubicados sobre rectas paralelas, o sobre la misma recta, se dicen que tienen la misma dirección En la gráfica siguiente, todos los vectores tienen la misma dirección. Dados dos vectores que tienen la misma dirección, pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos. En la gráfica anterior tienen el mismo sentido, tiene sentido opuesto a los restantes. También se puede observar que algunos de los segmentos orientados que representan vectores tienen la misma longitud Llamaremos módulo de un vector a la longitud del segmento que lo representa y lo notaremos Aquí, y. En cambio. Vectores equipolentes En general cuando dos o más vectores tienen igual dirección, sentido y módulo se dice que son equipolentes. Lo notaremos (se lee: es equipolente a ) 4
5 En el grafico anterior y son equipolentes, en cambio y no lo son porque tienen distinta dirección. El concepto de equipolencia permite definir el concepto de traslación: Dado un punto del plano y un vector, la traslación desplaza el punto hasta, de tal manera que los vectores y son equipolentes Se utiliza la notación ( ) para indicar que es el resultado de trasladar el punto según el vector. Los vectores también pueden representarse en un sistema de coordenadas cartesianas. Esto permite resolver muchos problemas geométricos y físicos desde un nuevo punto de vista. El concepto de equipolencia nos permitirá trasladar un vector cualquiera dado en un sistema de coordenadas cartesianas en otro vector que tiene origen en el origen de coordenadas y es equipolente a. Vectores en un sistema de coordenadas cartesianas Cualquier vector puede caracterizarse dando sus coordenadas, por ejemplo Vector Extremo ( ) Origen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) La operación indicada en la última columna da como resultado el vector ( ), que es un vector de origen ( ) y extremo ( ). También puede notarse que el vector es equipolente a los vectores, y. 5
6 En general Dado cualquier vector en un sistema de coordenadas cartesianas siempre es posible encontrar un vector que tiene origen en ( ) y es equipolente a. Este vector es el representante canónico de Si un vector tiene origen en ( ) y extremo en ( ), su representante canónico es ( ) Coordenadas cartesianas y polares de un vector Si tenemos un vector cuyo origen se colocó en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, trazando desde su extremo líneas paralelas a los ejes, se determinan cantidades y. Decimos, entonces que ( ) son las coordenadas cartesianas de. En general, todo vector con origen en ( ) en un sistema de coordenadas cartesianas queda determinado indicando su módulo y el ángulo que forma con el semieje x positivo, medido a partir de dicho semieje, en sentido contrario a las agujas del reloj. En este caso, decimos que ( ) son las coordenadas polares de. Cómo se determina el ángulo? En los siguientes gráficos se muestran ejemplos en donde se señala el ángulo, de acuerdo con el cuadrante donde está ubicado el vector. 6
7 En cada caso ( ) son las coordenadas cartesianas de. Si se conocen las coordenadas cartesianas de un vector ( ), se pueden calcular las coordenadas polares ( ), teniendo en cuenta que: ( ) ( ) y que. Si se conocen las coordenadas polares de un vector ( ), se pueden calcular las coordenadas, cartesianas, dado que: Observación el símbolo, llamado módulo de (o longitud de ), geométricamente es la distancia del origen de coordenadas a la punta de en el plano. Operaciones con vectores Las operaciones entre magnitudes vectoriales (el cálculo de velocidades y las fuerzas resultantes, la búsqueda del estado de equilibrio, el cálculo del trabajo realizado al mover un cuerpo y muchas otras) pueden interpretarse matemáticamente a partir de operaciones entre los vectores que las representan. 7
8 Suma de vectores La búsqueda de una fuerza que sea equivalente a otras varias aplicadas al mismo cuerpo, o de la velocidad de un cuerpo que participa a la vez de varios movimientos, o del vector que permite obtener el mismo efecto que el de dos traslaciones aplicadas en forma sucesiva a la misma figura son situaciones que pueden resolverse a partir de la suma de vectores Ejemplos Aquí presentamos problemas donde los móviles participan simultáneamente de dos movimientos; nos interesará calcular la velocidad total (o velocidad resultante) de cada uno de ellos. a. Un bote navega en el rio, a favor de la corriente. Su velocidad es de y la velocidad de la corriente de agua es de Con qué velocidad se mueve el bote respecto de la costa? Desde el punto de vista gráfico, representando todas las velocidades con vectores. vector velocidad del bote, vector velocidad de la corriente y la velocidad que se quiere calcular, es decir, la velocidad resultante. Como el bote se mueve a favor de la corriente, tiene las siguientes características: Dirección: la misma que los vectores y Sentido: el de y Módulo: la suma de los módulos de y Determinamos que la velocidad del bote respecto de la costa es de 5 metros por segundo. b. Si el bote navega en contra de la corriente, cuál será su velocidad respecto de la costa? Como el bote se mueve en contra de la corriente, la velocidad resultante tiene: Dirección: la misma que los vectores y. Sentido: el de la velocidad mayor, es decir, el sentido de. Módulo: la diferencia de los módulos de y. Determinamos que la velocidad del bote respecto de la costa es de 1 metros por segundo. 8
9 La suma de vectores es un vector que se puede determinar geométricamente de la siguiente manera: Si y tienen la misma dirección y sentido, tiene: Dirección: la misma que los vectores y Sentido: el de y Módulo: la suma de los módulos de y Y notamos Para hallar el vector suma se dibuja uno de ellos, por ejemplo sobre una recta, y, a continuación, se grafica, será el vector que tiene por origen el origen de, y, por extremo, el extremo de. O A B, entonces Si y tienen la misma dirección y sentido opuesto, tiene: Dirección: la misma que los vectores y Sentido: el del vector de mayor módulo. Módulo: la diferencia de los módulos de y O A B, entonces. 9
10 Si y tienen distinta dirección, se grafican con origen en el mismo punto O, y desde sus extremos se trazan rectas paralelas a ambos vectores. Quedando determinado un paralelogramo. Es por ello que este método recibe el nombre de Regla del paralelogramo Gráficamente: En este caso tiene: Dirección: la del segmento Sentido: desde O hacia C Módulo: el del vector, que es la diagonal del paralelogramo OACB. La regla de la poligonal Para sumar dos o más vectores también puede usarse la regla de la poligonal. Consiste en representar sucesivamente los vectores por sumar, uno a continuación del otro, de manera que el extremo de uno coincida con el origen del próximo. El vector suma se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último. Gráficamente 10
11 Suma de vectores en un sistema de coordenadas En general dos vectores que están ubicados en un sistema de coordenadas cartesianas, y tienen origen en (0,0), se suman con la siguiente regla: ( ) ( ) ( ) Ejemplo ( ) ( ) ( ) ( ) Vector nulo Llamamos vector nulo a un vector cuyo origen coincide con su extremo. Lo notamos ( ), también El vector nulo no tiene dirección (dado que un único punto no determina una dirección) y su módulo es cero. Vectores unitarios Cualquier vector cuya longitud sea 1 es un vector unitario. Ejemplos: ( ), ( ), ( ) son vectores unitarios Producto de un vector por un número Dado un vector no nulo ( ) y un número real k, es un vector con las siguientes características: 11
12 Tiene la misma dirección que Si tiene el mismo sentido que y su módulo es el producto de por el módulo de. Si tiene sentido opuesto a y su módulo es el producto de por el módulo de. En general, un vector que está ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas y tiene origen en (0,0), se multiplica por un número con la siguiente regla: Si ( ) y es un número real, entonces ( ) Ejemplo Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - es el vector opuesto de. Si ( ) entonces ( ) Resta de vectores Para restar dos vectores, por ejemplo, sumamos a el opuesto de. Es decir ( ) Sea entonces 12
13 Teorema Para vectores cualesquiera, y y escalares a y b se cumplen las siguientes propiedades: 1. Propiedad conmutativa 2. ( ) ( ) Propiedad asociativa 3. existencia del neutro 4. ( ) existencia del opuesto 5. ( ) ( ) ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. Demostración: ejercicio Producto entre vectores Producto escalar Dado los vectores no nulos y. Llamaremos producto punto o producto escalar entre y y lo simbolizaremos a Ejemplo Si ( ) y ( ), entonces, (- ) - Observe que el producto punto de dos vectores es un escalar Propiedades del producto punto Si, y son vectores y c es un escalar, entonces se cumplen las siguientes propiedades: ( ) 13
14 3. ( ) ( ) ( ) Para comprender el significado del producto escalar, ofrecemos una fórmula alternativa. Si y son vectores no nulos, entonces. donde es el ángulo entre y,. Para deducir esta fórmula, aplicamos la ley de los cosenos al triángulo de la figura - (1) Por propiedades del producto punto, se obtiene ( )( ) ( ) ( ) (2) Igualando las expresiones (1) y (2) obtenemos. Una consecuencia importante de la fórmula obtenida es el siguiente Teorema (Criterio de perpendicularidad) Dos vectores y son perpendiculares (ortogonales) si y solo si su producto escalar es nulo, es decir,. Demostración: Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si el ángulo determinado entre ellos es ; es decir, si y solo si si y solo si. El resultado vale para vectores nulos, admitiendo que el vector nulo es perpendicular a todo vector. Ejemplo Encuentre b tal que ( ) y ( ) sean perpendiculares, entonces, Por lo tanto. Ejemplo Encuentre el ángulo determinado por ( ) y ( ) ( )( ) 14
15 Por lo tanto. Bases de vectores Sea ( ) y ( ) ; obsérvese que estos dos vectores son perpendiculares y unitarios. Se llaman vectores base debido a que cualquier vector ( ) puede ser representado de manera única en términos de y En efecto ( ) ( ) ( ) Proyecciones de vectores El vector proyección de sobre un vector no nulo es el vector determinado al bajar una perpendicular de Q a la recta PS, y lo denotamos (vector proyección de B sobre A) Si el ángulo entre B y A es agudo, la tiene longitud y dirección. Si el ángulo entre B y A es obtuso, la tiene longitud y dirección. En todo caso ( ) ( ) ( ) El número se llama componente escalar de B en la dirección de A. 15
16 Producto vectorial (cruz) El producto vectorial se usa ampliamente para describir los efectos de las fuerzas en estudios de electricidad, magnetismo, flujo de fluidos y mecánica orbital. Sean los vectores ( ) y ( ) vectores en el espacio, definimos el producto vectorial como el vector ( ) Observación el producto vectorial se puede expresar en función de los vectores bases de la siguiente manera ( ) ( ) ( ) siendo ( ), ( ) y ( ). Para recordar la fórmula del producto cruz, recordemos que, el valor de un determinante de 2x2 es: El valor de un determinante de 3x3 es (desarrollado con respecto al renglón superior) es [ ] Usando determinantes, podemos escribir la definición de como: [ ] El producto vectorial no es conmutativo, es decir,. Ejemplo Sea ( ) y ( ). Calcular y [ ] [ ] Observemos que en este ejemplo - ( ). y esto sucede porque siempre se verifica que 16
17 Teorema - ( ) Sean y vectores en el espacio tridimensional y sea el ángulo que forman. Entonces 1. ( ) ( ) Es decir el producto vectorial es perpendicular tanto a como a 2. 3.,, forman una triada derecha Demostración 1. Ejercicio 2. ( )( ) ( ) identidad de Lagrange Teniendo en cuenta el producto escalar ( ) ( ) ( ) como,. Por tanto extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros. 3. La triada derecha es algo difícil de establecer analíticamente. En particular podemos observar que. es derecha. Teorema Dos vectores y del espacio son paralelos si y solo si Demostración Ejercicio 17
TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo
Más detallesy cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios
Más detallesMÓDULO 8: VECTORES. Física
MÓDULO 8: VECTORES Física Magnitud vectorial. Elementos. Producto de un vector por un escalar. Operaciones vectoriales. Vector unitario. Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. UTN
Más detallesVECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector
VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema
Más detallesMATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES
MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detallesESCALARES Y VECTORES
ESCALARES Y VECTORES MAGNITUD ESCALAR Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo número y tiene el mismo valor para todos los observadores. Se dice también que es aquella que solo
Más detallesRepaso de Vectores. Autor: Dra. Estela González. flecha. La longitud de la línea indica la magnitud del vector, y su
Autor: Dra. Estela González Algunas cantidades físicas como tiempo, temperatura, masa, densidad y carga eléctrica se pueden describir plenamente con un número y una unidad, pero otras cantidades (también
Más detallesTrigonometría y Análisis Vectorial
Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Prof. Ronn J. ltuve Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial 1. Teorema de Pitágoras: establece que en un triángulo rectángulo el
Más detallesESTÁTICA 3 3 VECTORES
ESTÁTICA Sesión 3 3 VECTORES 3.1. Componentes en dos dimensiones 3.1.1. Operación con vectores por sus componentes 3.1.2. Vectores de posición por sus componentes 3.2. Componentes en tres dimensiones 3.2.1.
Más detallesPUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO
PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO PUNTOS EN EL PLANO Tomando como referencia los ejes cartesianos del plano, un punto se representa mediante un par ordenado (a, b) de números reales, es decir, mediante un
Más detallesI.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1
PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detallesBloque 2. Geometría. 2. Vectores. 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas
Bloque 2. Geometría 2. Vectores 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares,
Más detallesCFGS CONSTRUCCION METALICA MODULO 246 DISEÑO DE CONSTRUCCIONES METALICAS
CFGS CONSTRUCCION METALICA MODULO 246 DISEÑO DE CONSTRUCCIONES METALICAS U.T. 4.- ESTATICA. 3.1.- Centro de gravedad de un cuerpo. Un cuerpo de masa M, se puede considerar compuesto por multitud de partículas
Más detallesTema 2: Vectores libres
Tema 2: Vectores libres FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores
Más detallesANÁLISIS VECTORIAL. Contenido. Magnitudes escalares y vectoriales Definiciones Escalar Vector Sistemas de Coordenadas
ANÁLISIS VECTORIAL Contenido Magnitudes escalares y vectoriales Definiciones Escalar Vector Sistemas de Coordenadas Álgebra vectorial Definiciones Suma/Resta de vectores Producto/Cociente de un escalar
Más detallesINDICADOR DE DESEMPEÑO Interpreta y soluciona diferentes problemas de física, empleando conceptos de cinemática y operaciones entre vectores.
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 0 7 DE MARZO
Más detalles1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)
Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.
Más detalles2. El conjunto de los números complejos
Números complejos 1 Introducción El nacimiento de los números complejos se debió a la necesidad de dar solución a un problema: no todas las ecuaciones polinómicas poseen una solución real El ejemplo más
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no
El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód. 145-15 P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i
Más detallesProyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones
Proyecciones La proyección de un punto A sobre una recta r es el punto B donde la recta perpendicular a r que pasa por A corta a la recta r. Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento
Más detallesVECTORES. BIDIMENSIONAL
VETORES. IDIMENSIONL 1. Dado los vectores,,, D, E, F y G que se muestran en la figura, determinar el modulo del vector resultante si = 5N y F = 4N. Rpta. R = 17,35N. 2. En el primer cuadrante de un sistema
Más detallesFigura Trabajo de las fuerzas eléctricas al desplazar en Δ la carga q.
1.4. Trabajo en un campo eléctrico. Potencial Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra Al desplazar una carga de prueba q en un campo eléctrico, las fuerzas eléctricas realizan un trabajo. Este trabajo
Más detallesCapítulo 1 Vectores. 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99)
Capítulo 1 Vectores 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99) 21 Problemas de desarrollo - página 22 (soluciones en la página 100) 11 1.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN Sección 1.A Problemas
Más detallesCÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B
ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS CÁLCULO II VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B b) A B + C c) 4A 3B d) 4(A + B) 5C e) 1 2 (A B) + 1 4 C 2. Sean
Más detallesDEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesCÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por:
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores A y, y escribimos A, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A yson (LI), entonces el vector A se caracteriza por:
Más detallesTema 7: Geometría Analítica. Rectas.
Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos
Más detallesEl medir y las Cantidades Físicas escalares y vectores en física. Prof. R. Nitsche C. Física Medica UDO Bolívar
El medir y las Cantidades Físicas escalares y vectores en física Prof. R. Nitsche C. Física Medica UDO Bolívar Medir Medir es el requisito de toda ciencia empírica (experimental); medir significa simplemente
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesI. INTRODUCCIÓN MECANICA MECANICA DE CUERPO RIGIDOS MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE MECÁNICA DE FLUIDOS
I. INTRODUCCIÓN MECANICA MECANICA DE CUERPO RIGIDOS MECÁNICA DE CUERPO DEFORMABLE MECÁNICA DE FLUIDOS ESTATICA DINAMICA CINEMATICA CINETICA II. NOCION DE CINEMATICA La cinemática (del griegoκινεω, kineo,
Más detallesEspacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...
Más detallesSUMA Y RESTA DE VECTORES. GL: Mesa No. Fecha: INTEGRANTES (Apellidos, nombres) FIRMA SECCION NOTA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ACULTAD DE INORMATICA Y CIENCIAS APLICADAS ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y CIENCIAS CÁTEDRA DE ÍSICA ASIGNATURA: ISICA I PRACTICA 2 SUMA
Más detallesMagnitudes que solo poseen módulo. La definición anterior corresponde a
Estándar Anual Nº Guía práctica Movimiento I: vectores y escalares Física Programa 1. Magnitudes que solo poseen módulo. La definición anterior corresponde a A) B) C) D) E) 2. GUICES012CB32-A16V1 3. Ciencias
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detalles1. Cinemática: Elementos del movimiento
1. Cinemática: Elementos del movimiento 1. Una partícula con velocidad cero, puede tener aceleración distinta de cero? Y si su aceleración es cero, puede cambiar el módulo de la velocidad? 2. La ecuación
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detallesGeometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA
Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA Pobre del estudiante que no aventaje a su maestro. LA LÍNEA RECTA Leonardo da Vinci DESEMPEÑOS Identificar, interpretar, graficar
Más detallesDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina la distancia entre pares de puntos. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son dos puntos dados. Halla la pendiente de una recta. COMUNICACIÓN
Más detalles. De R (Reales) a C (Complejos)
INTRODUCCIÓN Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
MATEMÁTICA I - - Capítulo 8 ------------------------------------------------------------------------------------ ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios Vectoriales y Subespacios... Definición. Un espacio vectorial
Más detallesIng. Ramón Morales Higuera
MATRICES. Una matriz es un conjunto ordenado de números. Un determinante es un número. CONCEPTO DE MATRIZ. Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y Las líneas horizontales
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio
Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 Geometría del plano y del espacio José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es
Más detallesProblemas métricos. Ángulo entre rectas y planos
Problemas métricos Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo que determinan entre sí sus vectores directores. Dos rectas son perpendiculares
Más detallesVECTORES. Por ejemplo: la velocidad de un automóvil, o la fuerza ejercida por una persona sobre un objeto.
Un vector v es un segmento orientado. VECTORES Se representa gráficamente por medio de una flecha, por ejemplo: Todos los vectores poseen las siguientes características: Punto de aplicación: es el lugar
Más detallesÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Ciclo Básico Departamento de Matemática Aplicada ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) Semestre 1-2011 Mayo 2011 Álgebra Lineal y Geometría
Más detallesUniversidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL.
UNIDAD IV: VECTORES EN R2 Y R3 VECTOR Se puede considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales:
Más detallesVectores y Escalares
Vectores y Escalares Suma Grafica y Analítica En física debemos distinguir entre vectores y escalares. Un vector es una cantidad orientada, tiene tanto magnitud como dirección. La velocidad, la fuerza
Más detallesSobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa
Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real
Más detalles3 Vectores y cinemática bidimensional
3 Vectores cinemática bidimensional traectoria 3.1 Vectores escalares Un vector es un objeto matemático que lleva información de una medida de una cantidad física una dirección asociada, que cumple ciertas
Más detalles1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3.
. Producto escalar. Propiedades... Norma de un vector. Espacio normado...ortogonalidad. Ángulos..3.Producto escalar en V..4.Producto escalar en V 3.. Producto vectorial de dos vectores de V 3...Expresión
Más detallesopen green road Guía Matemática tutora: Jacky Moreno .cl
Guía Matemática ÁNGULOS tutora: Jacky Moreno.cl 1. Geometría La geometría es una de las ramas de las matemáticas más antiguas que se encarga de estudiar las propiedades del espacio, principalmente las
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesNombre: Objetivo: Reforzar contenidos aprendidos durante el segundo semestre.
ROYAL AMERICAN SCHOOL Asignatura de matemática Miss Pamela Pérez Aguayo Guía de refuerzo Matemática. 5º Básico. II Semestre. Formando personas responsables, respetuosas, honestas y leales Nombre: Objetivo:
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Ángulos
Más detallesPRINCIPIOS DE LA DINÁMICA
Capítulo 3 PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA CLÁSICA 3.1 Introducción En el desarrollo de este tema, cuyo objeto de estudio son los principios de la dinámica, comenzaremos describiendo las causas del movimiento
Más detallesTeoría Tema 6 Ecuaciones de la recta
página 1/14 Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta Índice de contenido Base canónica en dos dimensiones como sistema referencial...2 Ecuación vectorial de la recta...4 Ecuación paramétrica de la recta...6
Más detallesVerifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.
Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..
Más detallesVELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.
VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t)
Más detallesEcuaciones Lineales en Dos Variables
Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma
Más detallesCapítulo 8: Vectores
Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesCONJUNTOS NUMÉRICOS. La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria.
CONJUNTOS NUMÉRICOS La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad
Más detallesCálculo vectorial en el plano.
Cálculo vectorial en el plano. Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM SOLUCIONES Índice de contenidos. 1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes. Puntos en el plano cartesiano. Coordenadas. Vectores
Más detallesGEOMETRIA EUCLIDEA. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad.
PRODUCTO ESCALAR GEOMETRIA EUCLIDEA 1.-Dados los vectores u,v y w tales que u*v=7 y u*w=8, calcular: u*(v+w); u*(2v+w); u*(v+2w) 2.-Sea {a,b} una base de vectores unitarios que forman un ángulo de 60.
Más detalles. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario. Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO
. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO Autores: Lic. Martha Fascella Ing. Ricardo F. Sagristá 0 Contenido EL PLANO... 3.- Definición del plano
Más detallesEn la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253
Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Operatoria con expresiones algebraicas Nivel: 2 Medio Funciones 1. Funciones En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesa. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras.
PRACTICO DE VECTORES 1. Dada la siguiente figura, se pide determinar vectores utilizando los vértices. Por ejemplo, el vector, el vector, etcétera. Se pide indicar a. Tres vectores que tengan la misma
Más detallesUnidad 3: Razones trigonométricas.
Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define
Más detallesGuía 3 Del estudiante Modalidad a distancia. Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE
Guía 3 Del estudiante Modalidad a distancia Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE DATOS DE IDENTIFICACION TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas Teléfono 435 29 52 CEL. 310 768 90 67
Más detalles2 o Bachillerato. Conceptos básicos
Física 2 o Bachillerato Conceptos básicos Movimiento. Cambio de posición de un cuerpo respecto de un punto que se toma como referencia. Cinemática. Parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos
Más detallesUn ángulo mide y otro Cuánto mide la suma de estos ángulos?
Los Ángulos Qué es un ángulo y su notación? Son dos rayos cualesquiera que determinan dos regiones del plano. Su notación: Para nombrar los ángulos, utilizaremos los símbolos
Más detallesBases Matemáticas para la Educación Primaria. Guía de Estudio. Tema 3: Números racionales. Parte I: Fracciones y razones Números racionales
Bases Matemáticas para la Educación Primaria Guía de Estudio Tema 3: Números racionales Parte I: Fracciones y razones Números racionales 1 Situación introductoria ANÁLISIS DE CONOCIMIENTOS PUESTOS EN JUEGO
Más detalles1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.
CAPÍTULO El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,,C..... El espacio vectorial de los vectores Definición. Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e del espacio nos
Más detalles16. Dados los puntos A(-1,3), B(2,0) y C(-2,1). Halla las coordenadas de otro punto D para que los vectores y sean equivalentes.
TEMA 5. VECTORES 5.1. Vectores en el plano. - Definición. - Componentes de un vector. - Módulo. - Vectores equivalentes. 5.2. Operaciones con vectores. - Suma y resta. - Multiplicación por un número real.
Más detallesUnidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas
Unidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas 2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta. La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una
Más detallesVECTORES. Se representa gráficamente por medio de una flecha, por ejemplo: Todos los vectores poseen las siguientes características:
Un vector v es un segmento orientado. VECTORES Se representa gráficamente por medio de una flecha, por ejemplo: Todos los vectores poseen las siguientes características: Punto de aplicación: es el lugar
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detallesProyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos
MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )
Más detallesGuía Ciencias Naturales FÍSICA
Guía Ciencias Naturales FÍSICA 2. Vectores Tutor: Rodrigo Tellez Mosquera.co 1. Introducción Como sabemos existen muchos tipos de fenómenos e interacciones que caracterizan el mundo natural en el que vivimos,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO ONDULATORIO
PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO ONDULATORIO 1. Una onda transversal se propaga en una cuerda según la ecuación (unidades en el S.I.) Calcular la velocidad de propagación de la onda y el estado de vibración
Más detallesUNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES. Problemas 02
PROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES Problemas 0 Salvador Pérez Gómez pies3coma14@hotmail.com 4 de abril de 007 PROBLEMA 1 Sea n un número natural. Sea A n = n + n + 3n. a) Demostrar que
Más detallesI Unidad Vectores. http://tchefonsecalfaro.wordpress.com/
I Unidad Vectores http://tchefonsecalfaro.wordpress.com/ Contenido 3 1 2 3 4 5 Vectores como desplazamiento Operaciones con vectores Componentes de un vector Producto escalar vectorial de dos vectores
Más detallesTema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto)
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Vectores 75 Espacios vectoriales Tema 4 Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Definición de espacio vectorial Un
Más detallesA = A < θ R = A + B + C = C+ B + A. b) RESTA O DIFERENCIA DE VECTORES ANÁLISIS VECTORIAL. Es una operación que tiene por finalidad hallar un
ANÁLISIS VECTORIAL MAGNITUD FÍSICA Es todo aquello que se puede medir. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES POR NATURALEZA MAGNITUD ESCALAR: Magnitud definida por completo mediante un número y la unidad de medida
Más detalles2. Trazas de una Recta Son los puntos donde la recta se intercepta con los planos principales de proyección; se denominan:
Proyección Diédrica de una Recta Las rectas se designan con letras minúsculas (a; b; c;...). Una recta (r) puede ser definida por medio de dos puntos (A y B) 1. Punto Contenido en una Recta Si un punto
Más detallesNOCIONES PRELIMINARES (*) 1
CONJUNTOS NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas ( elementos ) que tienen algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesTema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con
Más detalles