Vectores en. Definición: Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales, esto es: llamado vector con componentes

Transcripción

1 Vectores en Definición: Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales, esto es: llamado vector con componentes Interpretación geométrica: Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremos mediante un segmento dirigido tal como ; donde es el punto inicial y es el extremo libre del vector (tal como se muestra en la figura). Por lo tanto se tiene: Observación: Si el punto inicial coincide con el origen de coordenadas y el extremo libre está ubicado en cualquier punto del espacio el vector se denomina Vector de Posición o Radio Vector. Ejemplo: Encuentre el vector representado por el segmento de recta dirigido con punto inicial y punto terminal

2 La longitud del vector es: 1.- Suma y Diferencia de Vectores: Sean y se define la suma y la diferencia respectivamente como 2.- Multiplicación de un Escalar por un Vector: Sea el escalar y el vector se define el producto del escalar por el vector como Ejemplo: Si y encuentre a) b) Los vectores a) b) ( )

3 Si y entonces el producto punto de y es el numero dado por Propiedades del producto punto: ( ) 4. ( ) Ejemplo: Si y. Hallar: ( ) ( ) Si es el ángulo entre los vectores y entonces Propiedad: 1. Dos vectores y son ortogonales si.

4 Ejemplo: Determine el ángulo entre los vectores y Puesto que y puesto que reemplazando en la formula Así que el ángulo entre y es: Proyección Escalar de sobre : Proyección Vectorial de sobre : ( )

5 Ejemplo: Halle la proyección escalar y la proyección vectorial de y Puesto que se tiene ( ) Ejemplo de Aplicación: Un carrito es jalado una distancia de a lo largo de una trayectoria horizontal por una fuerza constante de. La manija del carrito se mantiene a un ángulo de sobre la horizontal. Encuentre el trabajo hecho. Si son los vectores de fuerza y desplazamiento, como se ilustra en la figura, entonces el trabajo hecho es: Si y entonces el producto cruz de y es el vector dado por

6 Observación: 1. El producto cruz puede ser expresado como donde 2., donde y son los lados del paralelogramo y es el ángulo entre y. 3. Ejemplo: Encuentre el área del triángulo con vértices, y Hallamos los vectores: Calculamos el producto cruz de estos vectores: Luego el área del paralelogramo es: Por lo que el área del triángulo resulta igual a.

7 Sean, y se define el triple producto como: ( ) Observación: 1. El volumen de un paralelepípedo determinado por los vectores, y es la magnitud de su producto triple: ( ) 2. Si el volumen del paralelepípedo determinado por, y es igual a 0 entonces los vectores deben estar en el mismo plano; es decir son coplanares. Ejemplo: Use el producto triple para mostrar que los vectores, y Calculamos el producto triple: ( ) Como el volumen del paralelepípedo formado por, y es igual a cero entonces los vectores son coplanares.

8 AUTOEVALUACION I. Encuentre II. Encuentre 1. ( ) 2. 3., el ángulo entre y es III. Un vendedor ambulante vende hamburguesas, hot dogs y bebidas carbonatadas en un día especifico. Cobra $2 por una hamburguesa, $1.50 por un hot dog y $ 1 por una bebida carbonatada. Si y Cuál es el significado del producto punto? IV. Encuentre la proyección escalar y vectorial del vector sobre V. Un trineo es jalado por una cuerda a lo largo de un sendero nivelado. Una fuerza de 30 libras que actúa a un ángulo de 40 sobre la horizontal mueve al trineo 80 pies. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza. VI. Encuentre el producto cruz VII. Halle el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes, y 1. P(2,0,-1) ; Q(4,1,0) ; R(3,-1,1) ; S(2,-2,2) 2. P(3,0,1) ; Q(-1,2,5) ; R(5,1,-1) ; S(0,4,2) 3. P(1,2,3) ; Q(3,-1,6) ; R(5,2,0) ; S(3,6,-4)