13. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R 3

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA 13. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R 3 I. Generalidades sobre Geometría analítica en R 3 - II. Ecuaciones en R 2 - III. Ecuaciones en R 3 I -Generalidades sobre Geometría Analítica 13.1 Introducción. En este tema vamos a considerar vectores en el espacio. Un vector une dos puntos del espacio. Por ejemplo si une los dos puntos A y B, entonces tiene su termino en el A(1,1,1) y su punta de flecha en B(2,4,6). En este caso las coordenadas o componentes de son (1,3,5) - se han restado las coordenadas de B menos las de A-. El asunto es que un vector tiene cierta dirección, sentido y módulo, pero dos vectores con las mismas dirección, sentido y módulo se consideran iguales. Por lo tanto, un vector puede colocarse en cualquier lugar de su línea de aplicación, o incluso puede desplazarse paralelamente a su eje sin que el vector varíe. De cualquier forma, si representamos un vector en un sistema de ejes cartesianos OXYZ, intentaremos dibujarlo siempre con su terminación en el orígen de coordenadas O(0,0,0). Dado un vector coordenadas: en el espacio euclídeo, así dibujado quedan claras cuáles son sus 1

2 * Producto escalar de dos vectores Dados dos vectores utilizaremos el producto escalar: llamado "producto escalar canónico". * Norma o módulo de un vector. Dado un vector en el espacio euclídeo se llama norma (o módulo) de a: (geométricamente la norma o módulo es la longitud del vector) * Ángulo entre dos vectores. Dados dos vectores el ángulo entre ellos es: Conocido este ángulo y los módulos también podemos expresar el producto escalar de dos vectores: - En el caso de dos vectores ortogonales (perpendiculares entre sí),, tenemos que su producto escalar es nulo: 2

3 * Base canónica Consideraremos la base canónica formada por los vectores i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1). Estos tres vectores son linealmente independientes y además son mutuamente ortogonales. i, j, k forman la base canónica Dado un vector en el espacio, se tiene: son los llamados cosenos directores del vector. Geométricamente representan a los cosenos de los ángulos que el vector forma respectivamente con el eje OX, con el eje OY y con el eje OZ. Como la norma de un vector coincide con su módulo (su longitud euclídea) a partir de ahora emplearemos la notación en lugar de. * Producto vectorial de dos vectores. Dados dos vectores, el producto vectorial de estos dos vectores es otro vector - que expresaremos como - perpendicular al plano definido por, y cuyo sentido lo da la regla del "avance del tornillo" (girando de hacia ). Su expresión general viene dada por: 3

4 cuyo módulo es: siendo el ángulo formado por los vectores u, v. Geométricamente el valor de este módulo es el valor del área del paralelogramo formado por los vectores u, v. PROPIEDADES: * Producto mixto de tres vectores. Dados tres vectores,, llamamos producto mixto, lo cual se expresa, al producto escalar de por : Por lo tanto, viene expresado por: Geométricamente representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores,. 4

5 PROPIEDADES: 1. Si alguno de los tres vectores es el vector nulo, el producto mixto es Si los tres vectores son linealmente dependientes (coplanarios), el producto mixto es La recta en R 3. Ecuación vectorial. Una recta r viene determinada bien por dos puntos A, B, o bien por un punto A y su dirección (que viene expresada en forma de un vector director que es paralelo a r - o en otras palabras- nos indica la dirección de r) Si P es un punto genérico de la recta r (ver figura 2) se tiene que: siendo un cierto parámetro, y si ahora (fijándonos en la figura 1) tenemos en cuenta que: se tiene: y si consideramos al segmento como el vector (para ello se opera así: coordenadas de B menos coordenadas de A) tenemos: {1} Cualquiera de ellas {1} ó {2} es la ecuación vectorial de la recta r. {2} 5

6 13.3 Ecuaciones paramétricas de la recta. Sean conocidos dos puntos podemos tomar como vector director de esta recta: de una cierta recta r, entonces y sea un punto genérico de la recta r, que viene dado por P(x, y, z) Entonces la ecuación de la recta (según {2}) podrá ser expresada: {3} que son las llamadas ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta. Despejemos de cada una de las ecuaciones {3} e igualemos: Es la llamada ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos. {4} 6

7 13.5 El plano en R 3. Ecuación vectorial. Dados tres puntos no alineados:, forman un plano, y cualquier punto P(x,y,z) de este plano podrá ser expresado en la forma: {5} lo cual representa la ecuación vectorial del plano Ecuaciones paramétricas del plano. Si expresamos {5} en coordenadas tenemos: {6} que son las ecuaciones paramétricas del plano Ecuación cartesiana del plano. Según hemos visto en el producto mixto de vectores, éste es nulo para el caso de tres vectores coplanares tales como (vease figura superior), por tanto se tiene: {7} una ecuación que se reduce a la simple expresión: ax + b y + c z + d = 0 {8} 7

8 ECUACIONES EN EL PLANO * Ecuaciones de la recta. - Ecuación vectorial: Sea un punto A(a,b) de la recta, cuyo vector directriz es. Si tomamos un punto genérico de la recta P(x,y) se tiene: que es la ecuación vectorial de la recta. Siendo un parámetro, tal que al ir tomando los distintos valores de R nos va dando los distintos puntos P de la recta. - Ecuaciones paramétricas: Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos coordenadas, tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta: - Ecuación continua: Despejando en las ecuaciones de arriba, e igualando se tiene la ecuación continua de la recta: - Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos: Dados dos puntos del plano, por estos dos puntos es:, la ecuación de la recta que pasa 8

9 - Ecuación segmentaria: (siendo a el punto de corte con el eje X y b el punto de corte con el eje Y) - Ecuación funcional: y = m x + b Siendo m el valor de tg (también llamada "pendiente" de la recta), b el punto de corte del eje y. - Ecuación cartesiana: a x + b y + c = 0 * Ecuaciones de la circunferencia. - Ecuación de la circunferencia centrada en el origen: Para una circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas: x 2 + y 2 = R 2 - Ecuación de la circunferencia centrada en otro punto: Para una circunferencia de radio R centrada en un punto P(a,b): 9

10 (x - a) 2 + (y b) 2 = R 2 - Ecuaciones paramétricas de la circunferencia Para una circunferencia de radio R centrada en el origen: x = R cos y = R sen En el caso de que la circunferencia esté centrada en un punto distinto del origen, digamos en P(a,b), las ecuaciones paramétricas quedan: x = a + R cos y = b + R sen * Ecuación de la elipse - Ecuación de la elipse centrada en el origen: Sea una elipse centrada en O, y cuyos semiejes sean a, b. Esta elipse tiene por ecuación en coordenadas cartesianas: * Ecuaciones de la hipérbola. - Ecuación de la hipérbola centrada en el origen: 10

11 ECUACIONES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS (en el espacio R 3 ) * Plano: Ecuación del plano (con puntos de corte a, b, c): (siendo a, b, c números reales que expresan los puntos de corte con los respectivos ejes x, y, z). En el caso de que alguna de las variables x, y, z no apareciera en la ecuación significaría que el plano no corta a dicho eje (en otras palabras, lo corta en el infinito). Por ejemplo, en la figura 1 de abajo tenemos un plano que no corta al eje z (es paralelo al eje z), en la figura 2 tenemos un plano que no corta a los ejes x,y por tanto es paralelo al plano OXY: (figura 1) (figura 2) * Esfera: Ecuación de la esfera (centrada en el origen O): x 2 + y 2 + z 2 = R 2 siendo R el radio de la esfera centrada en el origen. Ecuación de la esfera centrada en un punto P(a,b,c): (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2 = R 2 11

12 * Elipsoide: Ecuación del elipsoide (centrada en el origen O): (a, b, c son los semi-ejes de las secciones elípticas) * Paraboloide: Ecuación del paraboloide: z = x 2 + y 2 (paraboloide de revolución)-las secciones transversales al eje OZ son circulares. * * * z = m x 2 + n y 2 (paraboloide general) las secciones transversales al eje OZ son elípticas. Superficie cónica: Ecuación de la superficie cónica: z 2 = x 2 + y 2 (superficie cónica de revolución; las secciones transversales al eje z son circulares) * * * z 2 = m x 2 + n y 2 (superficie cónica general; las secciones transversales al eje z son elípticas) 12

13 * Superficie cilíndrica: Ecuación de la superficie cónica: x 2 + y 2 = R 2 (superficie cilíndrica de revolución; las secciones transversales al eje z son circulares) * * * (superficie cilindroide; las secciones transversales al eje z son elipses -de semiejes a, b-) * Hiperboloide (una hoja) Si b = c se trata de un hiperboloide revolución. de * Hiperboloide (dos hojas) 13