ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 11.1 Integrales dobles. 11. INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES. (NOTA: Antes de comenzar este tema el alumno debería repasar el tema de Geometría analítica) Sea una función de dos variables f = f(x, y), definida en un recinto cerrado S de R 2, y consideremos que subdividimos este recinto S en pequeños rectángulos de longitudes x i, y i (se dice que hemos realizado una partición del recinto cerrado S). En cada uno de estos trocitos de superficie S i, tomamos un punto interior, P i (x i,y i ); para definir la integral doble de f(x, y) sobre el recinto cerrado S, debemos hacer una partición muy fina, es decir, con todos estos elementos de superficie S i tendiendo a anularse, y tendiendo su número a ser infinito, entonces: Propiedades: Para la propiedad (3) hay que considerar el recinto cerrado S subdividido en dos partes cerradas S 1 y S 2.

2 Ejemplo 1: Hallar la integral, Donde (S) es el dominio encerrado entre las líneas: Solución: La recta x=0 representa al eje vertical OY, la recta x = 1 es la vertical (línea verde en la gráfica). La recta y=0 es el eje horizontal OX, mientras que la recta y=3/2 es la de color violeta El recinto cerrado (S) sobre el que se realiza la integral es el cuadrilátero rectangular azul celeste de la figura. A la hora de hacer la integración fijémonos que la variable (primera) x varía entre los puntos 0 y 1, mientras que la variable (segunda) y varía entre las líneas: y=0, y=3/2: La integración es: En primer lugar se realiza la integral interior, en este caso la que es respecto a y (considerando las x como constantes), aplicando a la primitiva la regla de Barrow. Tras esto nos quedará una función dependiente de x que se integra y se aplica Barrow:

3 Ejemplo 2: Hallar la integral.. Donde (S) es el dominio limitado por la líneas: Solución: El dominio (S) está representado en la gráfica de la izquierda, para realizar la integral sobre este dominio, le dividimos en dos partes S 1 y S 2, así podemos poner: Siendo S 1 el triangulo (color anaranjado) y S 2 el lóbulo verdoso. Los límites de integración para estos dos dominios son: Dominio S 1 : x varía entre los puntos: x = -2, x =0. [Puntos extr. izquierda - extr. derecha] y varía entre las líneas: y = -x, y =2. [Lineas inferior - superior] Dominio S 2 : x varía entre los puntos: x = 0, y =. [Puntos extr. izquierda - extr. derecha] y varía entre las líneas: y = x 2, y =2. [Líneas inferior - superior] Por lo tanto: Para la integral sobre S 1 : Para la integral sobre S 2 :

4 La suma de los dos resultados será la integral pedida. Ejemplo 3: Hallar la integral Siendo (D) el sector anular de la figura adjunta, cuyo radio interno es 1, y radio exterior 2. Solución: La integral se encuentra expresada en coordenadas polares, y en este dominio el ángulo varía entre 0 y /2 (puntos), mientras que el radio-vector varía entre las dos líneas r = 1, r = 2 (en coordenadas polares la ecuación de una circunferencia de radio R es r = R) Integrales triples. Sea una función de tres variables f = f(x, y, z), definida en un recinto tridimensional cerrado V de R 3. Hacemos una partición muy fina de este recinto V, mediante pequeños elementos de volumen V i, tomando en cada uno de ellos un punto interior P i (x i, y i, z i ), tal como se aprecia en la figura. Estos elementos V i, al ser extremadamente pequeños pueden ser considerados como pequeñas 'cajitas' de volumen: V i = x i. y i. z i,

5 La integral de la función f(x, y, z) en el recinto V viene dada por la siguiente expresión: * Propiedades: Para la propiedad (3) hay que considerar el recinto volumétrico V subdividido en dos partes volumétricas disjuntas V 1 y V 2. Ejemplo 4: Hallar Donde (V) es el recinto limitado por las siguientes superficies: x = 0, y= 0, z = 0, x + y + z = 1. Solución: El recinto se halla dibujado a la izquierda: las superficies x = 0, y= 0, z = 0, son las tres paredes del triedro principal, mientras que la superficie x + y + z = 1 es el plano que corta a OX en x=1, al eje OY en y=1, al eje OZ en z=1. Este plano también se puede expresar en su forma segmentaria como: Entonces los límites de integración quedan delimitados así: Para la coordenada x (puntos): x = 0, x = 1. Para la coordenada y (líneas): y = 0, y = 1-x (recta x+y=1). Para la coordenada z (superficies): z = 0 (suelo), z = 1-x-y (plano inclinado).

6 Por lo tanto, la integral será: En primer lugar hacemos la integral de z: sustituimos este resultado en la integral de y e integramos: en esta última integral hemos llamado k a la expresión constante: 1-x Finalmente, el resultado obtenido en esta integral, (1-x) 3 /3, se junta a la integral de x: 11.3 Transformación de coordenadas. Jacobiano de una transformación. Nosotros acostumbramos a expresar las funciones en coordenadas cartesianas, por ejemplo en R 3, f = f(x, y, z). Sin embargo, hay ocasiones que en estas coordenadas las expresiones de ciertas funciones son muy complicadas, y sin embargo podemos hacer una transformación a otras coordenadas u, v, w, tal que las convierta en más simples. Por ejemplo, la función: f(x, y, z) = sin(x 2 + y 2 + z 2 ) + sin(x 3 + y 3 + z 3 ) + sin(x 4 + y 4 + z 4 ) se convierte en la función: f(u, v, w) = sin u + sin v + sin w con la transformación: u = x 2 + y 2 + z 2, v = x 3 + y 3 + z 3, w =x 4 + y 4 + z 4.

7 Una transformación puede venir expresada como las coordenadas u, v, w en función de las x, y, z, o bien, como: es decir, las coordenadas nuevas en función de las cartesianas (NOTA: es así como nosotros lo consideraremos). * Jacobiano de una transformación. Dada una transformación de coordenadas, tal como la de arriba, expresada: (x, y, z) (u, v, w) se llama determinante jacobiano de la transformación al determinante: Si estas derivadas se realizan en un punto concreto P 0 (x 0, y 0, z 0 ), entonces obtenemos el Jacobiano de la transformación en el punto P 0, J Po. Un ejemplo en dos dimensiones (Transformación a coordenadas polares). Un punto P(x, y) en coordenadas cartesianas, puede ser expresado en coordenadas polares mediante el radio-vector (la distancia de O al punto P), y el argumento (el ángulo anti-horario respecto al radio-vector ). Observando el gráfico de la izquierda podemos fácilmente deducir: relaciones que nos expresan la transformación (x, y) (, ).

8 También es útil las relaciones inversas, que como fácilmente puede comprobarse: El jacobiano de esta transformación se hallará mediante el determinante: es decir, Conocido J para una determinada transformación de coordenadas (Tr. a polares, en nuestro caso), podemos conocer el valor del jacobiano en un un punto específico. Por ejemplo, para la transformación a coordenadas polares, en P(1,1) el jacobiano tiene por valor: 11.4 Significado geométrico del jacobiano. Para una mayor sencillez de razonamiento vamos a hacer las consideraciones en R 2, el resultado podrá generalizarse fácilmente a R 3, o incluso a espacios de mayor orden. Consideremos en R 2 un recinto cerrado D, mediante una partición fina podemos dividir este recinto en trocitos S, llamados "elementos de superficie" (en R 3 se hablará de "elementos de volumen"). Fijémonos que estos elementos de superficie pueden obtenerse haciendo un pequeño incremento de la variable x (a y constante) y posteriormente un pequeño incremento de la variable y (a x constante). Así se tiene que: S = x y

9 Esto, llevado al límite de particiones hiperfinas, equivale a: ds = dx dy Ahora consideremos que hacemos una transformación de coordenadas (x, y) (u, v), definida mediante: Al mantener una de las variables constante (u= constante) y al hacer variar la otra (la v), obtenemos una familia de líneas que no son rectas como en el caso anterior sino curvas, puesto que: Lo cual, matemáticamente, representa una curva dependiente del parámetro v. De manera análoga al mantener la otra variable constante (v = constante) y hacer variar la u, obtenemos otra familia de curvas que intersectan a las anteriores. En definitiva, los elementos de superficie así obtenidos no son rectángulos sino "rectanguloides" de lados curvos. Dado un punto P fijémonos en uno de esos elementos S (el que se encuentra en la gráfica de la izquierda, y aumentado abajo en la figura 1). ds 1 = du dv Si el elemento de superficie lo establecemos a partir de P pero en un sistema de coordenadas (u, v) en lugar del de las cartesianas (x, y), nuevamente tendríamos líneas rectas, y los elementos de superficie volverían a ser pequeños rectángulos. Y estos elementos (véase la figura 2 de abajo) cumplen que: S 1 = u v que llevado al límite de particiones hiperfinas:

10 El elemento de superficie S, aunque tiene sus lados curvos (véase la figura 1), al ser muy pequeño, en la práctica puede considerarse que su área es: S = x y Pero S y S 1 no tienen igual área, y precisamente es el jacobiano de la transformación la que da la relación entre las áreas de los elementos infinitesimales de superficie: (se trata del valor absoluto del jacobiano hallado en el punto P). Lo cual equivale a: y cuando tomamos elementos de superficie de tamaño infinitesimal, podemos poner: ATENCIÓN: Esta última expresión la utilizaremos nosotros a la hora de hacer una transformación de coordenadas en una integral doble. El resultado se extiende al caso de los recintos en tres dimensiones y una transformación de coordenadas: (x, y, z) (u, v, w), en este caso se cumple: * Ejemplo: La transformación a coordenadas polares, (x, y) (, ). En la transformación a coordenadas polares que hemos visto anteriormente, tenemos las nuevas coordenadas,. Consideremos un recinto cerrado D, como el que se ve en la gráfica de la izquierda. Si consideramos constante y hacemos variar la coordenada obtenemos la familia de círculos, mientras que si consideramos constante y hacemos variar la coordenada obtenemos la familia de rayos, tal como se aprecia en la figura. Así el recinto D queda dividido en elementos de superficie

11 S, cuya área es: S =. ( = y teniendo en cuenta que S 1 =, podemos concluir que: S =. S 1 por lo que el jacobiano de la transformación a coordenadas polares tiene en cada punto el valor, como ya habíamos obtenido Transformación a coordenadas cilíndricas. El ángulo entra dentro del tango: Se trata de la transformación siguiente: (x, y, z) (,, z) En R 3, dado un punto P, trazamos su proyección sobre el plano del suelo OXY, y tomamos las cantidades: : el radio-vector que va desde O a la proyección de P sobre el suelo. : el ángulo que en sentido anti-horario llega hasta el radio-vector. z: el mismo que para las cartesianas. 0 < 2, Observando la gráfica adjunta, es fácil deducir las expresiones de la transformación a coordenadas cilíndricas: Por lo tanto, el jacobiano de esta transformación es:

12 Es posible también dibujar un elemento diferencial de volumen para esta transformación (obsérvese la gráfica adjunta): Partiendo de un punto P, dejando el ángulo y la altura z constantes, incrementamos el radio-vector en, luego dejando y z constantes incrementamos el ángulo, finalmente manteniendo y incrementamos la altura en z, hasta obtener un paralelepípedo de caras cilíndricas, tal como se ve en la gráfica. Las tres aristas miden:,, z, y su volumen viene dado por: lo cual nos está indicando que el jacobiano de esta transformación es: J = Transformación a coordenadas esféricas. Se trata de la transformación siguiente: (x, y, z) (,, ) En R 3, dado un punto P, trazamos su proyección sobre el plano del suelo OXY, y tomamos las cantidades: radio vector. : el radio-vector que va desde O hasta el punto P. : el ángulo que desde el eje vertical z va en sentido horario hasta el radio-vector. : el ángulo que en sentido anti-horario llega hasta la proyección sobre el suelo del Los ángulos están comprendidos en los límites siguientes:

13 0 φ 2π ; 0 θ π De esta manera queda definido cualquier punto P de R 3. Es interesante también tener en consideración la relación: El jacobiano de esta transformación es: Ahora dibujemos el elemento diferencial de volumen, de manera análoga a como lo hemos hecho antes. Como puede apreciarse gráficamente: ΔV = ρ 2 sin θ Δρ Δθ Δφ Por lo tanto el jacobiano de la transformación es: J = ρ 2 sin θ Tal como lo habíamos comprobado ántes.

14 11.7 Integración mediante transformación de coordenadas. A) Transformación a coordenadas polares. Para realizar una integral doble de una función f(x,y) a lo largo de un dominio plano (D), podemos realizar una transformación a polares: Donde en la integral de la derecha aparece ρ como el jacobiano de la transformación, también debe tenerse en cuenta que el dominio (D) en esta integral debe venir expresada en coordenadas polares. B) Transformación a coordenadas cilíndricas. Para realizar una integral triple de una función f(x,y,z) a lo largo de un recinto tridimensional (V), podemos realizar una transformación a coordenadas cilíndricas: Donde en la integral de la derecha aparece ρ como el jacobiano de la transformación, también debe tenerse en cuenta que el dominio (V) en esta integral debe venir expresada en coordenadas cilíndricas. C) Transformación a coordenadas esféricas. Para realizar una integral triple de una función f(x,y,z) a lo largo de un recinto tridimensional (V), podemos realizar una transformación a coordenadas esféricas: Donde en la integral de la derecha aparece ρ 2 sinθ como el jacobiano de la transformación, también debe tenerse en cuenta que el dominio (V) en esta integral debe venir expresada en coordenadas esféricas.

15 Ejemplo 1: Hallar, donde (D) es el semicírculo centrado en el origen y de radio R=1. Solución: En coordenadas polares tenemos: De esta manera la circunferencia que en cartesianas es: x 2 + y 2 = 1, en polares es ρ = 1. La función integrando, en coordenadas polares queda: (x xy) = (ρ cos φ) (ρ cos φ) (ρ sin φ) = ρ 2 (cos 2 φ + 3 cos φ sin φ) Y no olvidemos que el jacobiano de la transformación a polares es: J = ρ. Ejemplo 2: Hallar la integral limitado por:, siendo (V) el recinto - El paraboloide regular: z = x 2 + y 2. - El plano z = 5. Solución: Como el paraboloide tiene simetría cilíndrica (simetría en torno a un eje) es conveniente hacer la integración en coordenadas cilíndricas. En la gráfica se ve el paraboloide z = x 2 + y 2, y, el plano z = 5 (la tapa de arriba), mientras que la sección sombreada es la proyección de esta superficie sobre el plano OXY, el borde de la tapa y el borde de la proyección son la misma circunferencia: x 2 y 2 5 2

16 Circunferencia que en cilíndricas es: r 5. El paraboloide en cilíndricas es: z = r 2. Y la función integrando en cilíndricas es: Los límites de integración son φ=0, φ=2π; r=0, r 5 (paraboloide), z= 0 (plano).; y recordando que el jacobiano de la transformación es J = r, la integral queda: Ejemplo 3: Hallar el valor de la integral siendo (V) el recinto limitado por una esfera de radio R=5 centrada en el origen.. Solución: Por supuesto, la esfera tiene simetría esférica, y por tanto realizaremos la integración en coordenadas esféricas. La función integrando en estas coordenadas queda reducida a: f(ρ,θ,φ) = ρ. El jacobiano de la transformación es J = ρ 2 sin θ, y como el recinto es una esfera de radio 5, podemos expresar: ( V ) x 2 y 2 z 2 dx dy dz 2 0 d 0 d sin d.2.2 4

17 11.8 Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales. I) ÁREAS DE SUPERFICIES Toda función de dos variables, z=f(x,y) en n sistema de ejes cartesianos viene representada por una superficie alabeada (no plana) en general. Si limitamos este superficie tomando un dominio (D) sobre el plano OXY, tal como se ve en la gráfica. Entonces el área de ese trozo finito de superficie, S, viene dado por: NOTA: La integración se realiza a lo largo del recinto limitado (D), un recinto que está sobre el plano OXY. II) VOLUMENES DE CUERPOS. Para el cálculo del volumen de un cuerpo no necesitamos más que el recinto cerrado (V) que conforma el cuerpo. El volumen de ese recinto (V) viene dado por: Siendo (V) el recinto sobre el que se realiza la integral.

18 Algunos ejemplos. Ejemplo 1: Hallar el área de la esfera. área es: Solución: En la gráfica hemos remarcado la octava parte del área que queremos hallar. La ecuación de una esfera de radio R es: x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Y la superficie alabeada sobre la que vamos a hallar el La fórmula que nos da éste área es: Donde hemos multiplicado por 8 debido a que sólo consideramos un octante. Además el dominio (D) sobre el que se realiza la integración es la cuarta parte de un circulo de radio R. Las derivadas de S son: Y la función integrando en coordenadas cartesianas es: es: Haremos la integral en coordenadas polares, en estas coordenadas el integrando El recinto (D) sobre el que integramos es la circunferencia x 2 + y 2 = R 2, o sea: Entonces la integral será:

19 Ejemplo 2: Hallar el volumen de la esfera. Solución: En la gráfica está dibujada la octava parte de la esfera: x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Nosotros calcularemos el volumen de este recinto y lo multiplicaremos por 8: Como el recinto tiene simetría esférica utilizamos coordenadas esféricas: Cuyo resultado es: Ejemplo 3: Hallar el volumen del elipsoide: Solución: En la gráfica se aprecia la octava parte del elipsoide, en cuanto al volumen podemos también expresar: Pero el elipsoide no tiene simetría esférica y no podemos utilizar las coordenadas esféricas, entonces en cartesianas sería: Donde aparecen integrales bastantes complicadas de realizar. Por ello, siempre que en los recintos intervengan elipses suele emplearse la llamada transformación a coordenadas cilíndricas generalizadas.

20 Coordenadas cilíndricas generalizadas: Así definida, toda elipse queda: Y todo elipsoide queda: El jacobiano de la transformación es: Entonces el volumen del elipsoide que deseamos calcular es: