3. Cambio de variables en integrales dobles.

Transcripción

1 GADO DE INGENIEÍA AEOESPACIAL. CUSO. Lección. Integrales múltiples. 3. Cambio de variables en integrales dobles. Para calcular integrales dobles eiste, además del teorema de Fubini, otra herramienta fundamental que es la técnica del cambio de variables. ecordemos que para integrales de funciones reales de una variable real se verifica la siguiente fórmula, conocida como fórmula del cambio de variables. : t a, b ϕ( t) una función derivable con deri- TEOEMA (CAMBIO DE VAIABLE). Sea ϕ [ ] va ϕ continua en [ ab, ] y sea ϕ verifica que ϕ ( b) b = ϕ ( a) a f ( d ) f( ϕ( t)) ϕ ( tdt ). f : [ a, b] f una función continua. Entonces se El correspondiente resultado para integrales dobles es el siguiente. TEOEMA (CAMBIO DE VAIABLES PAA INTEGALES DOBLES). Sea Φ:( uv, ) U Φ( uv, ) una función inyectiva, con derivadas parciales continuas en U tal que det DΦ( u, v), para todo ( uv, ) U. Sea f :(, y) Φ( U) f(, y) una función continua. Entonces Φ ( U) U f (, y) ddy = f Φ( u, v) det DΦ( u, v) dudv. La conclusión de este teorema también es válida si det DΦ ( u, v) se anula sólo en los puntos de una curva C U. OBSEVACIÓN. ) ecuerda que decimos que (, y) = Φ ( u, v) es un cambio de variables y denotamos por : = det DΦ ( u, v ) al determinante jacobiano de dicho cambio de variables. La igual- ( y, ) ( uv, ) dad del teorema anterior se conoce como fórmula del cambio de variables para integrales dobles. Φ ( U) U ( y, ) ) En el caso particular que f(, y ) = obtenemos área ( Φ ( U )): = ddy = dudv. ( uv, ) Esto indica que el determinante jacobiano actúa como factor de dilatación o de compresión del área al pasar de U a Φ ( U ) mediante el cambio de variables (, y) = Φ ( u, v). 3) En el caso de una variable, el teorema del cambio de variable se usa para simplificar la función del integrando. Sin embargo, los cambios de variables en integrales dobles permitirán, en general, simplificar la función integrando o, lo que en otros casos es más importante: el recinto de integración. Ejemplos habituales de cambios de variables. Vamos a describir los cambios de variables más importantes en indicando a qué tipo de recintos de integración están asociados. a b () Cambios lineales. Dada una matriz no singular A =, c d el cambio de variables dado por

2 GADO DE INGENIEÍA AEOESPACIAL. CUSO. Lección. Integrales múltiples. (, y) =Φ ( u, v) = ( au+ bv, cu+ dv) se llama cambio de variable lineal. Puesto que DΦ ( u, v) = A, se verifica que el determinante jacobiano es igual a det( A ). Los cambios lineales de variables son apropiados para pasar de integrar en un paralelogramo (o en un triángulo) a integrar en un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados (o en un triángulo rectángulo con catetos paralelos a los ejes coordenados). EJEMPLO. Sea P el paralelogramo limitado por las rectas y =, y =, y = e y = +. Vamos a calcular la integral yddy. Observemos que podemos describir este conjunto mediante P u = y, P= {(, y) : y, y }. Si hacemos el cambio de variables v = y,, y =Φ ( u, v) = u v, u v, obtenemos que, en las nuevas variables, el conjunto P es es decir concretamente E = { u v v u } = [ ] [ ] (, ) :,,,. La matriz del cambio de va- riables es, cuyo determinante es. El teorema del cambio de variables afirma que P yddy = ( u v)( u v)dudv = ( u 3uv + v ) dudv = 7. E = rcos θ, () Coordenadas polares. El cambio de variables a coordenadas polares es decir, y = rsen θ, ( y, ) =Φ ( r, θ ) = ( rcos θ, rsenθ) tiene, como sabemos, determinante jacobiano igual a r. Es apropiado para pasar de integrar en un círculo, en un sector circular o en un recinto cuya frontera esté formada por trozos de circunferencias a hacerlo en un rectángulo. EJEMPLO. Sean a b, (, ) :, :. realizando un cambio a coordenadas polares y D aplicando el teorema del cambio de variables. En primer lugar es necesario describir el conjunto D en términos de las variables r y θ. Haciendo el cambio de variables, las restricciones e y equivalen a que el ángulo polar θ,. Además, tenemos que a + y b si, y sólo si, a r b. Por consiguiente, < y consideremos la región D= { y y a + y b } Vamos a calcular la integral log ( + y ) ddy y ddy r= b b b b r r rd dr r rdr r dr r r= a = b log b a log a ( b a ). r log ( + ) = log θ = log = log D a a a

3 GADO DE INGENIEÍA AEOESPACIAL. CUSO. Lección. Integrales múltiples. EJEMPLO. Vamos a calcular + yddyen el cuadrado [ ] [ ] =,,. Observa que, en este caso, no se trata de simplificar el recinto de integración. Por el contrario, la descripción del conjunto se complica si trabajamos con coordenadas polares. A pesar de ello, vamos a ver que el cálculo de la integral usando coordenadas polares es bastante simple. Para describir el cuadrado en coordenadas polares lo dividimos en dos regiones: = { y y } y = { y y} (, ) : (, ) :. Para describir el conjunto usando coordenadas polares, observemos que para (, y), se tiene que y si, y sólo si, θ. Además, si, y sólo si, r. De esta forma, el conjunto cosθ, en coordenadas polares, viene dado por D = (, r θ): θ,, r. cosθ Análogamente, el conjunto en coordenadas polares está dado por D = (, r θ): θ,, r. senθ Antes de aplicar el teorema del cambio de variables observemos que + yddy= + yddy+ + yddy Calcularemos, por separado, cada una de estas dos últimas integrales. En primer lugar, u = sen θ, du = cosθdθ + = = = = u = = = = cosθ y ddy rrdrdθ r drdθ dθ 3 D 3 cos θ θ, u, θ, du = = u ( u ) u+ ( u+ ) ( u ) u + + = log = log u u u+ + = ( + log ( 3 + )). ( log 3 ). Finalmente obte- De forma análoga obtenemos que + y ddy = + ( + ) nemos que + y ddy = + log ( 3 + ).. du 6 OBSEVACIÓN. Eisten algunas variaciones en el cambio de variables con coordenadas polares. Por ejemplo, se pueden considerar las coordenadas polares que tienen como polo el punto (, y ), es = + rcos θ, decir, En este caso el determinante jacobiano sigue siendo r. También se puede y = y + rsen θ. = arcos θ, considerar el cambio a coordenadas elípticas siendo ab>,, que tiene determinante y = brsen θ, 3

4 GADO DE INGENIEÍA AEOESPACIAL. CUSO. Lección. Integrales múltiples. jacobiano igual al producto abr. Dicho cambio de variables es, en realidad, el resultado de la composición del cambio de variables lineal y el de coordenadas polares, es decir, = au, u = rcos θ, y = bv v = rsen θ. EJEMPLO. Vamos a calcular la integral doble 3 3 y ddy, siendo U la región limitada por las si- U guientes curvas de ecuaciones + y =, + y =, y = y y =, en el cuadrante u = + y, positivo. Ahora usaremos el cambio de variables con lo que el transformado de U v = y, E: = ( u, v) : u, v =,,. Observa que es por este cambio de variables es { } [ ] [ ] posible obtener el cambio inverso, de hecho, se verifica que u+ v u v = e y =. Además te- ( y, ) nemos que =. Entonces, ( uv, ) 8y ( y, ) = = = 3 3 y ddy y y dudv u v dudv u v du dv U E (, vu) 3 E = v dv= EJEMPLO. El propósito de este ejemplo es calcular las integrales e d y : Γ = e d. Observa que ambas son integrales impropias: la primera lo es de primera especie y la segunda de primera y segunda especie. Ambas son convergentes y, de hecho, están relacionadas entre sí. En efecto, u =, du = d e d e u du u e du. d = u u u = du = = Basta pues calcular la primera para obtener la segunda. ecordemos que Ahora observemos que e d= lim e d. y y e d = e d e dy = e ddy. Por otra par- [, ] [, ] te, consideremos los conjuntos { } B(): r = (, y) :, y, + y r, siendo r >. Entonces tenemos que B [, ] [, ] B y, por tanto, y y y e ddy e ddy e ddy. [, ] [, ] ( ) B B Vamos a calcular la primera integral con un cambio a coordenadas polares. Entonces

5 GADO DE INGENIEÍA AEOESPACIAL. CUSO. Lección. Integrales múltiples. cos y = r θ r r e ddy = = e rdrdθ = ( e = ( e ) B y = rsenθ. y Igualmente, tenemos que e ddy = e. Entonces, concluimos que B e e d e. Y tomando límite, cuando, obtenemos que e d= lim e d=. Finalmente, te- e d= e d, concluimos que Γ e d. = = niendo en cuenta que, EJECICIO. Calcula la integral ddy, siendo U = { y y + y } U : (, ) :,. EJECICIO. Calcula la integral ddy, siendo U la región del primer cuadrante que está U dentro de la circunferencia de ecuación polar r = 3cosθ y fuera de la cardioide r = + cos θ. EJECICIO 3. Calcula radio. ( + y ) ddy, siendo D el círculo centrado en el origen y de D EJECICIO. Haciendo un cambio a coordenadas polares, calcula el área de la región encerrada por la curva de ecuación polar r = 3+ cos θ. EJECICIO 5. Haciendo un cambio de variables adecuado, calcula el área de la región del primer / / cuadrante acotada por las curvas y =, y =, y = y y =. y el cambio EJECICIO 6. Considera la región U : = {(, y) : + y, y, y } de variables u = y v = + y., ) Calcula el área de la región U. y ) Calcula la integral doble ddy. U + y u = y, 3) Calcula la integral anterior con este otro cambio v = + y. 5

6 GADO DE INGENIEÍA AEOESPACIAL. CUSO. Lección. Integrales múltiples. y = u, EJECICIO 7. Considera el cambio de variables = uv (, ) e y = yuv (, ) definido por + y = v. ) Calcula el determinante de su matriz jacobiana. ) Sea el cuadrado del plano de las variables u y v dado por uv,. Describir la región D del plano de las variables e y en la que se transforma este cuadrado mediante el cambio de variables dado. 3) Calcula la integral ddy, usando el cambio de variables dado. D y ) Calcula la integral anterior usando coordenadas polares. EJECICIO 8. Sea S la porción acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones y =, y =, y = e y =. Dibújala y calcula la integral y ddy. = u+ v, EJECICIO 9. Considera el cambio de variables definido por las ecuaciones y = v u. () Calcula el determinante jacobiano de dicho cambio de variables. () Sea T el triángulo del plano OUV cuyos vértices son los puntos (,), (,) y (,). Sea S la imagen en el plano OXY del triángulo T mediante el cambio de variables dado. Haz un dibujo de la región S. (3) Calcula el área de S. () Calcula la integral doble S ddy. y+ S 6