duv = udv + vdu udv = uv vdu

Transcripción

1 I. INTEGRACIÓN POR PARTES. Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método conocido como integración por partes. Este método tiene como base la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. Sean u=u() y v=v(). Entonces duv = udv + vdu o udv = uv vdu Al integrar ambos miembros de esta ecuación obtenemos udv = uv vdu (.) Como se puede ver la Integración por partes es la contraparte de la regla del producto de la diferenciación, ya que el integrando en cuestión es el producto de dos funciones (por lo general). En resumen éste es el procedimiento: Para aplicar la fórmula (.) en la práctica, se separa el integrando en dos partes; una de ellas se iguala a u y la otra, junto con d a dv. Por eso se llama integración por partes. Es conveniente considerar los dos criterios siguientes. (a) La parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable. (b) La vdu no debe de ser más complicada que udv Luego se aplica la fórmula de integración por partes. Este proceso convierte el integrando original - que no se puede integrar - en un integrando que si se puede integrar. Tan claro como el agua, verdad? Vas a aprender la técnica muy rápido si utilizas el acrónimo LIATE y el método del ejemplo de abajo: Para seleccionar la función u, sólo tienes que ir hacia abajo en la lista del acrónimo, la primera función de la lista que coincida con una de tu integrando es la función u. El acrónimo que te ayudará a escoger tu función u es el siguiente: Logarítmica (como Ln) Inversa trigonométrica (como arcsen) Algebraica (como, o +0 ) Trigonométrica (como sen) Eponencial (como 7, o e ) Calcular la integral ln d Tu primer reto en la integración por partes es decidir cuál es la función, (de tu integrando original), que desempeñará el papel de la u en la fórmula. He aquí cómo se hace

2 El integrando contiene una función logarítmica (la primera en LIATE) así que ln es tu función u, el resto d automáticamente es dv. Así pues tienes los términos son: u = ln, dv = d Pero la integral por partes contiene cuatro términos, te faltan los siguientes: du, y v. Estos los encuentras diferenciando u, e integrando dv, es decir: Si u = ln entonces du = d Si dv = d entonces v = dv = d = Esto significa que v se encuentra integrando dv. Ahora, ya tenemos los cuatro elementos que aparecen en la fórmula de integración por partes (.), sustituyendo estos valores ella entonces ln (ln ) ln = d ln ln ln 9 d = uv vdu = d d = + C Problemas resueltos. Ejemplo. Calcular = + C, de donde e d Primero reescribimos la integral así: e d. Por LIATE hacemos u =, y dv = e ; de donde du =, y v = dv = e d = e ( d) = e Bueno ya tenemos los elementos de la integral por partes. u = dv = e d du = d v = e Por tanto aplicando la fórmula (.) se tiene pero la última integral e d = e e d = = e e + C ya se calculó es (v) Ejemplo. Calcular ( sen) d

3 Usando LIATE hacemos u =, y dv = ( sen) d ; de donde du = d, y v = dv = ( sen) d = cos Aplicando la integración por partes obtenemos ( sen) d = ( cos ) ( cos ) d = cos + (cos ) d = cos + se + C Ejemplo. Calcular ln( + 4) d Hacemos u = ln( + 4), y dv = d ; por tanto diferenciado e integrando tenemos u, y d v. du = d( + 4) = , v = d = Por tanto d d + = + = + ln( 4) d ln( 4) ( ) ln( 4) Ahora calculamos la integral d + 4 du u. Recordar que = arctan u + a a a 6 6 d = = = 6 6 arctan d d d = = De donde + d= + + C = C ln( 4) ln( 4) ( 6 arctan ) ln( 4) arctan Ejemplo 4. + d Haciendo u =, y dv = + d ; tendremos du = d, para obtener v hacemos lo siguiente: + ( + ). Por lo tanto v = + d = ( + ) d = = ( + ) ( ) + d = ( + ) ( + ) d = ( + ) + C +. De donde d = ( + ) ( + ) + C 6 Ejemplo 5. Calcular e d

4 Haciendo u =, y dv = e, encontramos u =, du = d du du =, y v = e d = du = e = e du = e d = fórmula de integral por partes obtenemos u u. Aplicando la e e e e e e e e d = d = e d = + C = + C 4 Ejemplo 6. veces. Hacemos cosd. En este ejemplo se aplica la integral por partes dos u =, y dv = cosd, por tanto u =, du = d du du = d, y v = cosd = du = cosu = cosudu = sen d = integral por partes tenemos, sen cos d = sen sen ( d) send = (.). Por la Observa que en la integral send, ha bajado el eponente de la (de a ), lo cual sugiere volver a integrar por partes así que, hacemos aquí u =, y dv = send, y en consecuencia u = du = d du cos du = d, y v= sen d = du = senu = senudu = ( cos ) = d = de donde cos cos cos send = d = cosd cos cos = ( sen) = + sen 9 Sustituyendo este último resultado en (.) tenemos se se cos d = sen d = + sen cos 9 Ejemplo 7. Calcular sen sen cos = + + C 9 7 e d

5 El acrónimo LIATE nos sugiere tomar du = d, y v = e d = e obtenemos e d = e e ( d ) = e e d (.) u =, y dv = e, y por lo tanto, así que aplicando la formula de integral por partes Observa que hemos mejorado nuestra situación, el eponente de la bajó de a, lo cual nos sugiere aplicar de nuevo la integral por partes a la última integral, así que hagámoslo u =, dv = e e d = = e e ( d) = e e d du = d, v = e d = e Si reemplazamos éste último resultado en la ecuación (.) tenemos { } e d = e e d = e e + 6 e d (.4) e d = e e ( d) = e e d) = e e e d Observa que en la última integral de la derecha el eponente de la ahora bajó de a, así que aplicamos de nuevo la integración por partes. u =, dv = e e d = = e e d = e e du = d, v = e d = e Bueno parece que ya terminamos, observa que en la última integral ya no apareció la. Solo falta reemplazar el último resultado en la ecuación (.4) y finalizamos. ed = e e + 6 ed = e e + 6{ e e } + C. Por tanto ed= e e + 6e 6e + C Ejemplo 8. Calcular arcsend Hacemos las sustituciones u = arcsen, dv = d d y tenemos, du = d, v = d = Y ahora arcsend = arcsen d

6 u =, du = d du = = = d = d ( ) d du u Por lo tanto Ejemplo 9. Calcular u = = u = arcsend = arcsen ( ) + C = arcsen + + C arctan d. De acuerdo con el acrónimo LIATE tomamos u = arc tan, dv = d, así entonces d du = y v = d =, +. Por lo tanto la integral por partes es d arctan d d arctan = (arctan ) = + + (.5) Ahora lo único que tenemos que hacer es calcular la integral d + d = = = arctan d d = = En conclusión reemplazando el último resultado en (.5) obtenemos arctan arctan { } arctan d = arctan + C = + arctan + C Ejemplo 0. Calcular sen d sen d = = Así Para integrar separamos ( sen)( sen) d u = sen, dv = send du = cos d, v = send = cos d aplicando la integral por partes sen d = sen ( cos ) ( cos )(cos d ) = sen cos+ cos d (.6) Ahora nuestro problema es calcular la integral cos d que cos = sen, así que cos d = ( sen ) d = d sen d = sen d, es decir, sin embargo recordemos cos d = sen d, reemplacemos esta última ecuación en (.6)

7 sen d = sen cos+ cos d = se n cos + sen d, observa que el último término está restando, así que lo pasamos sumando al inicio de la ecuación y tenemos sen d + sen d = sen cos +, sumamos y sen d = sen +, de donde el pasa dividiendo cos sen cos + sen cos sen d = + C = + + C Ejemplo. Calcular sec d Como en el ejemplo anterior separamos sec = sec sec d sec sec sec =. Por tanto. La parte más complicada del integrando que resulta fácil de integrar porque conocemos una fórmula es sec, por tanto tomamos u = dv = d sec, sec du = sec tan d, v = sec d = tan Aplicando la integral por partes se tiene sec d = sec tan tan (sec tan d ) = sec tan sec tan d (.7) Así que sólo nos queda resolver la integral sec tan sec tan = tan = sec = sec (sec ) d d = (sec sec d ) = sec d sec d Este último resultado lo reemplazamos en la ecuación (.7) d. Manos a la obra { } sec d = sec tan sec tan d = sec tan sec d sec d de donde sec d = sec tan sec d + sec d = sec tan sec d + ln sec + tan, observa que término y tenemos sec d está restando, así que lo pasamos sumando al primer sec d + sec d = sec tan + ln sec + tan, sumando d y finalmente sec = sec tan + ln sec + tan sec tan + ln sec + tan sec tan ln sec + tan sec d = + C = + + C