Soluciones de la relación de ejercicios del TEMA 0

Transcripción

1 Soluciones de la relación de ejercicios del TEMA 0. Indica a que conjunto o conjuntos pertenecen los siguientes números: 0, 9, 4 5, 8, i,, 7, 7, +i,, π, Para este ejercicio hay que tener en cuenta la relación que eiste entre los distintos conjuntos numéricos estudiados. Recordemos que N Z Q R C, por una lado y que R\Q R C. De manera que si, por ejemplo, N, entonces también pertenece a Z, Q, R y C. Se tiene que 8 = 9, 7 =, = N (y a Z, Q, R y C). 0, 9 = Z (y a Q, R y C). 4 Q (y a R y C)., 7, 5, R\Q (y a R y C). i, +i C. π. Simplifica las siguientes fracciones algebraícas: (a) = 5 5 (b) 4 = Opera simplificando el resultado: a) b) + y z c) d) + y = 4 f) 7 = 0 y y y = z y+ +y g) 5 = yz yz y = + g) 5 = +y y + +y 0 y = 5 h) ++ = (+) (+) (+)(+5) (+)(+5) e) + = 5 i) 4. Realiza las siguientes operaciones: +y ( y ) = y (y) ( y) a) ( ) + + = 6 c) 8 5 b) + + = 8 d) q 5 q q y +y q y + = 5 q = y y y 5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

2 (a) ( +) = + 4. No tiene solución (b) 8 +5=( +5). =0,= 0 7 (c) 4 4=0. = ±, = ± i (d) 4 +6 =0. = ± p 6+, = ± p 6 (e) +=0. =, = ± (f) = 8. = 4 = (g) 5=+. = 9 (h) + =5. = 5, = 6. ResuelvelassiguientesinecuacionesenR: (a) ( [ 5 6, + [). (b) 6 > 5 0(6 ) > 5( ) 60 0 > > 55 < 55 <.( ], [). 5 (c) Siresolvemos el polinomio + +5 = 0, obtenemos las raices = y = 5. Si las ponemos en la recta real y damos valores (por ejemplo, =, =0y =), se observa que dicho polinomio toma valores negativos o cero en los intervalos ], ] y [ 5, + [. (d) +4 < < 0 Ruffini ( )(+4)( +) < 0. Las raices reales de ( )(+4)( +) = 0 son =y = 4. Si las ponemos en la recta real y damos valores (por ejemplo, = 5, =0y =), se observa que

3 dicho polinomio toma valores negativos en los intervalos ], 4[ y ], + [. (e) Para resolver esta inecuación hay que multiplicar por + en los dos miembros de la desigualdad, de manera que hay que tener en cuenta que si este factor es positivo o negativo. i. Si + > 0 ( > ), multiplicando por + en los dos miembros de la desigualdad, se tiene que +4 + > (+>0) +4 > ( )( +) 6 <0 ( 6) < 0 >0 y 6 < 0 (0, + ) ( 6, 6) = (0, 6) o <0 y 6 > 0 ( <<0) (, 0) {(, 6) ( 6, + )} = La solución en este caso sería (0, 6). ii. Si + < 0 ( < ), multiplicando por + en los dos miembros de la desigualdad, se tiene que +4 + > (+<0) +4 < ( )( +) 6 >0 ( 6) > 0 (<0) 6 < 0 (, ) ( 6, 6) = ( 6, ) Uniendo las soluciones obtenidas para +> 0 y +< 0, se tiene la solución al ejercicio: Gráficamente: ( 6, ) (0, 6).

4 4 Aunque aún no se ha estudiado la representación gráfica de funciones, al resolver la inecuación +4 >, lo que estamos + hallando son los números reales que verifican que la gráfica de la función +4 está por encima (>) delagráfica de la función +. De hecho, en el siguiente dibujo se aprecian las gráficas de las dos funciones, así como el conjunto solución que hemos obtenido. (f) Si ponemos en la recta real =, =y =ydamos valores (por ejemplo, =, =0, = y =), se obtiene que ( +)( ) ( ) > 0 ], [ ], + [. 7. Dado a R, b R + y a >b, determina el signo de las siguientes epresiones: Para hacer este ejercicio hay que tener en cuenta que si a<0, entonces a >0 y a = a, sib>0, b <0 y b = b yque a >blleva consigo que a >b. a) a<0 a>0 f) a 6= b a b > 0 b) b>0 b<0 g) a a = a a>0 c) a b = a +( b) < 0 h) b b = b b =0 d) a>b a + b<0 i) a >b= b a b > 0 e) a b<0 a + b>0 j) a > b > 0 a b a b 8. Resuelve las siguientes inecuaciones: (a). ], ] [, + [

5 5 (b) = (c) 4 < +. ], + [ (d) +. [ 4, 4] (e) +. Ciertoparatodo R (f) ( ) <. ], + [ 9. Epresa en forma de intervalos los siguientes subconjuntos de R: (a) { R : +> 0} = { R :> } = { R : > } = ], + [ (b) { R : 4 <0} = { R : ( 4) < 0} = (dando valores) { R : ( +)( 4) < 0} = ], [ ]0, 4[ (c) { R : + =} = { R : ( )( +) = } = { R : + 6 =} = { R : + 6=ó + 6= } = { R : + 7=0ó + 5=0} = { ± 9, ± } (d) { R : } = { R : } = { R : } = { R : } =[, ] (e) { R : }. Rompiendo el valor absoluto tenemos { [, + [ : } { ], [: + } = { [, + [ :0 } { ], [: } =[, + [ [, ] = [, + [ (f) { R : > 0}.Si obtenemos las raices del numerador ( ± 5) y del denominador () y las ponemos en la recta real y damos valores, obtenemos ] 5, [ ] + 5, + [ 0. Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: (a) f() = + 4+ Para estudiar el dominio de un cociente tenemos que hallar los puntos que anulan el denominador y que no anulan el numerador. 4 + = 0 =,. Como estos puntos no anulan el denominador, se tiene que el dominio es R\{, }.

6 6 (b) f() = + =. Por tanto, el dominio es R\{}. + ( ) (c) f() = + El dominio es { R : + 0} =], ] [, + [. (d) f() = + Teniendo en cuenta que la función raiz cúbica tiene por dominio todo R, Dom +=Dom ( +)=R. (e) f() = +4 Como +4 0, paratodo R, se tiene que el dominio de f es R. q (f) f() = + Dom f = { R : 0}. + Como + > 0, paratodo R, 0 si, y sólo si, 0, esdecir,si. Por tanto, el + dominio es [, + [. (g) f() =e Teniendo en cuenta que el dominio de la función eponencial de cualquier base, en particular si la base es el número e, esr, se tiene que Dom e = Dom ( )=R. (h) f() =ln( +) Dom f = { R : + > 0}. Obtenemos las raices del numerador y del denominador (±), las ponemos en la recta real y damos valores. Se tiene que el dominio es ], [. (i) f() =sen( ) 4 EldominiodelafunciónsenoestodoR. Por tanto, Dom f = Dom ( )={ R : 4 4 6= 0} = R\{±}. (j) f() =arctg( ) e El dominio de la función arcotangente es todo R, portanto,dom f = Dom( ). Como e > 0, paratodo R, en particular e e 6=0,paratodo R. Se tiene entonces que el dominio es R. (k) f() = El dominio de las funciones eponenciales es R.

7 (l) f() = Los puntos que NO pertenecen al dominio, son aquellos tales que =0. =0 = [0, + ] Por tanto, Dom f =], 0[.. Halla el dominio, la imagen y dibuja la gráfica de las siguientes funciones: (a) f() =. Dominio ([, + [). Imagen (R + 0 ). La gráfica es como, pero desplazada una unidad a la derecha. 7 (b) f() =. Dom f = R, Im f = R + 0 ½ si <0 (c) f() = =.Dominio(R). Imagen ({, }). si 0 Gráfica. Función constante, para<0 y función constante, para 0. (d) f() = = Gráfica ½ si <0 si >0. Dominio (R ). Imagen (R + ).

8 8 (e) f() =log () (en apuntes) (f) f() =log () (en apuntes) (g) f() = (en apuntes) (h) f() = (en apuntes) (i) f() = +. Dominio (R + 0 ). Imagen ([, + [). Gráfica. Como, pero desplazada dos unidades hacia arriba. (j) f() = sen. Dominio ( n Z [nπ, (n +)π]). Imagen ([0, ]). La gráfica en el intervalo [ 4π, 4π] es :. Dadas f : R\{} R y g : R R definidas por f() = g() = cos. Calculaf g y g f. (f g)() = cos y (g f)() =( ) cos( ).. Estudia cuáles de las siguientes funciones son inyectivas y, en caso de que eista, calcula su inversa: y (a) f() =4 7. Inyectiva. f () = (b) f() = +.Noinyectiva. (c) f() =e Inyectiva. f () =ln( +) (d) f() =9, 0. Inyectiva.f () = 9

9 9 (e) f() =.Inyectiva.f () = (f) f() =, 0. Inyectiva.f () = 4. Estudia los límites en los puntos 0 = 5/, 0 = y 0 =0de la función cuya gráfica es: 5. f() =0, 5 + f() =, f() =, 0 f() = 5. Estudia la eistencia de los siguientes límites. Si eisten, hállalos: (a) ( +)= 6+= = ( ) = ( ), y f() +, +. (b) (c) (d) + ( ) No eiste límite, f() 0 +. Tenemos una indeterminación del tipo. Dividi- endo numerador y denominador por,setieneque +. + = ( + ). Tenemos una indeterminación del tipo +. Multiplicando numerador y denominador por el conjugado: ( ( + ) = + )( + +) = = = (dividiendo num. y den. por )

10 0 (e) ( ). Ambos sumandos por separado no tienen límite (divergen). No obstante, el hecho de que dos funciones NO tengan límite no significa quelasumanolotenga,comoponede manifiesto este ejercicio. ( ) = ( ( )( + +) )= + + = ( )( + +) = ( )( +) ( )( + +) = + = = (f) Tenemos una indeterminación del tipo. Multiplicando y dividiendo por el conjugado = + ³ + + = = + + ( ) = = + = Tenemos una indeterminación del tipo. Si dividimos numerador y denominador por la de mayor grado (en este caso, ), se tiene = = + = + µq q = =

11 (g) (h) (i) e + =0. Por tanto, e e,demaneraque = =. Por otra parte, = + e. De forma análoga al apartado anterior, se tiene que + e =. + + e e = + =0y e + + e = = 6.Portanto: a (j) ( 0 ). Si multiplicamos y dividimos por el conjugado a 0 a del numerador a ( a)( + a) = a a a ( a)( + = a) ( a) = a ( a)( + a) = a. Ota forma de afrontar el límite es mediante el cambio de variable t =. Teniendo en cuenta que cuando a, t a se tiene que a t a t a = a a t = a t a t a t a = = t a (k) = t a (t + a)(t a) = t a = + (t + a) = a =0

12 (l) ( + + e ). Cuando +, y, la función eponencial en, tiendea0. Por tanto, ( + + e )= +0=. 6. Halla, si eisten, los límites en 0 yen de la función: si 0 f() = si 0 << si 0 f() ( 0 f() = 6= 0= 0 + f()), f() = 7. Calcula, si eisten, los siguientes límites laterales: (a) Si tenemos en cuenta como se define la función valor absoluto, = +, cuando <. Por tanto, = = + (b) (c) (d) (e) (f) + = ( ) ( ) = = = + sen sen = 0 0 sen sen = (+) + ( )( ) (4 +) 0 = 0 ( sen ) =0 = sen =0 0 + No eiste, f(), + = (4 +)( ) = ) = 0 0 ( 4 8. Utiliza equivalencias para estudiar los siguientes límites: r + a (a) ( ln a ) r + a + a ( ln )= ( ln( a a ) )= ( ln( + a a )) = = ( ln( + a )) = a ( a a )=a

13 Hemos hecho uso de que como ( a ) = 0, se tiene que a ln( + a a ) a a. cos (b). Cuando 0, setieneque cos 0 arcsin( ) y arcsin( ).Demaneraque, 0 cos arcsin( ) = 0 = 6. µ (c) +ln Tenemos una inetrminación del tipo. Hallaremos el límite +5 + ln 9 e [ ( +4) = e [ + ln(+ 9 µ ( +) cos (d) µ ( ) ln + = ] = e [ 9. Halla la derivada de las siguientes funciones: (a) f() = / + 5 ; f 0 () = ln 9 ] = e [ + ] = ( +4) ] 9 = e 6 (b) f() =cos ( + ) 4 ; f 0 () = cossen 4( + ) ( +) (c) f() =e + ; f 0 () =e + (d) f() =e sen ; f 0 () =cose sen (e) f() = tan ; f 0 () = tan ( + tan )ln (f) f() =e ln ; f 0 () =(ln + ) e ln (g) f() =ln + ; f 0 () = (h) f() =log (sen ); f 0 () = cos sen ln

14 4 (i) f() =sen(cos); f 0 () = cos (cos )sen (j) f() =cos( ); f 0 () = ln sen (k) f() =tan ; f 0 () = + 4 ( +) (l) f() =arcsin( +4 ); Este apartado habría que quitarlo, ya que esta función está definida sólo para =0,puestoque +4 >, paratodo R. (m) f() = arccos(ln ); f 0 () = q ( ln ) (n) f() = arctan(a + ); f 0 () = ³ (o) f() = + ; a f 0 () = + a +(a + ) ³ ln + a + a + a (p) f() = (ln ) ; f 0 (ln ) () = [ln(ln )+ ln ln ] ln (ln ) ln ln ( ln ) 0. Dada la función f(, y) = e y, halla las derivadas parciales en el punto (, ln ). (, y) =ey ( + y); (, ln ) = ( + ln ) (, y) y = e y ; (, ln ) = y. Calcula las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones: (a) f (, y) = y + y. (, y) = y +6 y ; y (, y) = y + (b) f (, y) = e y. (, y) =ey ; y (, y) = e y (c) f (, y) =ln( + y ). (, y) = ; + y y y (, y) = + y

15 5 (d) f (, y) = arctan y. y (, y) = ³ ; + y y (, y) = ³ + y (e) f (, y) =arc sen (y). (, y) = p ( y ) y ; y (, y) = p ( y ) (f) f (, y, z) =ln p + y + z. (, y, z) = +y +z z (, y, z) = +y +z z. Halla la solución general de las ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes siguientes: y (, y, z) = +y +z y (a) y 00 y =0 La ecuación cararacterística es m =0, cuyas raices son m = ± (raices reales y distintas). Teniendo en cuenta la Proposición 0.64, se tiene que y() =c e + c e (b) y 00 y 0 6y =0 La ecuación cararacterística es m m 6 = 0, cuyas raices son m =, (raices reales y distintas). Teniendo en cuenta la Proposición 0.64, se tiene que y() =c e + c e (c) y 00 +y 0 =0 La ecuación cararacterística es m +m =0, cuyas raices son m = 0, (raices reales y distintas). Teniendo en cuenta la Proposición 0.64, se tiene que y() =c + c e (d) y 00 +6y 0 +5y =0 La ecuación cararacterística es m +6m +5=0,cuyasraicesson m =, 5 (raices reales y distintas). Teniendo en cuenta la Proposición 0.64, se tiene que y() =c e + c e 5

16 6 (e) y 00 6y 0 +7y =0 La ecuación cararacterística es m 6m+7 = 0, cuyas raices son m = ± 5i (raices complejas). Teniendo en cuenta la Proposición 0.64, se tiene que y() =c e 5 cos( )+c e 5 sen( ) (f) y 00 4y 0 +y =0 La ecuación cararacterística es m 4m + = 0,cuyasraices son m = ± 7i (raices complejas). Teniendo en cuenta la Proposición 0.64, se tiene que y() =c e cos( 7)+c e sen( 7). Halla R f() d en los siguientes casos: (a) Inmediatas o casi inmediatas : i. R ( /5 ) d = 5 ( 5 ) 8 + c 8 ii. R tan d= ln (cos )+c iii. R e e d = + + c e 4e 4 iv. R + d = (4 +4) / ( +) / + c v. R ( +) 4 d = ( 5 +)5 + c vi. R e + d = e+ + c (b) Por partes: i. R e d =( )e + c ii. R ln d= ln 4 + c iii. R arc sen d= arc sen + p ( )+c iv. R ( +4)send=sen cos 4cos + c v. R ( )e d =( +)e + c vi. R cos e d = (cos ) e + e sen + c (c) Por cambio de variable: i. R sen cos d= cos + c ii. R 5e d = 5 + c e

17 iii. R iv. R d + =ln( +)+c e +e d =ln(+e )+c v. R e tan d = cos etan + c vi. R ln 5 cos 5 sin d =5 sen + c (d) Racionales: i. R +6 d = +6ln + c ii. R + d = + +ln( ) + c iii. R + d = ln ( ) iv. R + + d = ln ( +)+c +ln( ) + c v. R d = ln + ( +)+c vi. R + d ++ =ln( + +)+ 4 arctan ( +) +c 4. Calcula R f() d: i) f() = R ( )d = R ( /4 + 5 / + 4 / )d = 5/ / / + c = 5 5/4 5/ / c 5 ii) f() = cos (Nota: De la ecuación fundamental de la trigonometría y delqcoseno del ángulo doble, se obtiene que sen = cos() cos,dedonde =sen( )) R R cos d = cos d = R q cos d = R sen( )d = ( ) R ( )sen()d = cos( )+c iii) f() = +cos R +cos d. Podemos hacer el cambio de variable t = tg (página 55 de los apuntes). Con este cambio se tiene que d = dt +t y cos = t,demaneraque R +t +cos d = R dt = + t +t R +t dt = t + c = tg + c 7

18 8 También la podemos resolver sin hacer cambio de variable. Teniendo en cuenta algunas propiedades de las funciones trigonométricas se puede obtener que +cos =cos ( ). Teniendo en cuenta esto, R +cos d = R cos ( )d = R cos ( )d = tg( )+c iv) f() = sen Aplicando integración por partes, considerando u = y dv = sen d, setieneque R sen d = cos + R cos d. De nuevo aplicamos integración por partes (u = y dv =cosd) y obtenemos que R sen d =( +)cos +sen + C v) f() =e Aplicando integración por partes, considerando u = y dv = e d, setieneque R e d =( )e + C vi) f() =ln Aplicando integración por partes, considerando u =ln y dv = d, setieneque R ln d = ln + C vii) f() = ln Aplicando integración por partes, considerando u =ln y dv = ln 9 + C d, setieneque R ln d = viii) f() =e sen Se aplica integración por partes dos veces considerando en ambos casos u = e. Se obtiene que R R e sen d =(sen cos )e e sen d. Despejando la integral se tiene que R e sen d = e (sen cos )+C i) f() =sen R sen d = R sen sen d = R ( cos ) sen d. Sihacemos el cambio de variable t =cos, setienequedt = sen d. Sustituyendo en la integral R ( cos ) sen d = R ( t )dt = t + t + C = cos + cos + C ) f() =arctg Aplicando integración por partes, considerando u = arctg y dv = d, setieneque R arctgd = arctg ln ( +)+C

19 i) f() = arctg Aplicando integración por partes, considerando u = arctg y dv = d, setieneque R arctgd = arctg + arctg + C ii) f() = e ( +) Aplicando integración por partes, considerando u = e y dv = d ( +),setienequer e e d = ( +) ( +) + e + C = e + C + ln(sen ) iii) f() = cos Aplicando integración por partes, considerando u =ln(sen) y dv = d cos,setienequer ln(sen ) d =ln(sen) tg + C cos iv) f() =tg () R tg ()d = R ( + tg () )d = R ( + tg ())d R d. La segunda integral es inmediata. La primera se resuelve por Rpartes, considerando u = y dv =(+tg ())d. Se obtiene que tg ()d = + tg +ln cos + C v) f() =sen(ln) Aplicando integración por partes, considerando u =sen(ln) y dv = d, setieneque R sen (ln ) d = sen (ln ) R cos (ln ) d. Aplicando de nuevo integración por partes, tomando u =cos(ln) y dv = d, setieneque R R sen (ln ) Rd = sen (ln ) cos(ln ) sen (ln ) d. De manera que sen (ln ) d = (sen (ln ) cos(ln )) + C vi) f() = + Haciendo el cambio de variable t =+, setienequetdt = d yque = t. Sustituyendo en la integral R +d = R (t ) t tdt = R (t 4 t )dt = t5 t + C. Deshaciendo 5 el cambio, se tiene que R +d = (+) 5 (+) + C 5 vii) f() =e cos e R e cos(e )d = sen(e )+C (inmediata). También podíamos haber hecho el cambio de variable t = e. 9

20 0 viii) f() =e (e +) R e (e +) d = (e +) 4 +C (inmediata). También podíamos 4 haber hecho el cambio de variable t = e +. i) f() = ln R ln d = R d = ln ln + C (inmediata). ln También podíamos haber hecho el cambio de variable t =ln. ) f() = + = + R + d = R ( ) d+ R d = R ( )( ) d +arcsen = +arcsen + C e i) f() = e R e d = R e e p (e ) d = arcsen(e )+k (inmediata). Tambiénpodíamoshaberhechoelcambiodevariablet = e. ii) f() = p 4 9ln R p 4 9ln d = R µ q d = ( ln arcsen ln + ) C (inmediata). También podíamos haber hecho el cambio de variable t = ln. iii) f() = a + b Si hacemos el cambio de variable t = a+b, setieneque = t a b y d = tdt. R R d = b a + b b (t a)dt = ( t at)+c = b (a+b) ( a a + b)+c b iv) f() = sen +sen Si hacemos el cambio de variable t =cos, setienequedt = R sen send. +sen d = R dt = + ln cos + + t

21 ln cos + c v) f() =tg () Ayuda: tg () =tg ()tg() =(+tg () )tg() = tg() tg() cos R tg d = R tg tgd = R ( + tg )tgd = R ( tg cos tg)d inmediatas tg = +ln cos + c vi) f() =sen cos R sen cos d = R sen sen cos d = R ( cos )sencos d = R sen cos d R sen cos 4 d = cos + cos5 +c. Sihace- directamente el cambio de variable t =cos, setieneque 5 Rmos sen cos d = R (t t 4 )dt. vii) f() =sen 4 cos 5 Si hacemos el cambio de variable t =sen, R setienequedt = cos R d y cos = t. Sustituyendo, sen 4 cos 5 d = sen 4 cos cos cos d = R t 4 ( t )( t )dt = R (t 8 + t 4 t 6 )dt = t9 + t5 t7 + C = sen 9 + sen 5 sen7 + c viii) f() =sen (a) Hacemos el cambio de variable t =, demaneraquetdt = d. Sustituyendo R sen d = R R t sen tdt. Se resuelve por partes. sen d = cos +sen + c i) f() = cos4 sen Si hacemos el cambio de variable t =cos,setieneque R cos 4 sen d = ln + ln +cos + C R t 4 t dt racional = R (t +)dt+ R dt t = t +t+ ln t t + C = cos +cos + ln cos ) f() = 4 R 4 d = i) f() = 5 R p ( ) d = arcsen( )+C

22 R 5 d =5 Rp ( 5 ) d. Hacemos el cambio R =sent. 5 5 d =5 R cos tdt. Por otra parte, cos t = cos(t)+. Por tanto, 5 R R cos tdt = 5 (cos(t)+)dt = 5 5 sen(t)+ t+ 4 C = 5 sen t cos t + 5t + C = p (5 )+ 5arcsen( )+C 5 ii) f() = 4 R 4 d = R ( + 4 )d = 4 +ln 4 + C iii) f() = R d = R d + R d = + R R d = +4ln ln + C B R d = R A iv) f() = 5 ln v) f() = d + R ln + k +5 + R +5 + d = R 4 + ln + + k vi) f() = ( +) R A d+r A d + B d + R C d = ln + 6 B d+ R ( ) C d = ln + ( +) d = R d R ++ (+) d = + R A + d + R B R C d = ln k (+) + (+) vii) f() = 7 viii) f() = +9 R 7 +9 d = R (+) d + +9 d 7 R +9 d =ln( +9) 7 R d = 9 +( ) ln ( +9) 7arctg( )+C + +5

23 R + +5 d = R R d = 9 +( + d = ) 4 R 4 9 +( + ) d = + arctg( )+C i) f() = R d = R ( +4)d + R ln arctg ( ) + C R d = R d = +4 + R d+ R 4 +5 d = ln 4 +5 d = ln R +( ) d = ln arctg ( ) + C l) f() = R d = R 5 d + R ln arctg( + )+C 5 d =5ln li) f() = + R + d = R + d+r + + d = ln + ln arctg( )+C lii) f() = R d =ln + ln + ln arctg( + )+C 5. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: (a) y 0 y =

24 4 y 0 y = equivale a y 0 y =. En primer lugar resolvemos la ecuación homogénea asociada y 0 y =0. y 0 dy y =0 d = y dy y = d Una vez separadas las variables, integrando: Z Z dy y = d ln y =ln + cte ln y =ln +lnk ln y =ln(k ) Por tanto, la solución de la ecuación homogénea será y = k. Haciendo uso del método de variación de constantes de Lagrange, suponemos que la solución de la ecuación completa es de la misma forma que la solución de la homogénea, pero considerando la constante k como una función, es decir, y = k(). Ahora tenemos que obtener la función k(). Sustituyendo en la ecuación de partida: y 0 y = k0 () +k() k() = k 0 () = k() = Z d k() =ln + c Así pues, la solución de la ecuación diferencial: y = k() y =(ln + c) y() =ln + c (b) y 0 ytg =.Lasoluciónesy() =tg + c sec. (c) y 0 + y = +4.Lasoluciónesy() = + + c. (d) y 0 = e y. Lasoluciónesy() = e + ce. (e) y 0 +y =sen. Lasoluciónesy() = sen cos ce. (f) (y +sen) d dy =0. Esta escuación se puede epresar como y 0 y =sen. Lasoluciónesy() = sen cos ce. (g) y 0 +5y = e 5.Lasoluciónesy() = e5 + 0 ce 5. (h) ( ) y 0 + y =. Esta escuación se puede epresar como y 0 + y = +.Lasoluciónesy() = + c. ( )