lím 3) (1,6p) Deriva la siguiente función y simplifica el resultado: 1 1+ x

Transcripción

1 CURSO de marzo de 28. ) (,6p) Halla k para que se verifique: - ( 2 +k+)=4 2) (,8p) Dada la ecuación 2-=ln : a) Prueba que tiene solución. b) Prueba que tiene solo una solución. c) Hállala con un error menor que /2. ) (,6p) Deriva la siguiente función y simplifica el resultado: y= + 4) (,6p) Halla una primitiva de la siguiente función y comprueba el resultado: +ln f()= 5) (,6p) Encuentra el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función y=tg, la recta =π/ y el eje de abscisas. 6) (,8p) Dada la matriz A, resuelve la ecuación A X=X+I y comprueba la solución (I es la matriz unidad de orden ): A=

2 CURSO 278 Ejercicio : Halla k para que se verifique: - ( 2 +k+)=4 (,6 PUNTOS) - ( 2 +k+) = + ( 2 -k-) = 2 2 -k k+ = = + -k = k k = k - + -k - + =-k/2 Por tanto: -k/2=4 k=-8 Ya que - f()= f(-). Si se calcula el ite sin aplicar esta fórmula hay que tener + presente que 2 = =- cuando <. 2 Multiplicamos y dividimos por la epresión conjugada. Simplificamos el numerador y sacamos factor común en el denominador. -

3 CURSO 278 Ejercicio 2: Dada la ecuación 2-=ln : a) prueba que tiene solución; b) prueba que tiene solo una solución; c) hállala con un error menor que /2. (,8 PUNTOS) a) Consideramos la función f()=2--ln, cuyo dominio es (,+ ). Evidentemente, f'()=--/ y Dom(f')=(,+ ). Por otro lado, f()=2--ln => y f(2)=2-ln 2=-ln 2<. Como f es continua en [,2], por ser derivable en su dominio, y f() f(2)<, entonces, por el teorema de Bolzano, eiste c en (,2) tal que f(c)=. Ahora bien: f(c)= 2-c-ln c= 2-c=ln c Por tanto, c es solución de la ecuación de partida. b) Como f'()=--/< (,+ ), la función f es continua y decreciente en su dominio. En consecuencia, no puede cortar al eje de abscisas en más de un punto. Por tanto, c es la única solución de la ecuación. c) Una solución aproimada con un error menor que /2 es,5. Otra forma de ver que la solución es única es la siguiente. Supongamos que dicha ecuación tiene más de una solución. Sean a y b (<a<b) dos de esas soluciones. Entonces: 2-a-ln a= y 2-b-ln b=. Ahora bien, la derivada de la función f es f'()=--/. Por tanto, f es continua en el cerrado [a,b] por ser derivable en (,+ ), es derivable en el abierto (a,b) por serlo en (,+ ) y f(a)=f(b)=. Por el teorema de Rolle, eiste c en (a,b) tal que f'(c)=--/c=. Pero como c>, --/c<. Como ambas cosas no pueden ser ciertas a la vez, la ecuación 2--ln = sólo tiene una solución real. --

4 CURSO 278 Ejercicio : Deriva la siguiente función y simplifica el resultado: y= + Aplicamos el método de derivación logarítmica: (,6 PUNTOS) y = + 2 ' + ln y = ln + y' y = ln = = ln = 4 ln y'= ln También puede derivarse escribiéndola primero como una función potencial-eponencial. 2 Por las propiedades de los logaritmos. Aplicamos el método de derivación implícita. 4 Multiplicamos por el numerador y el denominador de la última fracción. -4-

5 CURSO 278 Ejercicio 4: Halla una primitiva de la siguiente función y comprueba el resultado: +ln f()= (,6 PUNTOS) +ln d = (+ln ) / d (+ln ) /+ = /+ Comprobación: 4 (+ln ' )4/ = 4 4 (+ln )/ + C = 4 (+ln )4/ + C = +ln Se trata de una integral casi inmediata de tipo potencial. También puede hacerse con el cambio de variable +ln =t, (/) d=t 2 dt. O +ln =t, (/) d=dt. -5-

6 CURSO 278 Ejercicio 5: Encuentra el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función y=tg, la recta =π/ y el eje de abscisas. (,6 PUNTOS) º) Resolvemos el sistema que forman las funciones que limitan por arriba y por abajo el recinto cuya área queremos hallar: y=tg y= tg = =+kπ = 2º) Averiguamos entre y π/ qué función está por encima y qué función está por debajo: º) Calculamos el área: A = π/ (tg -) d = y y 2 π/4 π/ tg d = [-ln cos ] π/ = = -ln cos(π/) +ln cos = -ln(/2)+ln = -ln +ln 2 = ln 2 tg d = sen cos d = - -sen cos d =2 -ln cos + C Comprobación: (-ln cos )'= - cos (-sen ) = tg Representación gráfica: y=tg =π/ O,5 La correspondiente integral indefinida la hacemos aparte. 2 Se trata de una integral casi inmediata de tipo logaritmo. También puede hacerse con el cambio de variable cos =t, -sen d=dt. -6-

7 CURSO 278 Ejercicio 6: Dada la matriz A, resuelve la ecuación A X=X+I y comprueba la solución (I es la matriz unidad de orden ): 2 A= - 2 (,8 PUNTOS) Despejamos X: Ahora bien: A X=X+I A X-X=I (A-I) X=I X=(A-I) - I=(A-I)- A-I= = Aplicamos el método de Gauss para calcular la inversa de A-I: ~ - ~2 - ~ ~ - 2 ~ X= Comprobación: A X= = = - - X+I= = - - ªf-ªf. 2 2ªf ªf. ªf+2 2ªf. 4 ªf-ªf. -7-