x-1-1 x+2-2 lím 2) (1p) Averigua el valor del parámetro k para que la función sea continua en todo su dominio: f(x)= ln(1+x) si -1<x 0 k si x=0

Transcripción

1 CURSO 2-2. Septiembre de 2. ) (,5p) Calcula: x 2 x-- x+2-2 2) (p) Averigua el valor del parámetro k para que la función sea continua en todo su dominio: sen(2x) f(x) ln(+x) si -<x k si x ) (,5p) Deriva y simplifica la función: y ln +sen x -sen x 4) (,5p) Halla la simétrica de la recta r xyz respecto del plano π x-2y+z-6. 5) (,5p) Calcula la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π: x-2+λ r y2-λ z5+λ π x-2y+z-5 6) (p) Calcula: 2 4 ln x dx 7) (p) Determina el punto de la recta x+2y+5 cuya distancia al punto P(,) es mínima. 8) (p) Discute el sistema: x-z- 2x+ky-z-2 x+kz --

2 CURSO 2-2. Ejercicio : Calcula: x 2 x-- x+2-2 (,5 PUNTOS) x 2 x-- x+2-2 (x--)( x+2+2) x 2 (x+2-4)( x-+) (x-2)( x+2+2) x 2 (x-2)( x-+) x 2 x+2+2 x Multiplicamos numerador y denominador por las expresiones conjugadas de numerador y denominador. -2-

3 CURSO 2-2. Ejercicio 2: Averigua el valor del parámetro k para que la función sea continua en todo su dominio: sen(2x) f(x) ln(+x) si -<x ( PUNTO) k si x Para que la función sea continua en su dominio, debe serlo en x: f() k x sen(2x) f(x) x ln(+x) 2x x x x x< 2 2 Por tanto, k2. Ya que sen f ~ f y ln(+f)~ f si f es un infinitésimo. También puede hacerse por L'Hôpital, en cuyo caso, para obtener la indeterminación /, tenemos que aplicar la regla del ite de la composición. --

4 CURSO 2-2. Ejercicio : Deriva y simplifica la función: +sen x yln -sen x (,5 PUNTOS) yln +sen x -sen x 2 ln +sen x -sen x 2 2 [ln(+sen x)-ln(-sen x)] y' 2 cos x +sen x - -cos x -sen x cos x (-sen x)+cos x (+sen x) 2 (+sen x) (-sen x) cos x (-sen x++sen x) 2 -sen 2 x 2 2cos x cos 2 x cos x sec x Por las propiedades de los logaritmos. También puede calcularse la derivada directamente. 2 Por las propiedades de los logaritmos. -4-

5 CURSO 2-2. Ejercicio 4: Halla la simétrica de la recta r xyz respecto del plano π x-2y+z-6. (,5 PUNTOS) Calculamos una determinación lineal de la recta r: xyz P(,,) u (,,) Calculamos las ecuaciones paramétricas del plano π: x-2y+z-6 x6+2y-z x6+2α-β yα zβ La recta y el plano son paralelos, ya que el producto escalar del vector direccional de la recta y el vector característico del plano, v (,-2,), es cero: u v (,,) (,-2,)-2+. Sea Q la proyección de P sobre el plano π, X su simétrico y s la recta simétrica de r respecto de π: P u r v π Q X s Como Q π, Q(6+2α-β,α,β). Ahora bien, como los vectores v (,-2,) y [PQ ](6+2α-β,α,β) son colineales: 6+2α-β α -2 β 6+2α-ββ α-2β 2α-2β-6 α+2β 2 α-6 α+2β α-2-2+2β 2β2 β Q(,-2,) X(2,-4,2) Por tanto, la ecuación continua de la recta simétrica es: x-2 s y+4 z-2 El punto Q puede calcularse también como la intersección del plano π y la recta PQ (que pasa por P y tiene por vector direccional el vector característico del plano). O también teniendo en cuenta que el vector [PQ ] es la proyección de [PR ] sobre v, donde R es un punto cualquiera del plano π, por ejemplo R(6,,). 2 A la primera ecuación le sumamos la segunda. Ya que Q es el punto medio del segmento PX. -5-

6 CURSO 2-2. Ejercicio 5: Calcula la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π: x-2+λ r y2-λ π x-2y+z-5 (,5 PUNTOS) z5+λ La recta r pasa por el punto P(-2,2,5) y tiene a u (,-,) como vector direccional. Sea R el punto de corte de la recta r y el plano π. Sean Q y s, respectivamente, las proyecciones de P y r sobre dicho plano. Calculamos primero el punto R: 2 (-2+λ)-2(2-λ)+5+λ-5 r P(-2,2,5) -6+λ-4+6λ+5+λ-5 v u λ λ R(-,-,6) El vector característico del plano π es s π R Q perpendicular a la recta s. También lo es el producto vectorial u v : i w u v j k i +2j +7k Por tanto, un vector direccional de la recta s es: i v w - j k i -22j +4k -2(8i +j -2k ) Como la recta s pasa por el punto R(-,-,6), su ecuación continua es la siguiente: x+ 8 y+ z-6-2 También puede calcularse la recta s como intersección del plano π y el perpendicular a él que contiene la recta r. Éste queda determinado por el punto P y los vectores u (,-,) y v (,-2,). El producto escalar del vector direccional de la recta y el vector característico del plano, v (,-2,), es distinto de cero. Por tanto, son secantes. 2 Como R r, R(-2+λ,2-λ,5+λ); y como pertenece también al plano π, satisface su ecuación. Este vector también puede calcularse hallando el punto Q como intersección del plano π con la recta PQ (determinada por el punto P y el vector característico de dicho plano). O teniendo en cuenta que el [PQ ] es colineal con v o que [PQ ] es la proyección de [PR ] sobre v. -6-

7 CURSO 2-2. Ejercicio 6: Calcula: 4 ln x dx ( PUNTO) 2 4 ln x dx 2 [x ln x - x] 4 2 (4 ln 4-4)-(2 ln 2 2) 2 8 ln ln ln 2-2 ln x dx x ln x- dx 4 x ln x - x + C Comprobación: S D I + ln x - /x x [x ln x - x]' ln x + x x ln x + ln x La correspondiente integral indefinida la hacemos aparte. 2 Por las propiedades de los logaritmos. Esta integral se hace por partes. La integral efectuada en la columna I es inmediata de tipo potencial. 4 Esta integral es inmediata de tipo potencial. -7-

8 CURSO 2-2. Ejercicio 7: Determina el punto de la recta x+2y+5 cuya distancia al punto P(,) es mínima. ( PUNTO) Sea X un punto cualquiera de la recta dada: P(,) d X(x,y) La distancia del punto P al punto X tiene que ser mínima: dd(p,x) (x-) 2 +(y-) 2 Tenemos que expresar la distancia en función de una sola variable. Ahora bien, como X pertenece a la recta dada, satisface su ecuación. Por tanto: x+2y+5 x-5-2y d (-5-2y-) 2 +(y-) 2 (-8-2y) 2 +(y-) 2 Como d>, podemos sustituir esta función por su cuadrado: C(-8-2y) 2 +(y-) y+4y 2 +y 2-2y+5y 2 +y+65 Como la condición necesaria de extremo relativo es que la derivada valga cero, derivamos, igualamos a cero y resolvemos la ecuación: C' y+ y- y- Para aplicar el criterio de la derivada segunda, derivamos de nuevo y calculamos el valor de la derivada segunda en y-: C" C"(-)> d es mínima en y- Por último: y- x-5+6 X(,-) También puede aplicarse el criterio de la variación del signo de la derivada primera. -8-

9 CURSO 2-2. Ejercicio 8: Discute el sistema: x-z- 2x+ky-z-2 x+kz Aplicamos el método de Gauss: 2 k - - k - -2 ~ k - - k k k+ k k- ( PUNTO) Estudiamos los distintos casos: º) Si k-, el sistema es incompatible: º) Si k, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: ~ x-z- z4 x z4/ x yα z4/ º) En los demás casos el sistema es compatible determinado: x-z- ky+z4 (k+)z4 z 4 k+ ky4-z4-2 k+ 4k k+ y k+ 2 x-+z -+ k+ -k-9+2 k+ -k+ k+ (-k) x k+ 2ªf-2 ªf; ªf-ªf. 2 Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos que despejar luego (caso º). Ya que la última ecuación es incompatible. 4 Ya que el número de incógnitas menos el número de ecuaciones fundamentales es. 5 ªf-2ªf. -9-