2 2 2 a a 2. a a=0 a(a+1)=0 a=0, a=-1. x=-y-2 z=-1

Transcripción

1 JUNIO DE 3. PROBLEMA A. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible: ax+(a +a)y+z axy+z ax+yza (3 PUNTOS) Aplicamos el método de Gauss: a a a a +a a ~ a a a a +a a ~ a a a(a+) a, a a +a a 3 Estudiamos los distintos casos: º) Si a, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: ~4 ~5 xy+z z xy z xα yα z º) Si a, el sistema es incompatible: ~4 ~5 3º) Si a y a, el sistema es compatible determinado: axy+z a(a+)yz za za a(a+)y+z+a(a+) y a axyz a a a a a x a ªf ªf. ªfªf ; 3ªf+ªf. 3 Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos luego (caso 3º) que despejar. 4 ªf /. 5 3ªf+ªf.

2 JUNIO DE 3. PROBLEMA A. Dado el punto P(,,3) y la recta r xyz+3, encuentra la ecuación general del plano π xy+4 que es perpendicular a la recta r y que cumple d(p,π)3. ( PUNTOS) Calculamos un vector direccional de la recta r: Como v i j k i j k (i +j +k ) v (,,) es un vector característico del plano π, su ecuación es: π x+y+z+d Como la distancia del punto P al plano π es 3: d(p,π)3 ++3+D 3 7+D 9 7+D± D+97 D976 π x+y+z+ π x+y+z6

3 JUNIO DE 3. PROBLEMA A3. Dada la función f(x)x e cos(πx/), demuestra que existe un valor α (,3) tal que f'(α). Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. ( PUNTOS) Primero derivamos la función: f'(x)e cos(πx/) +x e cos(πx/) cos x π ' e cos(πx/) +x e cos(πx/) sen x π x π ' e cos(πx/) π x ecos(πx/) sen π x ecos(πx/) x sen π π x * * * Como la función f' satisface las condiciones de la propiedad de Darboux, existe α en el intervalo abierto (,3) tal que f'(α). En efecto: ª) f'()<<f'(3): f'()e cos(π/) sen π π e π π <. f'(3)e cos(3π/) 3π sen 3π e 3π + + 3π >. ª) f' es continua en [,3]: [,3] Dom(f') Dom(f)R. Si a [,3]: x a f'(x) x a e cos(πx/) x sen π x π e cos(πa/) a sen π π a f'(a) +3π/ O π/ f' α 3 Se puede también aplicar el teorema de Bolzano a la función auxiliar g(x)f'(x). Si lo intentas, verás que no puede aplicarse a la función f el teorema de Lagrange. 3

4 JUNIO DE 3. PROBLEMA A4. Dadas las funciones f(x)sen(πx) y g(x)x 3 x, encuentra los tres puntos en que se cortan y calcula el área de la región del plano encerrada entre sus gráficas. (3 PUNTOS) º) Resolvemos el sistema que forman las funciones que limitan por arriba y por abajo la región cuya área queremos hallar: ysen(πx) yx 3 x sen(πx)x 3 x x x x º) Averiguamos entre y y entre y qué función está por encima y qué función está por debajo: x y y / /8+/3/8 / /8/3/8 3º) Calculamos el área: A [x3 xsen(πx)] dx + [sen(πx)x3 +x] dx x 4 4 x + π cos(πx) + π cos(πx) x x + π 4 π + π 4 + π + π π + π π 4 π + 8+π π yx 3 x / / ysen(πx) Esta ecuación se resuelve a ojo. Si se observa la simetría, puede reducirse el cálculo a una de las dos integrales, multiplicando luego por el resultado. 4

5 JUNIO DE 3. PROBLEMA B. Encuentra los valores de t R que hacen que la matriz A sea no regular: A t+3 4 t ( puntos) El determinante de A debe ser : A 4 t t+3 t+3 t t5 t (t) (t) t t ªfªf ; 3ªfªf. 5

6 JUNIO DE 3. PROBLEMA B. Los puntos P(,,), Q(,,) y R(3,,3) son tres vértices de un rombo. Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el centro del rombo y es perpendicular al plano que contiene al rombo. (3 PUNTOS) Averiguamos la posición relativa de los vértices del rombo: d(p,q) () +(+) +() 9++3 d(q,r) (3+) +(+) +(3) d(p,r) (3) +(+) +(3) Q(,,) M P(,,) r R(3,,3) Hallamos las coordenadas del centro del rombo: +3 x ; y + ; z +3 M(,,) Calculamos un vector característico del plano que contiene al rombo. Como [PQ ](3,,) y [PR ](,,): [PQ ] [PR ] i 3 j k 6j 6k 6(j k ) Por tanto, un vector direccional de la recta r es v (,,). Por último, escribimos la ecuación continua de la recta r: x y+ z 6

7 JUNIO DE 3. PROBLEMA B3. Calcula los siguientes ites: n 3 n +n n n + ( ) y x + x cos( π ) x ( PUNTOS) PRIMER LÍMITE: n + n 3 n +n n n + n [3/n ] n [+/n] n n + 3/n +/n n + Por tanto: n + n 3 n +n e n + n e n + n n 3 n +n 64n n+ e n + n (6/n4) n (+/n) e n + n n 3n n n +n e n + 6/n4 +/n e 4 SEGUNDO LÍMITE: x + x cos π x + 3 x + sen π x () ' x ' cos π x 4 x + x + sen π sen π x π ' x ' π sen Sacamos factor común la máxima potencia de n en el numerador y en el denominador. Ya que se trata de la expresión indeterminada +. 3 Transformamos la indeterminación en la indeterminación /. 4 Aplicamos L'Hôpital. 7

8 JUNIO DE 3. PROBLEMA B4. Dada la función f(x)x e cos(πx/), demuestra que existe un valor α (,3) tal que f"(α)π. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. (3 PUNTOS) Primero derivamos la función: f'(x)e cos(πx/) +x e cos(πx/) cos x π ' e cos(πx/) +x e cos(πx/) sen x π x π ' e cos(πx/) π x ecos(πx/) sen π x ecos(πx/) x sen π π x Calculamos la derivada segunda: e cos(πx/) π π f"(x)e cos(πx/) sen π x π π x sen π x + +e cos(πx/) π sen π x x cos π π x π sen x π + π x sen x π sen π x x π cos x π ecos(πx/) π x sen x π sen x π x cos π x π * * * Como la función f' satisface las condiciones del teorema de Lagrange, existe α en el intervalo abierto (,3) tal que: 3 f"(α) En efecto: f'(3)f'() e 3 (+3π/)e (π/) +3π/+π/ ª) f' es continua en el cerrado [,3] por ser derivable en R. ª) f' es derivable en el abierto (,3) por serlo en R. π +3π/ f' O π/ α 3 Puede evitarse este cálculo afirmando simplemente que la función f' es derivable en R por ser el producto de dos funciones derivables en R. También podría hacerse el problema probando que la función f" cumple las condiciones de la propiedad de Darboux o que la función g(x)f"(x)π cumple las del teorema de Bolzano o que la función g(x)f'(x)πx cumple las del teorema de Rolle. 3 Observa que se está aplicando el teorema a la función f', y que su derivada es f". 8