-1± 1+8-1±3. a=-2, a=1 a 2 +2a=0 a(a+2)=0 a=0, a=-2 a 2 -a=0 a(a-1)=0 a=0, a= x=-1 z=1 x=1/2. z=1. 3a z= a(a-1) z= 3.

Transcripción

1 JUNIO DE. PROBLEMA A. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible: (a +a-)x-ay+az- (a +a-)x+a y+(a+)z (a +a-)x-ay+a z3a- (3 PUNTOS) Aplicamos el método de Gauss: a +a- a +a- a +a- -a a -a a +a- a a - a+a- a+ a 3a- ~ -a a +a a - a -a 3a -± +8 -±3 a-, a a +a a(a+) a, a- a -a a(a-) a, a Estudiamos los distintos casos: º) Si a-, el sistema es incompatible: ~ º) Si a, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: - - -x- z x/ z 3º) Si a, el sistema es incompatible: x/ yα z 4º) Si a -, a y a, el sistema es compatible determinado: (a +a-)x-ay+az- (a +a)y+z (a -a)z3a 3a z a(a-) z 3 a- (a 3 +a)y-z- a- a--3 a- a-4 a- y a-4 a(a+)(a-) (a-4) (a+)(a-)x-+ay-az-+ (a+)(a-) - 3a a- -a +a-a++a-8-3a -6a (a+)(a-) -4a -5a-6 (a+)(a-) x -(4a +5a+6) (a+) (a-) ªf-ªf; 3ªf-ªf. Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos que despejar. 3 3ªf-6 ªf. --

2 JUNIO DE. PROBLEMA A. Los puntos P(,-,3), Q(3,,) y R(,3,3) son tres vértices de un rombo. Encuentra el cuarto vértice. ( PUNTOS) Averiguamos la posición relativa de los vértices del rombo: d(p,q) (3-) +(+) +(-3) d(q,r) (-3) +(3-) +(3-) d(p,r) (-) +(3+) +(3-3) Q(3,,) P(,-,3) M R(,3,3) S(x,y,z) A continuación puede seguirse uno de los siguientes métodos: PRIMER MÉTODO: [PS ][QR ] (x,y+,z-3)(-,3,) x- y+3 z-3 x- y z5 SEGUNDO MÉTODO: [QS ][QR ]+[QP ] (x-3,y,z-)(-,3,)+(-3,-,) x-3-4 (x-3,y,z-)(-4,,4) y z-4 x- y z5 TERCER MÉTODO: Si M es el centro del rombo, como es el punto medio del segmento PR, sus coordenadas son: M(,,3). Como M es también el punto medio del segmento QS, se tiene: 3+x +y +z 3 3+x y +z6 x- y z5 --

3 JUNIO DE. PROBLEMA A3. Calcula las siguientes integrales indefinidas: (x+) e-x dx y -4 dx x +x-3 ( PUNTOS) PRIMERA INTEGRAL: (x+) e-x dx -(x+) e -x - e -x +C (-x--) e -x +C-(x+3) e -x +C S D I + x+ e -x - -e -x + e -x Comprobación: [(-x-3) e -x ]'- e -x +(-x-3) e -x (-)(-+x+3) e -x (x+) e -x SEGUNDA INTEGRAL: Como se trata de una integral racional, calculamos las raíces del denominador: Por tanto: x +x-3 x -4 x +x-3-4 (x-)(x+3) -4A (x+3)+b (x-) En consecuencia: -± 4+ -±4 x-3 x A x- + B x+3 A (x+3)+b (x-) x +x-3 Si x -44A A- Si x-3-4-4b B -4 dx x +x-3 - x- dx+ x+3 dx - x- dx+ x+3 dx - ln x- + ln x+3 +C Comprobación: (-ln x- +ln x+3 )'x- + x+3 -x-3+x- (x-)(x+3) -4 x +x-3 Esta integral se hace por partes. Las integrales efectuadas en la columna I son casi inmediatas de tipo exponencial. Se puede simplificar su cálculo con el cambio: -xt, -dxdt. Las dos integrales son casi inmediatas de tipo logarítmico. -3-

4 JUNIO DE. PROBLEMA A4. Dada la siguiente función, demuestra que existe un valor α (,3) tal que f'(α)3. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso: π sen ( ) x f(x) xcos(πx 3 ) x -4x+ Si π u sen x, v x cos(πx ) 3 y w x -4x+, entonces: u f v w f' u'vw-u(v'w+vw') v w (3 Puntos) Como Dom(u)Dom(v)Dom(w)R, v> (ya que una función exponencial es siempre positiva) y w> (ya que x -4x+>), entonces Dom(f)R. Como, además, Dom(u')Dom(v')Dom(w')R, también Dom(f')R: π u' cos x π x v' x cos(πx ) [cos(πx )-x sen(πx ) πx] ln w' 3 (x -4x+) -/3 (x-4) Por otro lado: sen(9π/) f(3) 3 cos(9π) sen(π/) f() cos π * * * Como la función f satisface las condiciones del teorema de Lagrange, existe α en (,3) tal que: f'(α) f(3)-f() En efecto: ª) f es continua en [,3] por ser derivable en R. f ª) f es derivable en (,3) por serlo en R. O α 3 Podemos evitarnos el cálculo de la derivada de la función reduciéndonos al de sus elementos. -4-

5 JUNIO DE. PROBLEMA B. Encuentra los valores de t R para los que la siguiente matriz no es regular: A t t+ t+ -t t- ( puntos) Desarrollamos el determinante: t A t+ -t t+ t(t+)(t-)+(-t)-(t+)(-t)-(t+)(t-) t- (t-) [t(t+)-+(t+)-(t+)](t-)(t +t-+t+-t-) (t-)(t +t)t(t+)(t-) Si la matriz A no es regular, su determinante es cero: A t(t+)(t-) t, t-, t -5-

6 JUNIO DE. PROBLEMA B. Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(,-,) y corta a las rectas: r x+y-z+ x-y-z+ y x+ s y+4 z+ (3 PUNTOS) Sean X e Y los puntos de corte de la recta que buscamos con r y s, respectivamente. X x+y-z+ r x-y-z+ P(,-,) π Y x+ s y+4 z+ x-+α y-4 z-+α La recta XY y la recta r determinan el plano π: Como el plano π pertenece al haz de planos de arista la recta r, tiene por ecuación: π a(x+y-z+)+b(x-y-z+) Como el punto P(,-,) está en el plano π, satisface su ecuación: a(--+)+b(+-+) -a+b ab b(x+y-z+)+b(x-y-z+) b(4x+y-z+4+x-y-z+) π 5x+y-3z+5 Como el punto Y está en la recta s: Y(-+α,-4,-+α) Como el punto Y está en el plano π, satisface su ecuación: 5(-+α)-4-3(-+α)+5-5+5α-4+3-6α+5 α- Y(-,-4,-3) [PY x ](-,-,-4) XY y+ z- Ya que b. Si b, entonces a; pero a y b no pueden ser simultáneamente nulos. -6-

7 JUNIO DE. PROBLEMA B3. Demuestra que la derivada de la función f(x)x sen x se anula en algún punto del intervalo abierto (π/,π). Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso. ( PUNTOS) Primero derivamos la función : f(x)x sen x e sen x ln x f'(x)e sen x ln x [sen x ln x]' x sen x sen x cos x ln x+ x * * * Como la función f' satisface las condiciones del teorema de Bolzano, existe α en el intervalo abierto (π/,π) tal que f'(α). En efecto: ª) f'(π/) f'(π)<: f'(π/)(π/) ln π + π/ π π >. f'(π)π - ln π + π -ln π - -,4<. ª) f' es continua en [π/,π]: [π/,π] Dom(f') Dom(f)(,+ ). Si a [π/,π]: lím x a f'(x)lím x a xsen sen x cos x ln x+ x x O -ln π π/ f' a sen a sen a cos a ln a+ a f'(a) α π Puede derivarse directamente, sin necesidad de transformarla en una función exponencial, aplicando el método de derivación logarítmica. Como f(π/) f(π), no aplicamos el teorema de Rolle. -7-

8 JUNIO DE. PROBLEMA B4. Dadas las funciones f(x)5-x y g(x)4/x, calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x) y g(x). (3 Puntos) Como las funciones son pares, nos reduciremos a la parte positiva del eje de abscisas: º) Resolvemos el sistema que forman las funciones que limitan por arriba y por abajo el recinto cuya área queremos hallar: y5-x y4/x 5-x 4 x 5x -x 4 4 x 4-5x +4 x 5± 5-6 5±3 4 x x x± x± º) Averiguamos entre y qué función está por encima y qué función está por debajo : x y y 3/ /499/36 6/964/36 3º) Calculamos el área: A [5-x -4 x - ] dx 5x - x 3-4 x x 5x x A 4 3 Observa que entre y, al no estar definida la función g en el origen de coordenadas, las funciones f y g no encierran ninguna región del plano. Esto puede verse más claramente dibujando sus gráficas. -8-