12 POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS

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1 Tema:2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS 2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS 2. Posiciones relativas de dos planos. Tradicionalmente se habla de que las posiciones relativas entre dos planos son tres: -Secantes. Se cortan en una recta. -Paralelos. Por lo tanto no tienen ningún punto en común. -oincidentes. Esta última casi podría obviarse, pues en realidad no tenemos dos planos sino un mismo plano, expresado con ecuaciones de coeficientes proporcionales, algo que veremos inmediatamente si estas ecuaciones están en la forma general. onsideremos los planos dados por las ecuaciones: α: x+ B y+ z+ D β: ' x+b ' y+ ' z +D ' º-Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, si el rango de la matriz de los coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada también, el sistema será compatible indeterminado. M =( B M ' B ' ') =( B D ' B ' ' D ') Entonces si rango M=rango M * =2 las tres variables serán dependientes de un parámetro, es decir, representarán una recta en el espacio. Por lo tanto los planos son secantes. -La solución del sistema proporciona la ecuación de la recta en forma paramétrica. Si queremos saber el vector director de la recta, podemos obtenerlo multiplicando vectorialmente los vectores normales de cada plano: v r = u α u β =(, B, ) ( ', B ', ' ) Si necesitamos un punto de la recta, bastará con darle un valor concreto al parámetro en la ecuación paramétrica y tendremos las coordenadas. 2º-Si rango M= y rango M * =2 el sistema es incompatible, por lo tanto no tiene solución o lo que es lo mismo, no existe ningún punto en común entre los planos y por lo tanto son paralelos. 3º-Tenemos que los coeficientes son proporcionales, ya tendremos que son el mismo plano o coincidentes.

2 Tema:2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS También podemos analizar las posiciones por las razones de los coeficientes, si los planos son: aso º: aso 2º: aso 3º: ' B B ' o ' ' ' = B B ' = ' D D' ' = B B ' = ' = D D' α: x+b y+ z +D β: ' x+b ' y+ ' z+d ' o B B ' ' son planos paralelos. son planos coincidentes. son planos secantes. 2.. Haz de planos paralelos. Si tenemos un plano de ecuación general: x+b y+ z +D los planos paralelos a él tendrán la ecuación de la forma: x+b y+ z+k con K R Pues todos comparten el mismo vector normal n(, B, ) Determinación de planos por haces. Tres problemas pueden ser solucionados por este método: Ecuación del plano que pasa por el punto P (x, y, z ) y a) es paralelo al plano x +B y + z +D b) es perpendicular al vector n(, B, ) c) es perpendicular a la recta el valor de K se calcula como: Ejercicio: x a = y b B = z c Determinar la posición relativa de los planos: K = x B y z α: 3 x y+ 2 z β: x+ y 5 z+ 4 Si se cortan determinar la ecuación de la recta intersección. 3 Puesto que los planos son secantes. Si multiplicamos los vectores normales de cada plano obtendremos un vector que tiene la misma dirección que la recta intersección u r =(3,, 2) (,, 5)= i j k =(3, 7, 4) 2

3 Tema:2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS Para obtener un punto de la recta hacemos por ejemplo x y en el sistema formado por ambos planos tendremos: luego la ecuación de la recta sería: r { x=3 y=+7 z=+4 y+2 z= { y 5z= 4 z=, y= 2.2 Posiciones relativas de tres planos. nalizaremos el sistema formado por sus ecuaciones generales: Las matrices del sistema son: α: x+b y+ z+ D β: 2 x+ B 2 y+ 2 z+d 2 γ: 3 x+b 3 y+ 3 z+ D 3 B =( 2 B 2 3) 2 B 2 =( B D 2 B 2 2 D 2 B 2 3 D 3) aso º: El rango de =rango de * =3 el sistema es compatible determinado por lo tanto la solución es única y esto implica que los tres planos se cortan en un punto. aso 2º: El rango de =2 rango de * =3 el sistema es incompatible por lo tanto no tienen ningún punto en común. Pueden ocurrir dos casos: aso º a)los planos se cortan dos a dos según rectas paralelas. Los planos están dispuestos de forma que no hay dos que sean paralelos. b)dos planos paralelos cortan a un tercero. La intersección del plano no paralelo a los otros dos crea dos rectas paralelas. aso 2ºa aso 2ºb 3

4 Tema:2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS aso 3º:El rango de =rango de * =2. El sistema es compatible indeterminado tendrá infinitas soluciones y puesto que x, y, z dependen de un parámetro, los planos se cortarán en una recta. Se pueden dar dos casos: a)los tres planos son distintos. b)dos de los planos son coincidentes. aso 4º:El rango de = rango de * =2. Puesto que el rango de es igual a uno, los tres planos son paralelos pero no coincidentes. Tenemos dos situaciones: a)los planos son paralelos y ninguno coincidente. b)los planos son paralelos y dos de ellos son coincidentes. aso 5º: El rango de = rango de * =. Los tres planos son coincidentes, es decir que si nos fijamos en sus ecuaciones generales veremos que en realidad son la misma ecuación pues todos los coeficientes son proporcionales Haz de planos secantes. Es el conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del haz. Queda determinado por dos planos del haz diferentes. La ecuación será: ( x+b y+ z+d)+μ( ' x+b ' y+ ' z+d' ) Determinación de planos por haces. Ecuación del plano que pasa por un punto P(x, y, z ) y con tiene a una recta definida por dos planos α x+b y+ z+d β ' x+b ' y+ ' z+d ' Suponemos que el punto no pertenece a ninguno de los dos planos (habrá que comprobarlo). El plano buscado forma parte del haz de planos definido por la recta, es por lo tanto de la forma: α+μβ y como P(x, y, z ) debe pertenecer a dicho plano, sustituyéndolo en la ecuación anterior tendremos: ( x +B y + z +D)+μ( ' x +B ' y + ' z +D ') l desarrollar la expresión en un caso concreto nos saldrá una expresión del tipo μ=k siendo k un número. Llevando este a la ecuación del haz resulta: Y esta última es la ecuación del plano buscado. α+k β α+k β 4

5 Tema:2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS 2.3 Posiciones relativas de rectas y planos. Las posiciones que pueden adoptar una recta con respecto a un plano son: Secante al plano Paralela al plano ontenida en el plano Para el análisis de las distintas posiciones seguiremos dos procedimientos: 2.3. nálisis del rango de las matrices. En este procedimiento partiremos de una recta r dada por la intersección de dos planos y un plano : r { x+b y+ z+d 2 x+b 2 y+ 2 z+ D 2 π 3 x+b 3 y+ 3 z+d 3 Para determinar las posiciones relativas de recta y plano estudiaremos el sistema formado por los tres planos. Las matrices correspondientes al sistema son: y =( B 2 B B 3 3) =( B D 2 B 2 2 D 2 3 B 3 3 D 3) aso : El rango de =rango de * =3 esto implica que el sistema es compatible determinado y por lo tanto hay una solución que será el punto de corte de la recta con el plano, es decir, recta y plano son secantes. aso 2: El rango de =2 rango de * =3 el sistema es incompatible, luego no tiene solución lo que implica que recta y plano no tienen ningún punto en común, son paralelos. aso 3: El rango de =rango de * =2 el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto tiene infinitas soluciones, lo que significa que la recta esta contenida en el plano nálisis del valor del parámetro en la ecuación paramétrica de la recta. En este análisis partimos de la recta dada en forma paramétrica y el plano p: r {x=x +v y= y +v 2 z=z +v 3 π x+b y+ z+d Puesto que lo que deseamos saber es si tienen puntos en común recta y plano sustituimos las coordenadas (x, y, z) genéricas de la recta en el plano. (x +v )+B ( y +v 2 )+( z +v 3 )+D x +B y + z +D+( v +B v 2 + v 3 ) que podemos expresar como: m+n. Del análisis de los valores de m y n se tiene: 5

6 Tema:2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS Si n 0, la ecuación m+n tiene una solución única y recta y plano son secantes. Si n y m 0 la ecuación m+0 no tiene solución y recta y plano son paralelas. Si n y m la ecuación 0+0 tiene infinitas soluciones y la recta está contenida en el plano. 2.4 Posiciones relativas de dos rectas. Rectas que se cortan Rectas que se cruzan Rectas paralelas Las posiciones relativas de dos rectas en el espacio pueden ser: Rectas que se cortan en un punto. Rectas que se cruzan. Rectas paralelas. Rectas coincidentes. En realidad serían la misma recta no cabe hablar en plural. Utilizaremos dos procedimientos de análisis: 2.4. nálisis del rango de las matrices del sistema. Utilizaremos este método si nos dan las rectas como intersección de planos. Sean r { x+b y+ z+ D 2 x+b 2 y+ 2 z+ D 2 Las matrices correspondientes al sistema son: y B =( 2 B 2 2 4) 3 B B 4 s { 3 x+b 3 y+ 3 z+ D 3 4 x+b 4 y+ 4 z+d 4 B D =( 2 B 2 2 D 2 4) 3 B 3 3 D 3 4 B 4 4 D aso : El rango de =rango de * =3 esto implica que el sistema es compatible determinado y por lo tanto hay una solución que será el punto de corte de las rectas, es decir, las rectas son secantes. aso 2: El rango de =2 rango de * =3 el sistema es incompatible, luego no tiene solución lo que implica que las rectas no tienen ningún punto en común, pero como las rectas son coplanarias (rango de =2) son paralelas. aso 3: El rango de =rango de * =2 el sistema es compatible indeterminado, tiene entonces infinitas soluciones, las rectas tiene todos sus puntos en común, por lo tanto, son rectas coincidentes. 6

7 Tema:2 POSIIONES RELTIVS DE RETS Y PLNOS aso 4: El rango de =3 rango de * =4 el sistema es incompatible, luego no tiene solución lo que implica que las rectas no tienen ningún punto en común, pero como las rectas no son coplanarias (rango de =3) son rectas que se cruzan nálisis a partir de los vectores direccionales de las rectas. Este método está especialmente indicado si nos dan las rectas en forma paramétrica o continua. sí dadas las rectas: r {x=x +u y= y +u 2 z=z +u 3 y s {x=x 2 +v μ y= y 2 +v 2 μ z=z 2 +v 3 μ tenemos u=(u,u 2,u 3 ) vector director de r, v=( v, v 2,v 3 ) y PQ=( x 2 x, y 2 y, z 2 z ) vector que va del punto de la primera recta al punto de la segunda. º- Primero analizamos si los vectores u y v tienen la misma dirección, es decir, si u= v si se cumple esto último, las rectas pueden ser coincidentes o paralelas, para discriminar ambas situaciones veremos el rango de la matriz: PQ ) )=(x2 x y2 y2 z2 z B=( u u u 2 u 3 v v v 2 v 3 a) Si rango B=, los tres vectores están sobre la misma recta. Por lo tanto son coincidentes.. b) Si rango B=2, el vector PQ no está sobre ninguna de las dos rectas. Son entonces paralelas. 2º-Segundo, si u v las rectas o se cortan o se cruzan pues no tienen la misma dirección. a) Si rango B=2, tres vectores son coplanarios, por lo tanto, las rectas se cortan. b) Si rango B=3, los vectores no pertenecen al mismo plano, son rectas que se cruzan. 7