RECTAS EN EL ESPACIO. P y un vector v se llama recta al conjunto de. Q del espacio para los cuales se cumple que el vector PQ es paralelo

Transcripción

1 Dado un punto en el espacio ( x, y, z) puntos ( x, y, z) RECTAS EN E ESPACIO P y un vector v se llama recta al conjunto de Q del espacio para los cuales se cumple que el vector PQ es paralelo al vector v. Es decir existe un numero real t para los cuales denomina vector director ya que le da la dirección a la recta. Consideremos la recta que pasa por ( x, y, z) PQ tv, el vector v se le P y por Q x, y, ) ( z. Esta recta es paralela al vector v PQ x x, y y, z z, por lo tanto, dado un punto P( x, y, z) que pertenezca a la recta, se debe cumplir que PQ tv Sean ( x, y, z) v a, b, c PQ tv Ecuaciones simétricas de una recta P y ( x, y, z) Q dos puntos del espacio y sea un vector director de una recta, por definición de debe cumplir que lo que implica que x x y y, z z t a, b, c, ESP. DANIE SAENZ C Página

2 x x y y, z z at, bt, ct, Como los dos vectores son iguales, sus componentes correspondientes deben ser iguales es decir, Despejando x, y z, se llega a x x y y z z x y z z x y at bt ct at bt ct Expresiones que se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta, ya que x, y z dependen del parámetro t. Ahora, si las componentes del vector director a, b y c son todas diferentes de cero, despejando el parámetro t se llega la ecuación simétrica de la recta x x y y z z a b c Nota. Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta para obtener una ecuación, las ecuación de una recta no es única. ESP. DANIE SAENZ C Página

3 3 EJEMPO Consideremos la recta que pasa por los puntos (,3, ) encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta. P y Q (,, ) Como primer paso se debe encontrar el vector director, para ello se tiene que v PQ x x y y,, z z v, 3, ( ) v,, Dibujando el vector director y los puntos dados se tiene que. Tomando un punto cualquiera y el vector director se tiene que v a, b, c,, de donde a ; b ; c ESP. DANIE SAENZ C Página 3

4 4 Del punto P (,3, ) se tiene que x ; y 3; z remplazando en las ecuaciones paramétricas se llega a: x x y y z z at bt ct con lo que x t y 3 t z Dándole valores al parámetro t se pueden encontrar puntos de la recta. Así si t = Se tiene el punto R ( 3,, ) x 3 y 3 () z Ejemplo, sean las ecuaciones paramétricas de la recta definidas por x 3t y 3 t z t Determine si el punto R ( 7,,) pertenece a dicha recta. o primero que hacemos es determinar el valor del parámetro t, para ello remplazamos el valor de x en la ecuación paramétrica y despejamos t. 7 3t 7 3t 6 3t ESP. DANIE SAENZ C Página 4

5 5 6 t 3 t Reemplazamos ahora el valor del t en y,z para ver si los resultados coinciden con las coordenadas del punto dado. y 3 t z t 3 () 3 4 Vemos que los resultados coinciden con las componentes de R, luego el punto esta en la recta. Ángulo, paralelismo, perpendicularidad e intersección Dadas dos rectas y entonces cuyos ángulos directores son v, w respectivamente, ) as rectas son paralelas si sus ángulos directores lo son ) as rectas son perpendiculares si sus ángulos directores lo son 3) El ángulo que se forma entre las dos rectas es igual al ángulo determinado por los vectores directores. Rectas paralelas Rectas perpendiculares ESP. DANIE SAENZ C Página 5

6 6 Ejemplo, sean las rectas cuyas ecuaciones paramétricas se definen como. x 3t : y 3 t z t x 4 s : y 3 s z 3s os vectores directores de las dos rectas son 3,,. Miremos ahora si las rectas son: A) Paralelas. v kw 3,, 3,, k 3 3 kde donde k k de donde k v y w,, 3,,3 k,k,3k uego no son paralelos, ya que se encontraron valores diferentes para k. B) Perpendiculares v w 3() ( )() (3) uego no son perpendiculares, ya que el producto punto es diferente de cero C) Como no son ni perpendiculares no paralelas, el ángulo en ellas es: ESP. DANIE SAENZ C Página 6

7 7 Cos v w v w 3 ( ) Cos Intersección Para calcular la intersección entre dos rectas y, igualamos sus ecuaciones paramétricas de las rectas ESP. DANIE SAENZ C Página 7

8 8 Buscamos la solución del sistema que resulta. Si hay solución única: las rectas se intersecan en un solo punto Si hay infinitas soluciones: las rectas coinciden Si no hay solución: las rectas no se intersecan Observe que, para el cálculo de la intersección, usamos un parámetro distinto en cada recta. Esto es así porque si hay un punto de intersección, usualmente puede ser obtenido, en cada recta, con un valor de parámetro distinto. Ejemplo. Sean las rectas cuyas ecuaciones paramétricas están dadas por x 4t : y 3 t z x 3s : y 6s z 3s Determine el punto de intersección de las rectas Como las rectas se intersecan deben tener un punto en común, luego 4t 3 s 3 t 6s 3s De la ultima expresión se tiene que s 3 De la segunda o la primera, se llega a ESP. DANIE SAENZ C Página 8

9 9 3 t 3 t 3 t t 4 6s 6 3 Reemplazando en la ecuaciones paramétricas x 4( 4) 7 : y 3 ( 4) z x : y 6 3 z 3 3 uego el punto de intersección es P ( 7,, ) Distancia entre un punto y una recta a distancia de un punto, P, a una recta, r, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta. ESP. DANIE SAENZ C Página 9

10 Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta. Para encontrar la distancia se debe. Identificar el vector director de la recta Seleccionar un punto de la recta y encontr ar el vector AP Calcular la distancia aplicando la expresión. d( P, ) U AP U ESP. DANIE SAENZ C Página