x+3y = 8 4y+z = 10 ; s: x 7 = y a-4 = z+6 5a-6 b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas.

Transcripción

1 [04] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a: r: x+y = 8 4y+z = 0 ; s: x = y a-4 = z+ 5a- b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas [04] [EXT-B] Considere la recta r y el plano dados por las ecuaciones siguientes: r: x- = y+4-4 = z+ y : x-y = 8 0 a) Compruebe que la recta r corta al plano y calcule el ángulo que forman b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano x+y+z = [04] [JUN-A] a) Determine para qué valor del parámetro a la recta r: es perpendicular al plano : -x+ay+z = 0 -x-y+z = 0 b) Demuestre que si a = -8, la recta r corta al plano en un punto y calcule dicho punto de corte 4 [04] [JUN-B] Dos de los tres vértice de un triángulo son A=(,,) y B=(,,) El tercer vértice C está en la recta r que pasa por los puntos P=(-,0,) y Q=(0,0,) a) Determine la ecuación de la recta r b) Calcule las coordenadas del vértice C para que el área del triángulo sea 5 unidades cuadradas Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas 5 [0] [EXT-A] Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos A=(,4,0), B=(,,0) y C=(5,,0) El cuarto vértice D está en la recta r que pasa por los puntos (,,) y (-,4,5) a) Determine la ecuación de la recta r b) Calcule las coordenadas del vértice D para que el volumen del tetraedro sea unidades cúbicas Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas [0] [EXT-B] a) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A=(,,0) y B=(-,8,) b) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (,,) y es perpendicular a la recta r [0] [JUN-A] Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (,,-4), B = (,,) y C = (5,-,) a) Calcule el área del paralelogramo b) Determine el cuarto vértice, D 8 [0] [JUN-B] a) Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos A=(,,0), B=(5,,) y C=(,0,-) b) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos D=(,,) y E=(,-,0) c) Estudie la posición relativa de r y 9 [0] [EXT-A] Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto A = (0,,) y es perpendicular a la x+y-z = - recta r: x-y+z = 0 [0] [EXT-B] Considere las rectas r y s dadas por las ecuaciones r: x = y a-4 = z+ 5a- a) Estudie la posición relativa de r y s en función del parámetro a b) Calcule el punto de corte de r y s en los casos en que se corten y s: x-5 = y- - = z- 4 [0] [JUN-A] Considere la recta r y el plano dados por las ecuaciones r: x+ = y- - = z- y : x-y-z = 4 de julio de 05 Página de 5

2 a) Calcule el ángulo que forman la recta r y el plano b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano [0] [JUN-B] a) Halle la ecuación implícita (o general) del siguiente plano : - y = -+ z = + b) Determine la ecuación de la recta que es perpendicular al plano y pasa por el punto (-,,) [0] [EXT-A] Determine el punto de la recta r: x+ = y+5 = z+4 que equidista del origen de coordenadas y del punto A=(,,) 4 [0] [EXT-B] Considere los puntos A=(,0,) y B=(,0,) y la recta r: x+ - = y 0 = z- Determine los puntos C de la recta r para 0 los cuales el área del triángulo ABC es (Indicación: Hay dos puntos C que son solución del sistema) 5 [0] [JUN-A] Determine el plano que contiene a la recta x+y-5z = - 4x-y-z = - y es paralelo a la recta x-5 = y+ - = z- - [0] [JUN-B] Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por el vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice a) Calcule las tres medianas del triángulo de vértices A=(5,-,4), B=(-,,) y C=(5,,) b) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto (llamado baricentro) y calcule las coordenadas de dicho punto [00] [EXT-A] Calcular el punto más cercano al punto P=(,0,-) de entre todos los puntos del plano determinado por los puntos Q=(,,), R=(0,,) y S=(0,0,) Calcular la distancia de punto P al plano 8 [00] [EXT-B] Estudiar la posición relativa de las rectas r: x+ = y = -z y s: x = y = + z = - y calcular la distancia entre ellas 9 [00] [JUN-A] Calcular el punto más cercano al punto P=(,,0) de entre todos los puntos de la recta determinada por el punto Q=(-,,) y el vector v=(,,) Calcular la distancia del punto P a la recta 0 [00] [JUN-B] Comprobar que las rectas r: x+ = y+ = z- x = y s: y = + z = - entre ellas no se cortan y no son paralelas Calcular la distancia [009] [EXT] Calcule el punto de la recta r: x- = y = z- más cercano al punto P = (,-,-) [009] [EXT] Calcule la distancia entre las rectas r : x = y = z y r : x- = y = z- [009] [JUN] Calcule la ecuación del plano determinado por los puntos P=(,0,), Q=(,,) y R=(,-,0) y la distancia entre dicho plano y la recta determinada por el punto S=(,0,0) y el vector v=(,,0) de julio de 05 Página de 5

3 4 [009] [JUN] Calcule el punto del plano x+y+z = más cercano al punto (,,-) Calcule la distancia entre ambos puntos 5 [008] [EXT] Dada la recta r determinada por el punto P=(,,-) y el vector de dirección v = (,-,), calcule el punto de r más cercano al punto Q=(,0,) [008] [EXT] Dadas las rectas r : x = y = z y r determinada por los puntos P=(,,) y Q=(,-,0), calcule la ecuación de la recta que une ambas rectas por el camino más corto [008] [JUN] Calcule la distancia entre la recta r : x+ = y = z- y la recta r determinada por el punto P =,-, y el vector de dirección v =,0, 8 [008] [JUN] Calcule el punto del plano x+y-z = más cercano al punto (,,-) 9 [00] [EXT] Estudie si las rectas siguientes se cruzan, se cortan, son paralelas o son coincidentes y calcule la distancia entre x = ellas: r : x- = y+ = -z ; r : y = + z = - 0 [00] [EXT] Estudie si existe algún punto que pertenezca a la vez a los tres planos siguientes Calcule los puntos en común (si existen): : x-y+z = 0, : x = y, : y = + + z = + - [00] [JUN] Un helicóptero situado en el punto P=,, quiere aterrizar en el plano : x+y+z = 0 i) Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que le lleve al punto más cercano del plano ii) Calcule dicho punto iii) Calcule la distancia que deberá recorrer [00] [JUN] Un asteroide, que sigue aproximadamente la trayectoria dada por la recta r: x+ = y = z+, se está acercando a un planeta situado en el punto P=,, i) Calcule la distancia más cerca a la que se encontrará del planeta ii) Calcule el punto de la trayectoria del asteroide donde se alcanzará dicha distancia mínima iii) Si inicialmente el asteroide se encuentra en el punto Q= -,0,-, calcule la distancia que deberá recorrer para alcanzar dicho punto [00] [EXT] Calcule la distancia del punto P=(,-,) a la recta r: y = - z = + 4 [00] [EXT] i) Demuestre que las rectas siguientes se cortan en un punto Cuál es ese punto? r : ii) Calcule la ecuación general del plano determinado por ambas rectas x = - y = + z = +, r : y = + z = + 5 [00] [JUN] Las trayectorias de dos aviones vienen dadas por las rectas r : y = -, r : z = + x = - y = z = de julio de 05 Página de 5

4 i) Estudie si las trayectorias se cortan, se cruzan o son coincidentes ii) Calcule la distancia mínima entre ambas trayectorias [00] [JUN] La trayectoria de un proyectil viene dada por la recta r: x = - y = + z = + i) Estudie si el proyectil impactará con la superficie determinada por el plano x+y-z = 0 ii) Calcule el punto del impacto y la distancia recorrida por el proyectil desde el punto inicial P=,, hasta el punto de impacto [005] [EXT] (a) Estudiar si las recta L = y = t y L = z = +t (b) Encontrar la distancia entre dichas rectas x+y-z+ = 0 x+y+ = 0 se cruzan 8 [005] [EXT] (a) Demostrar que las recta L = x = + t y = +t z = + t y L = x-y+4 = 0 x-z+4 = 0 son paralelas (b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo al determinado por dichas rectas y que diste de él x = +t 9 [005] [JUN] (a) Demostrar que las rectas L = y = -t y L = y = 0 se cortan en un punto Cuál es ese punto? z = t z = 4-t (b) Encontrar la ecuación del plano determinado por dichas rectas 40 [004] [EXT] a) Estudiar, según los valores del parámetro real a, la dependencia lineal de los vectores e = (,0,a), e = (,a,-) y e = (0,,a) b) Para a =, escribir el vector (-4,-8,) como combinación lineal de los e, e y e 4 [004] [EXT] Encontrar la distancia del punto P(,-,) al plano que contiene a la recta : y = -t y pasa por el punto,, z = +t 4 [004] [EXT] Dadas las rectas = x = 4+t y = +t z = -t y = x+y-5 = 0, se pide: x+z-8 = 0 a) Demostrar que están contenidas en un plano cuya ecuación se determinará b) Encontrar la perpendicular común a dichas rectas 4 [004] [JUN] a) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta dada por la intersección de los planos: : x+y-z- = 0 y : x-y+z = 0 b) Encontrar la distancia del punto (,0,) a dicha recta 44 [004] [JUN] a) Demostrar que las rectas = b) Encontrar la distancia entre dichas rectas y = -t z = +t y = x+y-z = 0 se cruzan en el espacio x+y+ = 0 45 [00] [EXT] Encuentre la distancia del punto P(,0,) a la recta determinada por los planos, que pasa por los puntos A(,,), B(0,,) y C(-,0,0), y, de ecuación x+y = de julio de 05 Página 4 de 5

5 4 [00] [EXT] Encuentre la distancia del punto P(0,,) al plano determinado por el punto A(0,,) y la recta L que pasa por los puntos B(,0,) y C(0,0,) x = - t 4 [00] [JUN] a) Estudie si las rectas L = y = - t z = b) Encuentre la distancia entre dichas rectas y L = y = + t z = - t se cruzan en el espacio Soluciones 9 y+z- = 0 0 a) a = 4: secantes; a 4: se cruzan b) (8,0,0) 0º; x+y-z+ = 0 a) x-y+z- = 0 b) x+y-8z+ = 0 a) x-y+z- = 0; 5,,- 44 iii) x = 5+k y = --k z = 4 4 4,,-8 ; ; x = -+m y = -m z = -m i) ii) 0,,0 iii) ; x = 5+p y = z = -p 5 (,0,) b) (,,4) 4,-,- ; x = y = - z = paralelas; x = -+ y = - z = + 8 (-,,-) 9 paralelas ; d= 4 i) 0,5,5 ii) x-y+z+5 = 0 5 i) se cruzan ii) 9 (,,); 0 (-,,) 4 (0,0,), (4,0,) 5 0,,- 4 (-,-,0) i) x- = y- = z- ii) i) si ii) 0,5,5, (a) si (b) 8 (b) x-y+z+ = 0 ó x-y+z-0 = 0 9 (a) (,0,) (b) x+y+z-4 = 0 40 a) a = -: ld a -: li b) e -e -e 4 4 a) x-y+z-4 = 0 b) x = - y = + z = - 4 a) x = y = + z = b) 44 b) a) si b) de julio de 05 Página 5 de 5