, 2 x+y+z = 2, = z 5 y s: 4x-2y+z = 0. ( ) ( ) y dado el punto P(0,3,-1) exterior a, obtener las ecuaciones en

Transcripción

1 x+y-z = 0 1. [2014] [EXT-A] Sea P el punto de coordenadas P(1,0,1) y r la recta de ecuación r x-2z = 1. a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto P y sea paralela a la recta r. b) Hallar la ecuación general de un plano que para por el punto P y contenga a la recta r. 2. [2014] [EXT-B] Determinar la posición relativa de los siguientes planos: x = y = 4+ z = , 2 x+y+z = 2, 3 x y z 1 1 = 0 3. [2014] [JUN-A] Dados los puntos A(-1,0,3), B(2,4,1) y C(-4,3,1): a) Estudiar si los puntos A, B y C están alineados. b) Hallar la ecuación de la recta paralela al segmento AB y que pasa por C. Expresarla como intersección de dos planos. 4. [2014] [JUN-B] Determinar el valor de a para que la recta r de ecuación r x-y+2z = 2 2x+y+z = 3 sea paralela al plano x-ay+10z = -3. 2x+y+z = [2013] [EXT-A] Dados el punto P(2,2,-2) y la recta r: x+3y+z = 0 a) Hallar la ecuación del plano 1 que contiene a r y pasa por P. b) Hallar la ecuación del plano 2 que contiene a P y es perpendicular a r. 6. [2013] [EXT-B] Dadas las rectas: r: x 5 = y+1 3 = z 4 s: x = 2+3 y = 2 a) Determinar la ecuacion general del plano paralelo a las rectas r y s que pasa por el origen de coordenadas. b) Hallar el ángulo que forman r y s. x-2y+z = 0 7. [2013] [JUN-A] Dados la recta r: y el punto P(1,0,1) exterior a r, -x+2y+z = 2 a) Hallar la ecuación en forma general del plano que contiene a r y P. b) Hallar la ecuación (como intersección de dos planos) de la recta s que pasa por P y es paralela a la recta r. x-2y+z = 0 8. [2013] [JUN-B] Dada la recta r: y los puntos P(1,-2,0) y Q(0,1,3) x-z = 0 a) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a PQ. b) Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a r que pasa por Q e intersecta a r. 9. [2012] [EXT-A] Estudiar la posición relativa de las rectas r: x-2 3 = y+3-2 = z 5 y s: 4x-2y+z = 0 2x-y+z = 5 (explicar el procedimiento utilizado) 10. [2012] [EXT-B] Dado el plano : x = y = 4+ z = ( ) ( ) y dado el punto P(0,3,-1) exterior a, obtener las ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano, explicando el procedimiento utilizado. 11. [2012] [JUN-A] Dadas las rectas secantes: r 1 : x = -1+ y = 3-4 ( ) y r 2 : z = x-y+z = 2-5x+y+z = 0, Página 1 de 5

2 obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta s que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado. 12. [2012] [JUN-B] Dada la recta r: x = -1+3 y = -5 z = 2+2 ( ) y dado el punto P (2,-2,3) exterior a r, a) Hallar la ecuación en forma general del plano p que los contiene, explicando el procedimiento utilizado. b) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta s que pasa por P y es perpendicular al plano, explicando el procedimiento utilizado. 13. [2011] [EXT-A] Dados los puntos A(-1,2,0) y B(2,1,-1) a) Determinar si el punto C(5,0,-2) está alineado con los anteriores, explicando el motivo (hacer un dibujo esquemático de la situación). b) Hallar las ecuaciones de la recta que contiene a los puntos A y B, en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos. c) Hallar la ecuación en forma general del plano que pasa por B y es perpendicular a la recta AB. 14. [2011] [EXT-B] Dada la recta r: 2x-3y+z = 0 x+y-2z = 1 y el punto P(-1,2,3), hallar la ecuación en forma general del plano que los contiene. 15. [2011] [JUN-A] Dados la recta r: x-2 3 = y -1 = z-1 y el punto P(1,2,3) 2 a) Hallar la ecuación general del plano que los contiene. b) Hallar ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, correspondientes a la recta que pasa por P y es perpendicular al plano anterior. 16. [2011] [JUN-B] Dadas las rectas secantes r: x-2-1 = y-5 2 = z-1 1 a) Calcular su punto de intersección. b) Hallar la ecuación del plano que las contiene. y s: (x,y,z) = (1,-1,0)+ (-1,6,2) 17. [2010] [EXT-A] Dadas las siguientes rectas: r: (x, y, z) = (-8,-4,5) + (-2,1,-2) ; s: a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas. b) Hallar la ecuación de la recta paralela a s que pasa por el punto (1,0,-1). 4y-3x = 8 4z-5x = [2010] [EXT-B] Dada la recta r: x-3 2 = y = z+1 y los puntos A (1,1,0) y B (2,0,-3) 3 a) Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta r y al punto A. b) Hallar el ángulo formado por la recta r y la recta que pasa por los puntos A y B. 19. [2010] [JUN-A] Obtener la ecuación en forma general del plano que pasa por el punto (0,3,2) y es paralelo a las dos rectas siguientes: r 1 : x -1 = y+3 2 = z+1 ; r 2 : x-z = 5 2x+3y-z = [2010] [JUN-B] Estudiar la posición relativa de los planos: 10x-y+5z = 2 ; 4x+3y-z = 6 ; -3x+2y-3z = [2009] [EXT] Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta r: y = 1+x z = 2 y es paralelo a la recta s: x = 1-2 y = -2. z = Página 2 de 5

3 22. [2009] [EXT] Dado el plano : 3x-2y+z = 5 y la recta r: x 2 = y-1 = z+3, hallar su posición relativa. Si se cortan en un punto, hallar -2 sus coordenadas. Y si son paralelos, hallar el plano que contenga a r y sea paralelo a. 23. [2009] [JUN] Dado el punto P(5,0,-1) exterior a la recta r: x = - y = -4 ( ), hallar el plano que contenga a r y pase por P. z = [2009] [JUN] Estudiar la posición relativa de los tres planos: 1 : 2x-3y+z = 2 ; 2 : 3x-2y-z = 7 ; 3 : x+y-2z = 5 En caso de que se corten en un punto, hallar éste. Y en caso de que se corten en una recta, determinarla. 25. [2008] [EXT] Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto intersección del plano x+y-z+6 = 0 con la recta r x-3y+6 = 0 -x+3z+3 = 0 y es paralela a la recta s x-2 3 = y -1 = z. 26. [2008] [EXT] Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(-1,0,2) y contiene a la recta s x 2 = y-1-3 = z [2008] [JUN] Dadas las rectas r x-y+2 = 0 y s x = 2 y-z-5 = 0, i) Determinar su posición relativa. ii) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. x = 2+t 28. [2008] [JUN] Se consideran las rectas r y = 2+2t, el plano 2x-4y-2z = 0 y el punto P 1,1,1. Se pide: z = 3+3t i) Determinar la ecuación del plano 1 que pasa por el punto P y es paralelo al plano. ii) Determinar la ecuación general del plano 2 que contiene a la recta r y pasa por el punto P. x-y-2 = 0 x [2007] [EXT-A] Dadas las rectas r y s = y+1 = z-2: y-z+3 = 0-2 a) Determinar su posición relativa. b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. 30. [2007] [EXT-B] Determinar la ecuación general (implícita) del plano paralelo a las rectas r x = y+1 = z y s por el origen de coordenadas. x = 2+3t y = 2 y que pasa x = [2007] [JUN-A] Dada la recta r y el plano x+y-2 = 0: y-z-1 = 0 a) Determinar su posición relativa. b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. 32. [2007] [JUN-B] a) Determinar si los puntos A(-1,0,3), B(2,4,1) y C(-4,3,1) están alineados. b) Expresar en dos formas diferentes la ecuación de la recta que pasa por A y B. 33. [2006] [EXT-A] Estudiar la posición relativa de las rectas r y s. En caso de que se corten en un punto hallar las coordenadas del Página 3 de 5

4 mismo: r x-1-1 = y+2 2 = z 1 ; s x = - y = -8. z = [2006] [EXT-B] Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto A 0,-1,0 y es paralelo a las rectas: r s x = 2- y = 1. z = -3 x = 1- y = 2- y z = [2006] [JUN-A] a) Hallar la ecuación del plano determinado por los puntos A 1,3,2, B 2,0,1 y C 1,4,3. x = 3-1 b) Estudiar la posición relativa de la recta r y = +2 respecto al plano anterior, hallando el punto de intersección en caso de z = 2 que se corten. 36. [2006] [JUN-B] Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los valores del parámetro : x+ y+z-4 = 0 ; x+3y+z-5 = 0 ; x+y+z-4 = [2005] [EXT-A] Dada la recta r x-1-2 = y+1 3 = z-2, hallar la ecuación del plano que contiene a ésta y pasa por el punto P 0,-2, [2005] [EXT-B] Estudiar la posición relativa del plano 5x+ y-2z+1 = 0 y la recta r parámetro. 2x-y = 1 x-y+2 según los valores del 39. [2005] [JUN-A] a) Comprueba que las rectas r (x,y,z) = (1,2,-1)+ (1,0,-1) s (x,y,z) = (0,3,1)+ (-2,1,3) se cortan en un punto. a) Hallar la ecuación general del plano que contiene a las rectas dadas en el apartado anterior. 40. [2005] [JUN-B] a) Estudiar, según los valores del parámetro, la posición relaticva de los planos b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,1,2), (1,0,3) y (2,-1,0). x-2y+ z = 0 10x-y+5z = 0 4x+3y-z = [2004] [EXT-A] Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,-4,0) y contiene a la recta r: x+y = 4-3x+z = [2004] [EXT-B] Dados los planos de ecuaciones una recta. Justificar. ax -2z= 15 2x+y+ z= -7, determinar los valores de a para que los tres planos pasen por x+y+az=-8a 43. [2004] [JUN-A] a) Están alineados los puntos A(1,0,-1), B(-1,1,2) y C(3,0,1)? Justificar la respuesta. b) En caso afirmativo, determinar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo, determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos. Página 4 de 5

5 44. [2004] [JUN-B] Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A(0,-2,4) y a la recta de ecuación: x+1 2 = y-3 = z+2-2. x+y+z-1 = [2003] [EXT-A] Dada la recta r: y el plano : 2x+y+mz-3 = 0, estudiar la posición relativa de la recta r y el plano -x-2y+z = 0 según los valores del parámetro m. Hallar también el punto de intersección de la recta r y el plano en el caso de m = [2003] [EXT-B] Obtener la ecuación del plano paralelo a las dos rectas siguientes: r 1 : x-2-1 = y 1 = z+1 2, 2x-y+z = -2 r 2 : y que pasa por el punto (1,1,2). -x+y+3z = [2003] [JUN-A] Se sospecha que el plano definido por el punto (1,0,5) y los vectores u = (3,1,1) y v = (-1,3,2) se corta en un punto con la recta cuyas ecuaciones en forma continua son x-2 3 = y-7 10 = z-2. Decidir razonadamente la cuestión [2003] [JUN-B] Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto (3,0,3) y contiene a la recta cuyas ecuaciones son: x z-3 = y+1 = Soluciones 9. se cruzan 10. x+1 3 = y-2-1 = ẕ 1 ; x = -5 y = x = -1+3k y = 2-k ; z = -k ; x -5 = y-3 11 = z+1 2 ; 11x+5y-15 = 0 2x+5z+5 = x+3 y-z = 2 2x-y+4z-3 = a) (-8,-4,5) b) 20 11,-9 11, x = -5k y = -1+k z = 1+3k 12. a) x-3y-9z+19 = 0 b) c) 3x-y-z-6 = x-23y+16z+5 = a) 6x+8y-5z-7 = 0 b) x-1 6 = y-2 8 = z-3-5 ; x = 1+4 y = x-y+2z-8 = recta x = 2+k y = -2-3k ; x-2 = x = z-3-9 ; 3x+y-4 = 0 3y-z+9 = 0 z = 3-9k x = 1+6 y = 2+8 ; z = 3-5 4x-3y = -2 5x+6z = a) si b) 16. a) (-1,11,4) b) 18. a) x-2y+4z+1 = 0 b) 71º11'46'' 19. 7x+6y-5z-8 = se cortan en una recta 21. x-y+2z-3 = punto 2x-3y+z = 2 3x-2y-z = x = -9+3k y = -1-k z = -4+k x+9y+5z+1 = i) se cortan ii) 60º, (2,4,-1) 28. i) x-2y-z+2 = 0 ii) x+y-z-1 = 0 x = x+3y+4 = a) se cortan b) 90º, 1,1,2 30. y-z = a) se cortan b) 30º, -1,3,2 32. a) no b) y = 4 ; 33. se cruzan 34. x-y+z-1 = a) y+2z-6 = 0 z = x+y-z-3 = 0 b) Se cortan en 5,13 5,6 36. {1,3}: se cortan en un punto; = 1: se cortan en una recta; = 3: sin puntos comunes 37. 2x+3y-5z+11 = = -2: 5 paralelos ; -2: se cortan 39. b) x-y+z+2 = a) =3: Se cortan en una recta; 3: Se cortan en un punto b) x+y-1 = x+2y-3z-14 = a) no b) x+5y-z-2 = x+14y+11z-16 = m = 4: paralelos; m 4: se cortan; m = 1: (2,-1,0) x-7y+11z-30 = cierto 48. 3x-9y+5z-24 = 0 Página 5 de 5