ln x dx = x ln x 2x ln x + 2x = (e 2e + 2e) 2 = (e 2) u

Transcripción

1 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - JUNIO GENERAL Ejercicio.- Calcule d + Sea F() = d = + = + d d ln ln + = ln ln ln 5 + ln = A B + = + + = A( + ) + B = = A = = B A =, B = d = ln ln ln 5 + ln + = ln ln 5 ln = ln ( ) = ln Ejercicio.- Halle el área de la zona del plano limitada por las rectas y =, = y = e, y la gráfica de la curva y = ln. Calculamos la ln d = ln Calculamos ln d = ln Por tanto, ln d aplicando integración por partes: ln d = ln ln d d u = ln du = ln dv = d v = d u = ln du = ln d aplicando integración por partes: dv = d v = d = ln ln d = ln ln + La función logaritmo es positiva en el intervalo [, e], por tanto el área viene dado por: e e ln d = ln ln + = (e e + e) = (e ) u

2 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - JUNIO ESPECÍFICA Ejercicio.- Calcule ( e + ) cos d = Sea I = ( e + ) Resolvemos cos d cos d por partes: e d + cos d = e + cos d u = du = d dv = cos d v = sen cos d = sen Por tanto, I = ( e + ) ( ) sen d = sen + cos cos d = e + sen + cos. e + cos d = e + sen + cos e sen cos e sen cos = ( + ) = + + = ( + ) e cos d e e u JULIO GENERAL Ejercicio.- Las curvas y = e, y = e la recta = limitan un recinto finito en el plano. a) Dibuje un esquema del recinto. b) Calcule su área. Área limitado por las dos curvas es: ( ) e e d = e + e = e + (+ ) e Por tanto: ( ) e e d = e + u e

3 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - Ejercicio 5.- Se considera la curva de ecuación y = + a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen. b) Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada. c) Calcule el área de ese recinto. a) La ecuación de la recta tangente viene dada por la epresión: y y() = y () ( ) y = + y () =, y() = Recta tangente: y = b) La curva corta al eje en =, = y = =, = Decrece en, y decrece en el resto. = Mínimo, = Máimo c) Para calcular el área hay que calcular los puntos de corte de la curva y la recta. y = + y = + = = ( ) = =, = El área a calcular es: ( ) ( ) A = + d = + d = + 6 A = + = u JULIO ESPECÍFICA Ejercicio 6. La gráfica de la parábola y = divide al cuadrado de vértices A(,), B(,), C(,) y D(,) en dos recintos planos. a) Dibuje la gráfica de la función y los recintos. b) Calcule el área de cada uno de ellos. Calculamos los puntos de corte entre la curva y el recinto: DC = y = = = = P(,) Calculamos el área del primer recinto: d = = = I = ( ) Calculamos el área del segundo recinto, que lo dividimos en dos: I = ( ) + ( ) d d 8 = + = + =

4 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - JUNIO GENERAL Ejercicio 7. Sea f: R R la función definida por: si < f( ) = m + n si < si a) Calcule m y n para que f sea continua en todo su dominio. b) Para estos valores hallados calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta y =. Si < f() = continua para cualquier valor real Si < < f() = m + n, continua tome m y n) Si > f() =, continua R por ser una función afín (independiente de los valores que R por ser una función constante. Imponemos que f sea continua en =, para ello debe verificarse lim f( ) = f( ) º. f() = n º.- Calculamos el límite de la función en =, estudiando los límites laterales lim f( ) = lim ( m + n) = n lim f( ) = lim = + Para que eista el límite en dicho punto, deben coincidir los límites laterales, por tanto, n = Imponemos que f sea continua en =, para ello debe verificarse lim f( ) = f( ) º. f() = º.- Calculamos el límite de la función en =, estudiando los límites laterales lim f( ) = lim = lim f( ) = lim ( m + n) = m + Para que eista el límite en dicho punto, deben coincidir los límites laterales, por tanto, m = b) Dibujamos el recinto para determinar el área: si < f( ) = si < si Los puntos de corte para delimitar el recinto son: = = - ( < ) = = ( < ) Área: A = ( ) + ( ) d d A = + = u + + = + =

5 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - 5 Ejercicio 8.- Sea la función f : a) Dibuje la gráfica de la función. R R la función definida por: f( ) + si = ( ) > si > b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. a) Para, la función es una función lineal que pasa por el punto (,) y tiene pendiente. Para >, la función es una función cuadrática, la función y = trasladada dos unidades hacia la derecha. b) Los puntos de corte con el eje X son = - y = Ambas gráficas se cortan en el punto (,): + = ( ) + = + 6 = =, = 6 El área viene dada por: + d + d = + + A = ( ) ( ) = u A = ( ) JUNIO ESPECÍFICA Ejercicio 9.- La curva y = y la recta y = limitan un recinto finito en el plano. a) Dibuje un esquema del recinto. b) Calcule su área. a) y = corta al eje X en =, = ±. Es simétrica respecto origen. y = = = ± Es decreciente en (-,) Calculamos los puntos de corte entre las dos gráficas: = = =, = ±. Al ser simétrica respecto del origen, el área es: A = ( ) ( ) A = + d = d = = (8 ) = 8 u

6 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - 6 Ejercicio.- La curva = y + y la recta = limitan un recinto finito en el plano. a) Dibuje un esquema del recinto. b) Calcule su área. a) = y + y = ± Al ser las dos gráficas simétricas respecto al eje X, el área limitada por cada curva con el eje X es la misma. Los puntos de corte de la curva y = con el eje X es = Área: A = d = ( ) ( ) = A = 8 u = JULIO GENERAL Ejercicio.- Las gráficas de la curva y = a) Dibuje ese recinto. b) Calcule su área. y de la parábola y = + encierran un recinto plano. La curva y = + es un parábola que corta al eje OX en = - y =. Su vértice es V = (-, f(-)) = (-, -). Los puntos de corte entre las dos curvas es: = + + = ( + ) = =, = -, =. El área es: A = ( ) + ( + ) d d A = A = u + + =

7 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - 7 JUNIO ESPECÍFICA Ejercicio.- La gráfica de la parábola y = 8 y la recta = encierran un recinto plano. a) Dibuje aproimadamente dicho recinto. b) Calcule el área de ese recinto. y y = = 8 y = Ambas curvas son simétricas respecto eje OX. y = Por tanto, el área es: 8 A = d = d = = ( 8 ) A = 8 6 u = Ejercicio.- La gráfica de la curva f() = a) Dibuje aproimadamente dicho recinto. b) Calcule el área de ese recinto. y las rectas y = y = encierran un recinto plano. Calculamos los puntos de corte entre la curva y la recta y = = 8 = = = Área: A = d = + ln = + ln ln A = ( ln) u

8 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - 8 SEPTIEMBRE GENERAL Ejercicio. La curva y = + y la recta y = + limitan un recinto finito en el plano. a) Dibuje un esquema del recinto. ( punto) b) Calcule su área. (.5 puntos) Puntos de cortes entre la curva y la recta: + = + = =, = Área: + d = d = A = ( ) ( ) A 8 = = u SEPTIEMBRE ESPECÍFICA Ejercicio 5.- Se considera la parábola y = 6. a) Calcule la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la parábola en los puntos de corte con el eje OX. b) Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la parábola y las rectas halladas anteriormente. c) Calcule el área de ese recinto. a) y = 6 Corte con eje OX: 6 = =, = 6 y ( ) = 6 y = 6 y ( 6) = 6 y = 6( 6) Corte de las rectas tangentes: 6 = = 6 = y = 8 A : Área del triángulo formado por las tangentes y OX. 6 8 A = = 5 u A : Área de la parábola y OX: A = ( ) d = = 8 7 = 6 u Área = A A = 5 6 = 8 u

9 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - 9 si < Ejercicio 6.- Se considera la función: f( ) = e + si c) Halle el área que la función determina con el eje OX, para [, ]. A = ( )d ( )d (e )d A = + + e + A = ( ) + ( + ) + (e + e ) = (e + ) u JUNIO 9 Ejercicio 7.- Esboce la gráfica de la parábola y = + + y halle el área de la región del plano determinada por la parábola y la recta que pasa por los puntos, y, y = + + = = ± V = b = 7 V y = + + = a Recta que pasa por A, y B 6, : y = y = Puntos de corte parábola recta: = 6 = =, Calculamos una primitiva: = A() = d = + + d = + + Área = A() A = 7 9 = u 8 8

10 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - SEPTIEMBRE 9 Ejercicio 8.- Representa gráficamente las parábolas y = y y = y calcula el área que encierran. y = y = y = y = Calculamos los puntos de corte: = =, = = 8 = 6 ( 6) = Área: 6 6 d = = = u JUNIO 8 Ejercicio 9.- Se considera la función a) Halla sus asíntotas, máimos y mínimos b) Representa gráficamente la función. f() = + c) Halla el área delimitada por la función y el eje OX, para lim f () = lim = + + y = A.H. lim f () = lim = + + f () lim lim = + = No hay A.O. + f () = = + + ( ) ( ) - < <, f () > f creciente f () = si =, = - < - y > f () < f decreciente Luego, = máimo, = - mínimo d d ln( ) ln u = = = + = + + +

11 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - SEPTIEMBRE 8 Ejercicio.- Se dispone de una chapa de acero que puede representarse por la región del plano determinada por la parábola y = - + y la recta y =. a) Represente gráficamente la chapa y calcule su área. a) Puntos de cortes: - + = = = ± Área = ( + )d ( + )d = ( + )d = + Área: + = + = = Ejercicio.- Se considera la función f() = + a) Halle los máimos, mínimos y puntos de infleión. b) Para [, 5] y el eje., esboce la gráfica de la gráfica de la función y calcule el área comprendida entre ella a) f() = = f () = = = f () = si =, = f () > si < -, > f () < si - < < Luego = - máimo, = mínimo ( ) ( ) ( ) ( ) + f () = ( ) ( ) ( ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f () = si =, = ± f () > si <, < < f () < si < < <, > Luego =, = ± son P.I. + lim f() = lim = + b) A = 5 5 d ln( ) = + = + 6 ln( )

12 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - JUNIO 7 Ejercicio.- Dada la función f() = a + b cos + c determina las constantes a, b, c de manera que simultáneamente: Su gráfica pase por el punto (,). La recta tangente en ese punto (,) sea paralela a la recta y =. Se verifique que f()d = + Pasa por (,): f() = = c f() = a + b cos + La recta tangente en ese punto (,) sea paralela a la recta y =. f () = f () = a + b cos b sen f () = b b = f() = a + cos + f()d = + = + ( ) a a a f()d = a + cos + d = + sen + cos + = + = + cos d = sen sen d = sen + cos Integración por partes: u = ; dv = cos d a a + = + + = + a = Luego f() = + cos + SEPTIEMBRE 7 Ejercicio.- Sea la función f() = a) Su gráfica determinada con el eje de abscisas un recinto limitado D. Calcula su área. b) La gráfica de la función g() = divide D en tres partes D, D y D. Haz un dibujo de los tres recintos c) Calcula el área del recinto D que contiene al punto, a) Área: ( )d = = = u c) Puntos de cortes: - = = = ± Área = ( + )d ( )d = = = A = 6 u

13 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - JUNIO 6 Ejercicio.- Sea la función b) f()d b) f()d = d f() =, calcula: d d d = + d = + = + 6 = + 6ln + k d ln ln ln = + 6 = = SEPTIEMBRE 6 Ejercicio 5.- La curva y = + y la recta que pasa por los puntos A(,) y B(,) limitan un recinto finito en el plano. Traza un esquema gráfico de dicho recinto y calcula su área. Recta AB: y = ( ) y = Área: A = ( + )d ( + )d = + A = ( 9 9 9) + + = u JUNIO 5 Ejercicio 6.- Sea la función b) f()d sen f() =, calcula: cos sin f()d = d = ln( cos ) = ln ln( ) = ln ln cos b) [ ]

14 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - SEPTIEMBRE 5 Ejercicio 7.- Sea la función con valores reales f() =.(se considera sólo la raíz positiva). Calcula: a) La recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (,) b) f()d c) El área encerrada por la curva, el eje de abscisas y las recetas = - y =. a) f() = f () = = + = f () = recta: y = - d = d = = b) ( ) f()d = c) A = f()d = u = + = SEPTIEMBRE + Ejercicio 8.- Sea la curva descrita por la función f() = para valores de >. Calcula: c) El área encerrada por la curva, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones = y =. + lim f() = lim = y = A.H. Intersección: 7 = -5( ) = = P = (,) c) + Área = f() d = d + 5 f() d = d = + d = 5 + 5ln Área = f() d = 5( + ln ) = 5( + ln ln ) Área = 5( + ln )

15 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - 5 JUNIO Ejercicio 9.- a) Dibujar el recinto limitado por las curvas y =, y =, b) Calcular el área del recinto anterior. y =. Hallamos los puntos de corte entre las gráficas: y = = =, = y = y y = = = = =, = Área = d + d Área= 6 5 d + d = + = + 8 = SEPTIEMBRE Ejercicio.- Dada la parábola y = y la recta r: y = -, calcula el área sombreada de la figura: Punto de corte entre las curvas: = - = ± + d = d = = = o o Área = u Área = ( ) ( )

16 Tema: Integrales definidas. Áreas Ejercicios PAU - 6 JUNIO 6 Ejercicio.- Sea la función f() = + a) Encuentra una función primitiva de f() b) Calcula el área encerrada entre f y el eje de abscisas para [, 5] a) f() d = d = d = ln( + ) 5 5 A = ln u 6 5 b) ( ) [ ] f() d = d = ln + = ln ln5 = ln = ln + 5 SEPTIEMBRE Ejercicio.- Sea la función f() = e a) Calcular su primitiva. b) Determinar f()d a) b) e d = e e d = e e d e d = dv v = e = = u du d e d = e e d = e e e d = dv v = e u = du = d Por tanto: ( ) e d = e e d = e (e e ) = + e f()d = ( + )e = e e