a-3 a-1 a-1 a+3 1 a 2-3 a-3=0 a=3 a-1=0 a=1 a+2=0 a=-2 x=2/5-2α/5-3y+z=1-5x=2+2z z=α -5x-2z= z= (a+2)(a-2) a+2

Transcripción

1 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA A. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible: (a-)x-z (a-)x+(a-)y-z (a-)x+(a-)y+(a+)za - ( PUNTOS) Aplicamos el método de Gauss: a- a- a- a- a- - - a+ a - a- ~ a- a- - a+ a - a- ~ a- - a+ a - a- a a- a a+ a- Estudiamos los distintos casos: º) Si a-, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: x-z x/5-α/5 -y+z -5x+z -y-z y-/+α/ zα º) Si a, el sistema es incompatible: ~ - -6 º) Si a, el sistema es incompatible: ~5 - ~6 º) Si a -, a y a, el sistema es compatible determinado: (a-)x-z (a-)y+z (a+)za - z (a+)(a-) a+ za- -a (a-)y-z-(a-)-a y a- a- (a-)x+z+(a-)-+a x a- ªf-ªf; ªf-ªf. ªf-ªf. Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos que despejar. ªf- ªf. 5 ªf /; ªf /5. 6 ªf+ªf. --

2 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA A. Los puntos P(,-,), Q(,,5) y R(,,) son tres vértices de un cuadrado. Encuentra el cuarto vértice. ( PUNTOS) Averiguamos la posición relativa de los vértices del cuadrado: d(p,q) (-) +(--) +(-5) ++ d(q,r) (-) +(-) +(5-) ++6 d(p,r) (-) +(--) +(-) ++ Q(,,5) P(,-,) M S(x,y,z) R(,,) A continuación puede seguirse uno de los siguientes métodos: PRIMER MÉTODO: [PQ ][RS ] (,,)(x-,y-,z-) x- y- z- x y z SEGUNDO MÉTODO: [PS ][PQ ]+[PR ] (x-,y+,z-)(,,)+(,,-) (x-,y+,z-)(,,) x- y+ z- x y z TERCER MÉTODO: Si M es el centro del cuadrado, como es el punto medio del segmento QR, sus coordenadas son: M(5/,/,). Como M es también el punto medio del segmento PS, se tiene: +x 5/ -+y / +z +x5 -+y +z6 x y z --

3 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA A. Calcula los siguientes ites: x tg x -cos(x) y x+ x + ( x ) x+ ( PUNTOS) PRIMER LÍMITE: x x tg x -cos(x) (+tg x) x x tg x (+tg x) sen(x) tg x sen(x) x +tg x cos(x) * * * Si se conocen los infinitésimos equivalentes, se puede proceder como sigue: x tg x -cos(x) x x x x SEGUNDO LÍMITE: x + x+ x+ x + x e (x+) x+ x - x + e (x+) x+-x x x + e x+ x x + e + x e Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. El ite de un producto es el producto de los ites de los factores. La descomposición en dos ites, el primero de los cuales es determinado, simplifica la posterior aplicación de L'Hôpital al otro. Ya que, en x, tg x~x; y como x es un infinitésimo en x, -cos(x)~(x) /x /x. Como sale la indeterminación +, podemos dar este paso. --

4 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA A. Dada la siguiente función, demuestra que existe un valor α (-,) tal que f'(α). Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso: (x f(x) -x+) ln e x+7 x +x + Se trata de una función racional (cociente de polinomios): ( Puntos) (x f(x) -x+) ln e x+7 x +x + (x -x+) x+7 ln e x +x + (x -x+) ln (e (x+7)/ ) x +x + (x -x+) (x+7) (x +x +) Si P(x)(x -x+) (x+7) y Q(x) (x +x +), entonces: P(x) f(x) Q(x) f'(x) P'(x) Q(x)-Q'(x) P(x) Q (x) Como Dom(P)Dom(Q)R y Q (ya que la ecuación x +x + no tiene solución), entonces Dom(f)R. Como, además, Dom(P')Dom(Q')R (ya que son polinomios), también Dom(f')R. Por otro lado: f(-) f() * * * Como la función f satisface las condiciones del teorema de Lagrange, existe α en (-,) tal que: f'(α) f()-f(-) -(-) /-/ f En efecto: ª) f es continua en [-,] por ser derivable en R. ª) f es derivable en (-,) por serlo en R. - α O --

5 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA B. Calcula el determinante de (A+B), siendo - - A - y B - ( puntos) PRIMER MÉTODO: Calculamos A+B: A+B Hallamos A+B : A+B Como el determinante de un producto es igual al producto de los determinantes de los factores: SEGUNDO MÉTODO: (A+B) A+B 5 5 Si no conoces la propiedad utilizada en el método anterior, después de calcular A+B se procede como sigue: (A+B) (A+B)

6 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA B. Dados los planos π x+y-z- y π x-y+z-, encuentra la ecuación general de los dos planos cuyos puntos equidistan de π y π. ( PUNTOS) PRIMER MÉTODO: Sea X(x,y,z) un punto de cualquiera de los dos planos que andamos buscando. Como equidista de los planos dados: d(x,π )d(x,π ) x+y-z- x-y+z x+y-z- x-y+z- x+y-z-x-y+z- x+y-z--x+y-z+ x+y-z+ x+z- SEGUNDO MÉTODO: Evidentemente, los planos π y π' que andamos buscando (ver la siguiente figura) son los planos bisectores de los ángulos diedros que determinan π y π. Como u (,,-) y v(,-,) son los vectores característicos de los planos π y π, respectivamente, y tienen el mismo módulo, entonces un vector característico del plano π es u +v (,,) y su ecuación: x+z+d. Del mismo modo, un vector característico del plano π' es u -v (,,-) y su ecuación: x+y-z+d'. u -v u +v u v π π Calculamos un punto de la recta que determinan los planos π y π : x-y+z- x+y-z- - x+y--y/5 z+6y/5 - ~ - 6 x-α/5 yα z+6α/ x-y+z 6y-5z-5 P(,,) Como P pertenece a los planos π y π', satisface sus ecuaciones: x+z+d x+y-z+d' ++D +-+D' D- D' x+z- x+y-z+ π' π ªf- ªf. -6-

7 TERCER MÉTODO: Sea π uno cualquiera de los planos que buscamos. Como pertenece al haz de planos de arista la recta que determinan π y π, su ecuación es: α(x-y+z-)+β(x+y-z-); y su vector característico: w (α+β,-α+β,α-β). Como u (,,-) y v (,-,) son los vectores característicos de los planos π y π, respectivamente: cos(π,π )cos(π,π ) u w u w v w v w u w v w (α+β)+(-α+β)-(α-β) (α+β)-(-α+β)+(α-β) α+β-α+β-α+β α+β+α-β+α-β -α+9β 9α-β -α+9β9α-β -α+9β-9α+β αβ 5α-5β α(x-y+z-)+α(x+y-z-) α(x-y+z-)-α(x+y-z-) x+z- x+y-z+ αβ α-β x-y+z-+x+y-z- x-y+z--x-y+z+ Ya que los denominadores coinciden al tener el mismo módulo los vectores característicos de los planos dados. Como α, dividimos por α. (Si α fuese cero, β también, lo que carece de sentido.) -7-

8 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA B. Dada la función f(x)(-x) cos(πx ), demuestra que existe un valor α (,) tal que f'(α) /. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso. ( PUNTOS) Primero derivamos la función: f(x)(-x) cos(πx ) f'(x)-cos(πx )+πx (x-) sen(πx ) * * * Como la función f' satisface las condiciones de la propiedad de Darboux, existe α en el intervalo abierto (,) tal que f'(α)/. En efecto: ª) f'()</<f'(): f'()-+-</. f'()+>/. ª) f' es continua en [,]: [,] Dom(f') Dom(f)R. Si a [,]: x a f'(x)[ ] x a -cos(πx )+πx (x-) sen(πx ) -cos(πa )+πa (a-) sen(πa )f'(a) / O α f' - Se puede también aplicar el teorema de Bolzano a la función auxiliar g(x)f(x)-/. Si lo intentas, verás que no puede aplicarse el teorema de Lagrange. -8-

9 EXTRAORDINARIO DE. PROBLEMA B. Dadas las funciones f(x)x - y g(x)-x, calcula el área de la región del semiplano y encerrada entre las gráficas de f(x) y g(x). ( Puntos) Como las funciones son pares, nos reduciremos a la parte positiva del eje de abscisas: º) Calculamos los puntos de corte de las dos funciones: yx - y-x x --x x x x± º) Averiguamos entre y - qué función está por encima y qué función está por debajo: º) Calculamos el área: x y y - A [-x -x +] dx- [-x +] dx [-x ] dx- [-x ] dx x - x - x x A f(x)x O - g(x)-x La primera integral es el área de la región situada a la derecha del eje de ordenadas limitada por las dos curvas (gris claro+gris oscuro). La segunda integral es el área de la parte de esa región que se encuentra debajo del eje de abscisas (gris oscuro), que, como se indica en el enunciado del problema, hay que restársela a la anterior. -9-