EvAU 2018 Propuesta A

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1 } EvAU 018 Propuesta A Castilla-La Mancha } Ejercicio 1. a) Enuncia el teorema de Bolzano y justifica razonadamente que la gráfica de la función fx) = x 15 + x + 1 corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [ 1, 1]. b) Calcula razonadamente el número exacto de puntos de corte con el eje OX cuando x recorre toda la recta real. Solución a) Teorema de Bolzano: Sea f : [a, b] R continua con fa) fb) < 0. Entonces existe c a, b) tal que fc) = 0. Vamos a aplicarlo a la función f dada en el enunciado. Es continua en todo R porque es un polinomio. Luego, tenemos que f 1) = 1) ) + 1 = 1 < 0 y f1) = = > 0. Por lo tanto f 1) f1) < 0. Como se cumple el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece al intervalo 1, 1) que corta al eje de abscisas. b) Vamos a estudiar el crecimiento de la función f. Para ello, derivamos la función: f x) = 15x Luego tenemos que los puntos críticos son f x) = 0 15x 14 = 1 x 14 = 1 15 que vemos que no tiene solución real. Por lo tanto, la función f es estrictamente creciente en toda la recta real porque f x) > 0, x R. Si estudiamos los límites en el infinito, tenemos que: lim fx) = ; lim x fx) = + x + Como que la función es estrictamente creciente y va de menos infinito a más infinito, la función sólo corta al eje OX en 1 punto. Ejercicio. Calcula razonadamente las siguientes integrales: a) b) π 0 x 1) cos xdx e x e x + e x dx Nota: En la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable e x = t. Solución a) Primero resolveremos la primitiva de la función que tenemos que integrar. Vamos a aplicar el método de integración por partes: udv = uv vdu Tomamos u = x 1 du = xdx y dv = cos xdx v = sin x. Luego, tenemos que: x 1) cos xdx = x 1) sin x sin xxdx = x 1) sin x xsinxdx Volvemos a utilizar la técnica de integración por partes donde u = x du = dx y dv = sin xdx v = sin xdx = cos x: x 1) cos xdx = x 1) sin x x cos x)+ cos x)dx = x 1) sin x+x cos x cos xdx = EvAU Castilla-La Mancha 018 1

2 Ahora, aplicando la regla de Barrow: π 0 = x 1) sin x + x cos x sin x + C x 1) cos xdx = [ x 1) sin x + x cos x sin x ] π 0 = = [ π 1) sin π + π cos π sin π ] [ 0 1) sin cos 0 sin 0 ] = π 0 = π b) Aplicamos el cambio de variable e x = t e x dx = dt, y tenemos que e x = e x ) = t : e x e x + e x dx = dt t + t Completamos el cuadrado para t + t : t + t = t + t = t + 1 ) 9 4 Ahora tenemos que la integral resulta ser: dt ) t La podemos resolver aplicando integración por sustitución: u = t + 1 du = dt: du u 9 4 Aplicamos descomposición en fracciones simples: Por tanto, 1 u 9 4 = u 1 ) u + ) = A u + B u + 1 = A u + ) + B u ) = A ) ) u + + B u u 9 4. Para u = : Para u = : 1 = A A = 1 1 = B B = 1 La integral resultante es: 1 1 ) u u + du = 1 du u 1 du u + = 1 ln u 1 ln u + + C Ahora tenemos que volver a sustituir por las cambios hechos anteriormente: e x e x + e x dx = 1 ln t ln t C = 1 ln ex 1 1 ln ex + ) + C Ejercicio. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R x + y az = 4 x + ay + z = x + 4y 5z = 6 EvAU Castilla-La Mancha 018

3 b) Resuélvelo razonadamente para el valor a =. Solución a) Aplicaremos el método de Gauss porque luego en el apartado b) nos será muy útil. La matriz ampliada del sistema es: a 4 1 a 1 Aplicamos reducción por filas. Primero, hacemos o o 1 o y o o 1 o : a a Ahora, o o + a 4) o : a a + 9a 14 a + 4 Luego, tenemos que a + 9a 14 = a 7)a ), y a + 4 = a ). Para a =, tenemos que la última fila de la matriz es una fila de ceros, por tanto, el sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad para a =. Para a = 7, tenemos que la última fila es 0z = k, con k 0 que no tiene sentido. Por tanto, el sistema es incompatible para a = 7. Finalmente, el sistema es compatible determinado para a y a 7. b) Para a =, sabemos que el sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad y la matriz reducida es del apartado anterior): Por tanto, tenemos que z = λ R. También, y + z = y = + z = + λ. Finalmente, x + 4y 5z = 6 x = 6 4y + 5z = λ) + 5λ = 6 8 1λ + 5λ = 7λ. Por tanto, la solución del sistema es: x, y, z) = 7λ, + λ, λ), λ R Ejercicio 4. Dado el plano α 4x + y + 4z 15 = 0 y el punto A,, 1): a) Calcula la distancia del punto A al plano α. b) Calcula razonadamente el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al plano α sea igual que la distancia del punto A al plano α. Solución a) Tenemos que A = a 1, a, a ) =,, 1) y que el plano α Ax + By + Cz + D = 0, con A = 4, B =, C = 4 y D = 15. Podemos aplicar directamente la fórmula: da, α) = A a 1 + B a + C a + D 4 + ) = = A + B + C b) Tomamos un punto arbitrario del espacio P x, y, z). Su distancia al plano α es : dp, α) = 4x + y + 4z = 4x + y + 4z 15 = 9 4x + y + 4z 15 = 9 4x + y + 4z 15 = 9 4x + y + 4z 4 = 0 4x + y + 4z 6 = 0 EvAU Castilla-La Mancha 018

4 Ejercicio 5. a) Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 500 condensadores diarios, con un % de defectuosos, la máquina B produce 700 con un 4% de defectuosos y la C produce 800 con un % de defectuosos. Al final del día se elige un condensador al azar. a 1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuoso. a ) Si es defectuoso, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A. c) Lanzamos un dado perfecto cinco veces. Sea X la variable Número de múltiplos de tres que pueden salir. b 1) Calcula razonadamente la media y la desviación típica de la variable X. b ) Calcula razonadamente la probabilidad de obtener cuatro o más múltiplos de tres. Solución a) a 1) Llamamos D a el condensador es defectuoso. Se tiene que este condensador puede proceder de cada una de las tres máquinas y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades, tenemos: P D) = P M A ) P D M A ) + P M B ) P D M B ) + P M C ) P D M C ) = = = 59 = 0, a ) Nos piden la probabilidad condicionada P M A D) que aplicando el teorema de Bayes: P M A D) = P D M A)P M A ) P D) = = 15 = 0, b) Claramente, tenemos una distribución binomial porque tenemos que contar el número de éxitos en una secuencia de n = 5 ensayos de Bernoulli independientes entre si, con una probabilidad p = 6 = 1 de ocurrencia de éxito sacar número múltiplo de tres). Por tanto, nuestra variable aleatoria X sigue una distribución binomial X B 5, 1 ) ) n. Sabemos que P X = k) = p k 1 k ) ) k ) 5 k 5 1 p) n k =. k b 1) Sabemos que la media de una distribución binomial es: E[X] = np = 5 1 = 5 También, la varianza es V ar[x] = np1 p) = 5 1 = 10. Por tanto, la desviación típica 9 es de: σ = 10 V ar[x] σ = b ) Nos estan pidiendo P X 4) que por la tabla que nos dan es: P X 4) = P X = 4) + P X = 5) = 0, , 0041 = 0, 045 EvAU Castilla-La Mancha 018 4

5 } EvAU 018 Propuesta B Castilla-La Mancha } Ejercicio 1. a) Prueba que cualquiera que sea la constante a la función fx) = x 5x + 7x + a cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1, ]. b) Calcula razonadamente un punto del intervalo abierto 1, ) cuya existencia asegura el teorema de Rolle. c) Calcula razonadamente los puntos de la gráfica fx) = x 5x +7x donde la recta tangente tenga la misma pendiente que la recta y = 4x +. Solución a) La función f es continua en el intervalo cerrado [1, ] por ser polinómica. Es derivable en el intervalo abierto 1, ) por ser polinómica. f1) = a = a + y f) = a = a + que vemos que se cumple que f1) = f). b) Como que se cumplen las tres hipótesis del teorema de Rolle, debe existir un punto c en el intervalo abierto 1, ) con derivada nula en dicho punto f c) = 0. Tenemos que f x) = x 10x + 7. Luego, f c) = 0 c 10c + 7 = 0 c 1 = 7, c = 1 Vemos que el punto c 1 = 7 1, ). c) Tenemos que la pendiente de la recta dada es m = 4. Por tanto, tenemos que encontrar los puntos a tales que f a) = 4. f a) = 4 a 10a + 7 = 4 a 10a + = 0 a 1 =, a = 1 El punto correspondiente en a 1 = es P, ) y en a = 1 1, tenemos que Q, 49 ). 7 Ejercicio. Dadas las funciones fx) = xe x y gx) = x e x, calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de esas funciones. Solución En primer lugar representamos las funciones: Hallamos también los puntos de corte de las EvAU Castilla-La Mancha 018 5

6 funciones, que nos darán los límites de integración. y = xe x xe x = x e x x =, x = 0 y = x e x, 4e ), 0, 0) Por tanto, la área pedida será: A = Calculamos la integral indefinida: xe x x e x )dx = 0 xe x x e x) dx xe x dx x e x dx Aplicamos integración por partes en las dos integrales resultantes: u = x du = dx; dv = e x dx v = e x u = x du = xdx; dv = e x dx v = e x xe x x e x )dx = xe x + e x dx + x e x + xe x dx = = xe x e x + x e x + xe x + e x + C = e x x + C Ya podemos aplicar la regla de Barrow para calcular la área pedida: Ejercicio. A = [ e x x ] 0 = [ e ) ] [ 0 e 0] = 4 e u a) Encuentra los valores del parámetro α R para que la siguiente matriz tenga inversa. a a 1 a 0 b) Para a = calcula razonadamente A 1 y comprueba el resultado. c) Para a = 0 calcula razonadamente el valor de los determinantes A 1 y A. Solución a) La matriz tiene inversa cuando el valor de su determinante es distinto de cero. Por tanto, calculamos el determinante de la matriz dada aplicando la regla de Sarrus: a a 1 = a 1)a ) a + 1 aa ) = a )a ) + a + aa ) = a 0 = a 4a a a + a a = a 7a + 4 = 0 a 1 = 4, a = 1 Por tanto, existe matriz inversa para α R {1, 4 }. b) Para a =, tenemos que A = ) 7) + 4 =. Luego, 1 0 A t = Luego, calculamos la adjunta de la traspuesta: A t ) = EvAU Castilla-La Mancha 018 6

7 Luego, tenemos que: Efectivamente, A 1 = A A 1 = A 1 A = I c) Para a = 0, tenemos que A = = 4. Sabemos que A 1 = 1 A = 1 4. Por otra propiedad de los determinantes A = A = 8 4 =. Ejercicio 4. Dados los vectores u = 0, 1, 1), v = 1, 1, 1) y w =, 0, ): a) Determina el valor de λ R tal que el vector u λ v sea perpendicular a w. b) Son linealmente dependientes los vectores u, v y w? Razona la respuesta. c) Encuentre razonadamente las ecuaciones implícitas o cartesianas de la recta que pase por el punto P, 0, ) y que sea perpendicular simultáneamente a los vectores u y v. Solución a) Para que los vectores dados sean perpendiculares, su producto escalar tiene que ser igual a cero. u λ v) w = 0 u λ v) w = [0, 1, 1) λ1, 1, 1)], 0, ) = λ, 1 λ, 1 + λ), 0, ) = λ + + λ = λ + λ + = 0 λ = b) Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo: = = Por tanto, no son linealmente dependientes. De hecho, son linealmente independientes. c) Tenemos que encontrar dos planos tales que su intersección sea la recta pedida. Como que la recta debe ser perpendicular simultáneamente a los dos vectores u y v, luego los vectores normales de los dos planos deben ser estos mismos n 1 = u y n = v. Por tanto tenemos que π 1 y +z +D 1 = 0 y π x + y z + D = 0. Como que los dos planos tienen que pasar por P, 0, ): D 1 = 0 D 1 = D = 0 D = 0 Por tanto, las ecuaciones implícitas de la recta son: Ejercicio 5. y + z = 0 x + y z = 0 a) El 60% del censo de una ciudad son mujeres. Las preferencias de las mujeres por los tres partidos que se presentan son: el 0% vota a A, el 50% a B y el resto a C; mientras que entre los hombres las preferencias son: el 10% vota a A, el 60% a B y el resto a C. Elegida al azar una persona del censo, calculo razonadamente la probabilidad de: a 1) Ser hombre y votante de C. a ) Si resultó ser votante de B, que sea mujer. EvAU Castilla-La Mancha 018 7

8 b) Las notas que se han obtenido por 1000 opositores han seguido una distribución normal de media 4, 05 y desviación típica, 5. b 1) Cuántos opositores han superado el 5? Razona la respuesta. b ) Si tenemos que adjudicar 0 plazas, calcula razonadamente la nota de corte. Solución a) Los datos que nos da el enunciado son: P M) = 0, 6 P H) = 1 0, 6 = 0, 4, P A M) = 0,, P B M) = 0, 5, P C M) = 1 0, + 0, 5) = 0,, P A H) = 0, 1, P B H) = 0, 6, P C H) = 1 0, 1 + 0, 6) = 0,. a 1) P H C) = P H) P C H) = 0, 4 0, = 0, 1 a ) Aplicando el teorema de Bayes y el teorema de la probabilidad total, tenemos que: P M B) = P M B) P B) = P M) P B M) P M) P B M) + P H) P A H) = 0, 6 0, 5 0, 6 0, 6 + 0, 4 0, 6 = = 0, 0, + 0, 4 = 0, 0, 54 = 5 = 0, 55 9 b) Llamamos X a las notas que se han obtenido que siguen una distribución normal. X N4, 05;, 5) X 4, 05 Z = N0, 1)., 5 b 1)Mirando a la tabla que nos dan: ) 5 4, 05 P X > 5) = P Z > = P Z > 0, 8) = 1 P Z < 1, 8) = 1 0, 648 = 0, 5, 5 Luego: 0, 5 = n 1000 n = 5 b ) Mirando a la tabla: 0 = 0, P X > C) = 0, P X < C) = 1 0, = 0, P Z < ) C 4, 05 C 4, 05 = 0, 67 = 0, 44 C = 5, 15, 5, 5 EvAU Castilla-La Mancha 018 8