Examen de Matemáticas II (Modelo 2018) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

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1 Examen de Matemáticas II (Modelo 208) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos 0 Problema (2,5 puntos) Dadas las matrices A = 0 0, y I = se pide: 0 0 a) (,5 puntos) Obtener los valores de m para los que que la matriz A mi admite inversa. b) ( punto) Calcular la matriz inversa de A 2I. m a) A mi = 0 m 0 = A mi = m( m) 2 = 0 m 0 = m = 0 y m =. Luego (A mi) si m R {0, }. /2 /2 b) (A 2I) = Problema 2 (2,5 puntos) Dada la función f(x) = 2 cos(x)+ x, se pide: a) (0,5 puntos) Determinar el valor de f (0). b) ( punto) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisa x = π. c) ( punto) Hallar el área del recinto plano limitado por la la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = π y x = 2π. { 2 cos x x + si x < a) f(x) = 2 cos x + x si x = f (x) = luego f (0) =. { 2 sin x si x < 2 sin x + si x b) La ecuación punto pendiente de la recta es y b = m(x a) donde b = f(a) = f(π) = 2 cos π + π = π y m = f (π) = 2 sin π + =, la recta será: y (π ) = x π = y = x.

2 c) La función f(x) = 2 cos x + x > 0 no corta al eje de abcisas en [π, 2π]: 2π π ] 2π (2 cos x + x ) dx = 2 sin x + x2 2 x = π2 π 2 π u2 Problema (2,5 puntos) Dados los planos π x + y + 2z = 0, x = 2t π 2 2x y + z = 0 y la recta r y = + t, se pide: z = + t a) (,5 puntos) Hallar los puntos de la recta r equidistantes de π y π 2. b) ( punto) Hallar el área del triángulo que forma el punto P ( 2,, 2) con los puntos de intersección de r con π y π 2. a) Sea P ( 2t, + t, + t) un punto cualquiera de la recta r: d(p, π ) = d(p, π 2 ) = ( 2t) + ( + t) + 2( + t) = 4 t+ = 2t+5 = b) Corte de r con π : t + = 0 = t = = A(, 0, 2) Corte de r con π 2 : 2t + 5 = 0 = t = 5/2 = B( 4, /2, 7/2) P A = (,, 0) y P B = ( 2, /2, /2): S = 2 P A P B = 2 i j k 0 2 /2 /2 2( 2t) ( + t) + ( + t) 4 = { t + = 2t + 5 = t = 2 = P (5,, ) t + = 2t 5 = t = 8/5 = P 2 ( /5, /5, /5) = 5 4 Problema 4 (2,5 puntos) Sabiendo que el peso de los estudiantes varones de segundo de bachillerato se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal, de media 74 kg y desviación típica kg, se pide: a) ( punto) Determinar el porcentaje de estudiantes varones cuyo peso esta comprendido entre los 8 y 80 kg. u 2 b) (0,5 puntos) Estimar cuántos de los 500 estudiantes varones, que se han presentado a las pruebas de la EvAU en una cierta universidad, pesan más de 80 kg. 2

3 c) Si se sabe que uno de estos estudiantes pesa más de 7 kg, cuál es la probabilidad de que pese más de 8 kg? N(74, ) ( ) a) P (8 X 80) = P Z = P ( Z ) = P (Z ) P (Z ) = P (Z ) ( P (Z ) = 2P (Z ) = 2 0, 84 = 0, 82 = 8, 2 % ( ) b) P (X 80) = P (X 80) = P Z = P (Z ) = 0, 84 = 0, 587 = 5, 87 % = 28 estudiantes pesarán más de 80 kg. P ({X 8} {X 7}) P (X 8) c) P (X 8 X 7) = = P (X 7) P (X 7) = P (X 8) P (X 7) = P ( ) Z 8 74 P ( P (Z 2) 0, 9772 Z 7 74 ) = = P (Z 0, ) 0, 29 = 0, 05 Examen de Matemáticas II (Modelo 208) Selectividad-Opción B Tiempo: 90 minutos Problema (2,5 puntos) Dada la matriz A y los vectores X y B siguientes: se pide: x A = m m +, X = y, B = m m z 2 + m a) (2 puntos) Discutir el sistema lineal AX = B en función de los valores del parámetro m. b) (0,5 puntos) Resolver el sistema lineal AX = B cuando m =. a) A = m m + m m 2 + m A = m(m ) = 0 = m = 0, m =

4 Si m 0 y m = Rango(A) = =Rango(A) = n o de incógnitas y sería un sistema compatible determinado. Si m = : A = 2 = F F 2 F F F = Si m = 0: F A = 0 = F 2 = 0 = F F 0 F F 2 = 0 = Sistema Incompatible F + F b) Si m = : x + y + z = x + y = xy z = = x = y = 2 z = 2 Problema 2 (2,5 puntos) El dibujo adjunto muestra la gráfica de la función se pide: f(x) = ( x)e a) ( punto) Calcular el área de la region sombreada. b) ( punto) Determinar la abscisa del punto de la gráfica donde la recta tangente tiene pendiente máxima. c) (0,5 puntos) Efectuando los cálculos necesarios, obtener la ecuación de la asíntota que se muestra en el dibujo (flecha discontinua inferior). = Sistema Incompatible 4

5 a) F (x) = ( x)e + S = (( x)e ) dx = 4 2 e ( ) x b) g(x) = f (x) = dx x = ( x)e [ u = ( x) = du = dx dv = e dx = v = e +9e ] = x = (27 x)e x (( x)e ) dx = F (4) F (2) = 2 e e = g (x) = xe (, 0) (0, ) g (x) + g(x) creciente decreciente 9 2/ u2 = 0 = x = 0 Luego en x = 0 habrá un máximo punto en el que la pendiente a f(x) es máxima.. t+4 c) lím (( x)e ) = + lím (+t)e = + lím x t [ = + lím = + 0 = y = ] x e t+4 t + t = e t+4 Problema (2,5 puntos) Dados los planos π x + y = 0, π 2 x = 0 y el punto B(,, ), se pide: a) ( punto) Determinar el punto B, simétrico de B respecto del plano π 2. b) ( punto) Obtener una ecuación de la recta r, contenida en el plano π, paralela al plano π 2 y que pasa por el punto B. c) (0,5 puntos) Hallar el ángulo que forman los planos π y π 2. a) Seguimos el siguiente procedimiento: Calcular la recta t π 2 /B t. Tenemos u t = u π2 = (, 0, 0): x = + λ t : y = z = Calcular el punto de corte B de t con π 2 : λ = 0 = λ = = B (0,, ) 5

6 B + B 2 b) u r = u π u π2 = = B = B = 2B B = (0, 2, 2) (,, ) = (,, ) i j k = (0, 0, ) = r : u π u π2 c) cos α = u π u π2 = = α = π 2 4 radianes. x = y = z = λ Problema 4 (2,5 puntos) En una bolsa hay 0 caramelos de fresa, 5 de menta y 5 de limón. Se extraen sucesivamente de la bolsa dos caramelos. Se pide: a) ( punto) Determinar la probabilidad de que el segundo de ellos sea de fresa. b) (0,5 puntos) Determinar la probabilidad de que los dos sean de fresa. c) ( punto) Sabiendo que el segundo ha sido de fresa, calcular la probabilidad de que lo haya sido también el primero. Sale fresa: F, sale menta: M y sale limón: L a) P (2 o de fresa) = P (F F ) + P (MF ) + P (LF ) = = b) P (F F ) = = 29 c) P (primero fresa segundo fresa) = 9 29 P (primero fresa segundo fresa) P (segundo fresa) =